Контрольная работа

Контрольная работа

Вариант№4

1.

Вычислите .

Решение:

2.

Дано: . Найти и выяснить, зависимы ли события А, В.

Решение:

Тогда данные события зависимы.

3.

Пять машин случайным образом выстраиваются в колонну.

Найдите вероятность того, что две конкретные машины окажутся:

а) рядом; б) в начале колонны.

Решение:

А) Всего существует способов построить ряд из 5 машин.

2 конкретных машины можно расположить на одном из 4 мест, причем таких способов 2, тогда .

.

Б) Данные машины в начале колонны можно поставить

.

4.

В тире имеются пять ружей, вероятности попадания из которых

равны соответственно 0,5; 0,6; 0,7; 0,8 и 0,9. Найдите вероятность попадания

при одном выстреле, если стреляющий берет одно из ружей наугад.

Решение:

Пусть событие А состоит в том, что на при выстреле произошло попадание. По условию она может быть произведена одним из 5 ружей с вероятностями попадания (условные вероятности) 0,5; 0,6; 0,7; 0,8 и 0,9. Выбор ружья равновозможен, тогда вероятность выбора равна 1/5=0,2. Следовательно, по формуле полной вероятности вероятность того, что попала бракованная деталь равна:

.

5.

В семье четыре ребенка. Считая, что вероятность рождения мальчика равна 0,5, найдите вероятность того, что среди этих детей:

а) есть хотя бы один мальчик; б) не менее двух мальчиков.

Решение:

По формуле Бернулли:

.

Тогда

а) ;

б).

6.

Вероятность того, что абонент позвонит на АТС в течение часа одинакова для всех абонентов и равна 0,01. АТС обслуживает 200 абонентов. Найдите вероятность того, что в течение часа на АТС последует: а) не менее двух звонков; б) хотя бы один звонок. Каково наивероятнейшее число звонков на АТС в течение часа?

Решение:

В данной задаче число испытаний велико, вероятность наступления события мала, тогда применима формула Пуассона:

.

Тогда

а) ;

б)

Наивероятнейшее число звонков определяется неравенством:

7.

Для д. с.в. X с рядом распределения

-4	-1	1	3	4	6
0,2	0,1	0,1	0,1	0,1	0,4

а) найдите вероятности Р(Х > 3), Р(Х < 20), Р(-1 < X <4), Р(Х = 3),

Р(X>0)(Х = 3); б) вычислите математическое ожидание и дисперсию;

с) постройте график функции распределения.

Решение:

А) Р(Х > 3)=Р(Х=4)+Р(Х=6)=0,1+0,4=0,5

Р(Х < 20)=1

Р(-1 < X <4)=Р(1)+Р(3)=0,1+0,1=0,2

Р(Х = 3)=0,1

Р(X>0)(Х = 3) =0,1 /(0,1+0,1+0,1+0,4)=1/7

Б)

Функция распределения:

8.

Длительность международных телефонных разговоров распределена примерно по показательному закону, в среднем разговор продолжается 3 мин. Какова вероятность того, что очередной разговор будет длиннее 3 мин? Какая часть всех разговоров продолжается менее минуты?

Решение:

Для показательного распределения

То есть 4,9% разговоров имеют продолжительность меньше 1 минуты.

9.

Рассмотрим несколько различных операций (Q1, Q2, Q3)

со случайным доходом.

Q1

-30	0	30	60
0,1	0,2	0,5	0,2

Q2

-30	0	30	60
0,3	0,2	0,1	0,4

Q3

-30	0	30	60
0,3	0,1	0,2	0,4

Вычислить для всех операций ожидаемый доход , СКО, r . Нанести эти характеристики на единый рисунок, получив графическое изображение операций. С помощью взвешивающей формулы , найти лучшую и худшую операции.

Q1:

Лучшая операция первая, худшая вторая.

10.

1. По свойствам математического ожидания мат. ожидание Х равно 2*2+5=9, дисперсия: 22*22=16. Функция плотности распределения Х:

Функция распределения:

Правило 3 сигм:

2.

3. Составим дискретный ряд, упорядочив результаты наблюдений по возрастанию:

13,14,14,15,15,15,16,16,16,17,17,17,17,17,18,18,18,19,19,19

Х	13	14	15	16	17	18	19
n	1	2	3	3	5	3	3

Многоугольник частостей:

Найдем накопленные частоты:

Х	13	14	15	16	17	18	19
n	1	2	3	3	5	3	3
w	0,05	0,1	0,15	0,15	0,25	0,15	0,15
Накопленная частота	0,05	0,15	0,3	0,45	0,7	0,85	1

График выборочной функции распределения:

Выборочное среднее:

По исходному ряду: (13+19+19+14+…+16)/20=16,5.

Выборочная дисперсия:

Так как выборочные значения от 13 до 19, то можем предположить, что это оценки суммарный балл при сдаче студентами сессии из 4 экзаменов.

4. Закон распределения Х:

Х	-1	0	1
Р	0,3	0,5	0,2

Закон распределения У:

У	0	3
Р	0,4	0,6

Условный закон распределения Х при условии У=0:

Х	-1	0	1
Р	0,5	0,25	0,25

(Х-MX)*(Y-MY)	-0,9*(-1,8)	-0,9*1,2	0,1*(-1,8)	0,1*1,2	1,1*(-1,8)	1,1*1,2
P	0,12	0,18	0,2	0,3	0,08	0,12

(Х-MX)*(Y-MY)	-1,98	-1,08	-0,18	0,12	1,32	1,62
P	0,08	0,18	0,2	0,3	0,12	0,12

Тогда коэффициент корреляции также равен 0.