Контрольная работа

“НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ”

ЗАДАНИЕ. Вычислить неопределенные интегралы:

1.

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) .

2.

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) .

3.

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

10) .

8) ;

9) ;

4.

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) .

5.

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) .

6.

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) .

7.

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) .

8.

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) .

9.

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) .

10.

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) .

11.

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) .

12.

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) .

13.

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) .

14.

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) .

15.

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) .

16.

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) .

17.

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) .

18.

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) .

19.

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

10) .

8) ;

9) ;

20.

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) .

21.

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) .

22.

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) .

23.

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) .

24.

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) .

25.

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) .

26.

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) .

27.

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) .

28.

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) .

29.

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) .

30.

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) .

Образец выполнения контрольной работы

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

“Неопределенный интеграл”

Вычислить интегралы:

1)

Делаем замену переменных. Так как – это почти производная , за t можно взять , а лучше , тогда

.

Выразим отсюда , получим

Можно проверить, что интеграл найден верно. Для этого воспользуемся формулой

Ответ: .

2)

В интеграле в числителе стоит почти производная от . Поэтому .

Тогда

Ответ:

3)

. Применяем формулу интегрирования по частям:

, .

После подстановки получим

Ответ:

4) Выделим в знаменателе интеграла полный квадрат:

где .

В конечном счете после подстановки получаем

Найдем отдельно интегралы.

. После подстановки: получим

Подставляя найденные выражения в , получим

Ответ:

5) . Делая подстановку: , получим .

Под знаком интеграла стоит неправильная рациональная дробь. Разделим числитель на знаменатель так же, как число 231 на 8, столбиком,
 
, результат записывается смешанной дробью:

Аналогично делим многочлены.

Берем степень , делим на , получаем . Затем умножаем на , получаем и отнимаем от . взаимно уничтожаются, сносим вниз, , а при вычитании становится . Затем делим на , получаем . Затем умножаем на , получаем и это отнимаем и т. д.

Записываем результат деления: и подставляем его под знак интеграла . Последнее слагаемое представляет собой правильную дробь, которую можно разложить в сумму простейших дробей.

Приравниваем числители дробей

,

Теперь

Ответ:

Делая подстановку: , получим

Ответ: .

Так находятся интегралы, если есть хотя бы одна нечетная степень и . В случае, если имеются только четные степени, интегралы находят с помощью понижения степени по формулам тригонометрии.

Ответ: