Численная диагностика разрушения решения уравнения Бенджамена—Бона—Махони—Бюргерса

студентка 2го курса

Московский государственный университ имени , 
физический факультет, Москва, Россия
E–mail: black-lark@yandex.ru

Большой интерес представляют нелинейные математические модели, в которых наблюдается коллапс (blow-up), т. е. решение или его производные обращаются в бесконечность за конечное время (см., напр., [1]—[3]). В последнее время эта тематика привлекает значительное внимание исследователей. Для большого количества конкретных задач аналитически получены достаточные, порой близкие к необходимым, условия коллапса. В то же время, как показывает простой пример явной схемы Эйлера для задачи Коши, численные методы далеко не всегда «чувствуют» наличие коллапса и способны ввести в заблуждение относительно существования решения и его поведения.

В работах , и [4], [5] (см. также [1]) предложен подход, основанный на оценке эффективного порядка точности разностной схемы с помощью метода Ричардсона (также известного как метод Рунге). Пока решение остаётся гладким, эффективный порядок на не слишком грубых сетках близок к теоретическому, тогда как появление особенностей решения снижает порядок, а затем, как правило, приводит к бессмысленным результатам (порядок становится отрицательным или комплексным). Поэтому нахождение эффективного порядка точности для каждого узла -сетки позволяет отследить момент разрушения решения с точностью порядка шага сетки по времени. Разностная схема строится с помощью метода прямых, причём для решения полученной ОДУ рекомендуется использовать комплексную схему Розенброка. Эта схема имеет значительные вычислительные достоинства: аппроксимация 2-го порядка и L2-устойчивость, что особенно ценно для нелинейных задач, т. к. позволяет избежать итерационных процедур при переходе на следующий временной слой.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

В нашей работе описанная идея применена к начально-краевой задаче

достаточные условия разрушения решения которой впервые получены в работе [6]. Численно найденное значение момента разрушения для нескольких рассмотренных начальных значений, как и следовало ожидать, не превосходит теоретически предсказанной в оценки сверху. Поскольку мы имеем дело с уравнением соболевского типа (производная по времени берётся не от решения, а от значения на решении оператора с производными по пространству), система ОДУ метода прямых имеет вид

т. е. осложнена наличием матрицы , отличной от единичной. Отметим также, что наличие первой производной в граничных условиях задачи потребовало для сохранения второго порядка аппроксимации по введения фиктивного узла вне отрезка . Во избежание вырожденности матрицы значения в граничных узлах были исключены из системы явно.

В таблице 1 приведены некоторые результаты расчётов, где было положено . Здесь – это теоретическая оценка сверху времени разрушения решения полученная в [6], – оценка, полученная описанным выше численным методом.

Таблица 1. Оценка времени разрушения решения

№

1

1,00

2

0,67

0,19

3

1,00

0,29

4

1,00

0,43

Как видно, теоретическая оценка времени разрушения в наших примерах завышена приблизительно в 2,5—4 раза, но в этом нет ничего удивительного, поскольку она получена с помощью единственной пробной функции.

В качестве примера функции, для которой коллапса не происходит, можно привести . Для неё достаточное условие разрушения решения не выполнено, и численные расчёты демонстрируют разрешимость на больших промежутках времени.

Численные эксперименты показывают, что предложенный в [1], [4], [5] подход действительно является эффективным средством численного детектирования момента разрушения решения и может быть применён к начально-краевым задачам для различных нелинейных уравнений, в том числе соболевского типа.

Литература

, , Плетнер и нелинейные уравнения соболевского типа. М.: Физматлит, 2007. Корпусов в параболических и псевдопараболических уравнениях с двойными нелинейностями. М.: Книжный дом «Либроком», 2012. Galaktionov V. A., Vasquez J. L. The problem of blow-up in nonlinear parabolic equations // Discrete and continuous dynamical systems, 2002, vol. 8, no. 2, pp. 399—433. , , Корякин особенностей точного решения при расчётах с контролем точности // ЖВМиМФ, 2005, т. 45, № 10, с. 1837—1847. , , Корякин особенностей точного решения методом сгущения сеток // ДАН, 2005, т. 404, № 3, с. 1—5. , Панин разрешимость и разрушение решения для уравнения Бенджамена—Бона—Махони—Бюргерса с нелокальным граничным условием // Теоретическая и математическая физика, 2013, т. 175, № 2, с. 159—172.