Оценка волатильности

ОЦЕНКА ВОЛАТИЛЬНОСТИ

Это статья может оказаться полезной тем, кто впервые слышит это слово, и тем, кто давно торгует «вегой». Итак, волатильность(volatility) – это нормированная величина изменения цены. И от того как будем измерять движение цен зависит какую волатильность мы получим. Важно лишь то что это абсолютная величина, в отличии от ATR (Average True Range), т. е. если ATR на Сбербанке, к примеру 300, а на РАО ЕЭС, к примеру 0.1, это не значит что Сбербанк более волатильный, а роль играет процентное соотношение. Таким образом, зная эту абсолютную величину мы можем сказать, цена на какой актив более подвижная. Волатильность бывает двух типов, можно придумать и больше, но фактически они подходят под эти два: историческая (historical) и ожидаемая (implied). Историческая - это волатильность, оценка которой проведена на основании исторических данных на этот актив. Ожидаемая волатильность - это такая волатильность, которая при подстановки в формулу Блэка-Шоулса даст цену последней сделки на опцион с ближнем погашением и страйком. Таким образом, ожидаемая волатильность имеет смысл, только если на этот актив торгуются опционы. Имея исторические данные, можем по-разному произвести оценку волатильности: это зависит от глубины данных, периодов в расчётах, методов и т. д. Все такие методы имеют разные цели, например: наименьшая погрешность 5-дневного запаздывания, или наибольшая приближённость к ожидаемой и т. д. Потом, в Интернете я однажды натолкнулся на сайт в котором определяются уровни для наиболее ликвидных американских акций из статистических соображений волатильности, и предлагается торговать от них «отскок». Это вот как(забегая немного вперёд): если известно что волатильность V 30%, а цена P акции ААА равна 50, то по статистике(кто знает, тот поймёт) цена на следующий день окажется в диапазоне: с вероятностью 0.68, а если взять двойную волатильность то попадание в диапазон составит 0.95, тройную – 0.998. Дело в том что в данной ситуации мы имеем дело со статистической вероятностью, без какой-либо вероятностной модели (пространства), поэтому сложно делать выводы о результатах. Другое дело ожидаемая волатильность – по крайне мере есть заинтересованные лица в вероятности такого события. Так вот, если всё же историческая волатильность представляет для вас какой-то интерес, то остановимся на ней подробней. Первый и пожалуй самый часто встречающий метод оценки исторической волатильности за какой-то период n на основе стандартного отклонения: , , n – период вычислений. с_i – цена закрытия в убывающем порядке (1-вчера, 2-позавчера,…).Е – средняя цена.D – стандартное отклонение цен.V_h – историческая волатильность. Получается, что историческая волатильность это вероятное отклонение цены которое может произойти за год. Основной недостаток этого метода то, что результат не является упорядоченным от исходных данных, т. е. цена в начале периода могла сильно изменятся, а потом слабо, что дало бы нам такой же результат если бы было наоборот. Для этого придумали регрессивные модели построения распределений ARCH/GARCH. Модель волатильности ARCH(p), для ненулевого матожидания вычисляется как: , p – порядок ARCH-модели. \delta_i – разница цен закрытия. \alpha_i – нормированные коэффициенты модели(\sum_{i=0}^{p}\alpha_i = 1). D – стандартное отклонение за некий период. V_a – волатильность ARCH(p). А в модели GARCH(p,q) присутствует регрессия непосредственно от самого результата: V_a – волатильность ARCH(p). \beta_i – нормированные коэффициенты модели(\sum_{i=1}^{q}\beta_i = 1). V_g^i – волатильность GARCH(p,q) в убывающем порядке(0 – оценка на сегодня, 1 – вчера, позавчера) Остаётся подобрать коэффициенты \alpha, \beta и можно использовать по назначению. Некоторые специалисты рекомендуют \alpha_0 0.95 для одних инструментов или 0.98 для других, но мне кажется все коэффициенты лучше подбирать для себя, или для какой-то конкретной задачи, верней для того чего вы хотите оценить волатильность. Лично я обычно использую GARCH(10,10) с коэффициентами \alpha(0.5, 0.075, 0.075, 0.075, 0.075, 0.05, 0.05, 0.025, 0.025, 0.025, 0.025) и \beta(0.4, 0.09, 0.09, 0.09, 0.09, 0.06, 0.06, 0.03, 0.03, 0.03, 0.03). Вот как выглядит такая модель в сравнении с волатильностью, вычисленной на основе стандартного отклонения на дневном графике РАО ЕЭС (Рис. 1.): Рис. 1. (Волатильность GARCH(10,10) – синяя линия, волатильность на основе стандартного отклонения – красная линия) В обоих случаях использовалось 30-и дневное окно. То что синяя линия выше красной, это уже хорошо, потому что ожидаемая волатильность в последний день была ещё больше - 32%. И потом синяя линия имеет опережающую динамику. Вот код этого индикатора в TS Omega: {||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||} { Statistical Indicator  } { Spread Measure  } { whiteline Group Copyright (c) 2004 } {||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||} Input: period(numeric); var: d1(0.3), d2(0.3), d3(0.2), d4(0.1), d5(0.1), r1(0.3), r2(0.3), r3(0.2), r4(0.1), r5(0.1), ii(0), Base(0), Diff(0), AvgDiff(0), ARCH(0), GARCH(0); Diff = log(c/c[1]); AvgDiff = Average(Diff, period); Base = 0; for ii = 0 to period-1 begin Base = Base + 365*Square(Diff[ii] - AvgDiff)/period; end; ARCH = 0.5*Base + 0.5*365*( (Square(Diff[0])+Square(Diff[1]))*d1 + (Square(Diff[2])+Square(Diff[3]))*d2 + (Square(Diff[4])+Square(Diff[5]))*d3 + (Square(Diff[6])+Square(Diff[7]))*d4 + (Square(Diff[8])+Square(Diff[9]))*d5 )/2; GARCH = 0.4*ARCH + 0.6*( (GARCH[1]+GARCH[2])*r1 + (GARCH[3]+GARCH[4])*r2 + (GARCH[5]+GARCH[6])*r3 + (GARCH[7]+GARCH[8])*r4 + (GARCH[9]+GARCH[10])*r5 )/2; plot1(SquareRoot(GARCH), “Normal”, blue); Как-то один мой друг предложил рассматривать волатильность «вверх» и «вниз», причём сослался на это, как всем известный факт. После некоторых поисков и Интернет и литературе я не нашёл ничего подобного, а скорее наоборот нашёл отрицание существования таких градаций. Но мне это идея показалась не так уж и плохой, а если быть откровенным то именно эту модель я и использую в опционной торговле. Итак, идея в следующем: необходимо разбить ряд V^i на две составляющие U^i, D^i , так что б для любого i выполнялось равенство V^i = (U^i+D^i)/2 и у ряда U^i присутствовала связь c ростом цен (корреляция в данном случае), а у D – c падением (антикорреляция). Всё это я сделал для GARCH-модели, а выглядит это: Рис. 2. (U – зелёная линия, D – красная, V – синяя) Посередине изображены сами эти ряды – «волатильность вверх», «волатильность вниз», а внизу их корреляция с ценой. Из рисунка видно что корреляция GARCH-модели строго между корреляциями её составляющих, и потом их среднее в любой момент всегда равна «первообразной».