Лекция № 7 по учебной дисциплине «Физика»

ЛЕКЦИЯ № 7

по учебной дисциплине «ФИЗИКА»

Занятие № 4/3. Момент импульса. Энергия вращения

Краснодар 2011

ЗАНЯТИЕ № 11.

Раздел 1. «Физические основы механики».

Тема № 4. Кинематика и динамика твердого тела, жидкости и газов

Лекция № 7. «Момент импульса. Энергия вращения».

ИЗУЧАЕМЫЕ ВОПРОСЫ :

1. Момент импульса материальной точки и твердого тела.

2. Закон сохранения момента импульса. Гироскопический эффект.

3.Работа при вращательном движении твердого тела.

4.Кинетическая энергия вращения. Плоское движение твердого тела.

ЦЕЛЬ : Продолжить изучение кинематики и динамики твердого тела на основе понятия момента импульса

ОБЕСПЕЧЕНИЕ :

• методическая разработка занятия;

• цветной мел, доска.

Литература: | 1 | , с.

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

В основной части, раскрывая изучаемые вопросы, достигается поставленная цель. В заключительной части, кроме установки на самоподготовку и определения темы следующего занятия целесообразно вызвать аудиторию на краткое обсуждение рассмотренных вопросов, указав на важность изучаемого материала для будущего лётчика, обеспечив тем самым закрепление пройденного материала.

Рябчун

2

ВВОДНАЯ ЧАСТЬ

В данной лекции продолжается рассмотрение динамики вращательного движения. При этом мы должны понять, что любое механическое движение может быть разложено на прямолинейное и вращательное.

При сравнении законов вращательного и поступательного движений просматриваются аналогии: сила–момент, масса–момент инерции. Нет пока аналога импульсу тела.

Вопрос1. Момент импульса материальной точки и твердого тела

При вращательном движении материальной точки А определённой массы, данная точка будет обладать импульсом:

(1.1)

Моментом импульса (количеством движения) материальной точки А относительно неподвижной точки О называется физическая величина, определяемая векторным произведением:

, (1.2)

Рис. 1.

где – радиус-вектор, проведённый из точки в точку , – импульс материальной точки, – псевдовектор, его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от к .

Модуль вектора момента импульса имеет вид:

, (1.3)

где – угол между векторами и , – плечо вектора относительно точки .

3

При вращении абсолютно твёрдого тела вокруг неподвижной оси, каждая отдельная точка тела движется по окружности определённого радиуса с определённой скоростью однозначно связанной с угловой скоростью :

(1.4)

Скорость , а значит и вектор импульса , перпендикулярна вектору , тогда, учитывая, что запишем для отдельной точки тела:

(1.5)

Рис. 2.

Момент импульса твердого тела относительно оси есть сумма моментов импульсов отдельных частиц:

, (1.6)

где – одинаковая для всех тел угловая скорость, – момент инерции тела относительно оси .

Таким образом, момент импульса твёрдого тела относительно оси равен произведению момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость.

4

Вопрос2. Закон сохранения момента импульса. Гироскопический эффект

Продифференцируем выражение :

(2.1)

Полученное выражение

еще одна формула уравнения движения твёрдого тела относительно неподвижной оси.

Производная момента импульса твёрдого тела относительно оси равна моменту сил относительно той же оси.

Можно доказать, что имеет место и векторное равенство:

(2.2)

В замкнутой системе момент внешних сил , а значит и или . Это утверждение представляет собой закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы остаётся неизменным.

Задача. Найти техническое решение проблемы исключения вращения корпуса вертолёта, так как вертолёт замкнутая система и в соответствии с установленным законом. Так как при начальном условии , тогда

.

Для того чтобы сохранить положение оси вращения твердого тела с течением времени неизменным, используют подшипники, в которых она удерживается. Однако существу­ют такие оси вращения тел, которые не изменяют своей ориентации в пространстве без действия на нее внешних сил. Эти оси называются свободными осями (или осями свободного вращения). Можно доказать, что в любом теле существуют три взаимно перпендикулярные оси, проходящие через центр масс тела, которые могут служить свободными осями (они называются главными осями инерции тела). Например, главные оси инерции однородного

5

прямоугольного параллелепипеда проходят через центры противоположных граней (см. рис.). Для однородного цилиндра одной из главных осей инерции является его геометрическая ось, а в качестве остальных осей могут быть две любые взаимно перпендикулярные оси, проведенные через центр масс в плоскости, перпендикулярной геометрической оси цилиндра. Главными осями инерции шара являются любые три взаимно перпендикулярные оси, проходящие через центр масс.

Для устойчивости вращения большое значение имеет, какая именно из свободных осей служит осью вращения тела.

Можно показать, что вращение вокруг главных осей с наибольшим и наименьшим моментами инерции оказывается устойчивым, а вращение около оси со средним моментом — неустойчивым. Так, если подбросить тело, имеющее форму параллелепи­педа, приведя его одновременно во вращение, то оно, падая, будет устойчиво вращать­ся вокруг осей 1 и 2 (см. рис).

Если, например, палочку подвесить за один конец нити, а другой конец, закреплен­ный к шпинделю центробежной машины, привести в быстрое вращение, то палочка будет вращаться в горизонтальной плоскости около вертикальной оси, перпендикуляр­ной оси палочки и проходящей через ее середину (см. рис). Это и есть ось свободного

вращения (момент инерции при этом положении палочки максимальный).

Если теперь палочку, вращающуюся вокруг свободной оси, освободить от внешних связей (аккурат­но снять верхний конец нити с крючка шпинделя), то положение оси вращения в пространстве в течение некоторого времени сохраняется.

Свойство свободных осей сохранять свое положение в пространстве широко применяется в технике. Наиболее интересны в этом плане гироскопы — массивные однородные тела, вращающиеся с большой угловой скоростью около своей оси симметрии, являющейся свободной осью.

Рассмотрим одну из разновидностей гироскопов — гироскоп на кардановом подве­се (см. рис). Дискообразное тело — гироскоп — закреплено на оси АА, которая может вращаться вокруг перпендикулярной ей горизонтальной оси ВВ, которая, в свою очередь, может поворачиваться вокруг вертикальной оси DD. Все три оси пересекаются в одной точке С, являющейся центром масс гироскопа и остающейся неподвижной, а ось гироскопа может принять любое направление в

6

пространстве. Силами трения в подшипниках всех трех осей и моментом импульса колец пренебрегаем.

Так как трение в подшипниках мало, то, пока гироскоп неподвижен, его оси можно придать любое направление. Если начать гироскоп быстро вращать (например, с помо­щью намотанной на ось веревочки) и поворачивать его подставку, то ось гироскопа сохраняет свое положение в пространстве неизменной. Это можно объяснить с помо­щью основного закона динамики вращательного движения. Для свободно враща­ющегося гироскопа сила тяжести не может изменить ориентацию его свободной оси, так как эта сила приложена к центру масс (центр вращения С совпадает с центром масс), а момент силы тяжести относительно закрепленного центра масс равен нулю. Моментом сил трения мы также пренебрегаем. Поэтому если момент внешних сил относительно его закрепленного центра масс равен нулю, то момент импульса гироскопа сохраняет свою величину и направле­ние в пространстве. Следовательно, вместе с ним сохраняет свое положение в простран­стве и ось гироскопа.

Чтобы ось гироскопа изменила свое направление в пространстве, необходимо отличие от нуля момента внешних сил. Если момент внешних сил, приложенных к вращающемуся гироскопу, относительно его центра масс отличен от нуля, то наблюдается явление, получившее название гироскопического эффекта. Оно состоит в том, что под действием пары сил F, приложенной к оси вращающегося гироскопа, ось гироскопа (см. рис) поворачивается вокруг прямой O3O3, а не вокруг

прямой 0202, как это казалось бы естественным на первый взгляд (0101 и 0202 лежат в плоскости чертежа, а O3O3 и силы F перпендикулярны ей).

Гироскопический эффект объясняется следующим образом. Момент М пары сил F направлен вдоль прямой 0202. За время dt момент импульса L гироскопа получит приращение dL=Mdt (направление dL совпадает с направлением М) и станет равным L'=L+dL. Направление вектора L' совпадает с новым направлением оси

7

вращения гироскопа. Таким образом, ось вращения гироскопа повернется вокруг прямой O3O3. Если время действия силы мало, то, хотя момент сил М и велик, изменение момента импульса dL гироскопа будет также весьма малым. Поэтому кратковременное дейст­вие сил практически не приводит к изменению ориентации оси вращения гироскопа в пространстве. Для ее изменения следует прикладывать силы в течение длительного времени.

Если ось гироскопа закреплена подшипниками, то вследствие гироскопического эффекта возникают так называемые гироскопические силы, действующие на опоры, в которых вращается ось гироскопа. Их действие необходимо учитывать при констру­ировании устройств, содержащих быстровращающиеся массивные составные части. Гироскопические силы имеют смысл только во вращающейся системе отсчета и явля­ются частным случаем кориолисовой силы инерции.

Гироскопы применяются в различных гироскопических навигационных приборах (гирокомпас, гирогоризонт и т. д.). Другое важное применение гироскопов — поддер­жание заданного направления движения транспортных средств, например судна (авто­рулевой) и самолета (автопилот) и т. д. При всяком отклонении от курса вследствие каких-то воздействий (волны, порыва ветра и т. д.) положение оси гироскопа в про­странстве сохраняется.

Следовательно, ось гироскопа вместе с рамами карданова подвеса поворачивается относительно движущегося устройства. Поворот рам кар­данова подвеса с помощью определенных приспособлений включает рули управления, которые возвращают движение к заданному курсу.

Вопрос 3. Работа при вращательном движении твердого тела

Найдем выражение для работы при вращении тела. Пусть сила F приложена к точке В, находящейся от оси вращения на расстоянии r (см. рис.); α – угол между направлением силы и радиусом-вектором r. Так как тело абсолютно твердое, то работа этой силы равна работе, затраченной на поворот всего тела.

При повороте тела на бесконечно малый угол dφ точка приложения В

8

проходит путь ds = rdφ, и работа равна произведению проекции силы на направление смещения на величину смещения

dA = Fsinα*rdφ

Учитывая, что Frsinα = Mz можно записать dA = Mzdφ, где Mz - момент силы относительно оси вращения. Таким образом, работа при вращении тела равна произведению момента действующей силы на угол поворота.

Работа при вращении тела идет на увеличение его кинетической энергии:

dA = dEk

Вопрос4. Кинетическая энергия вращения. Плоское движение твердого тела

Рассмотрим абсолютно твердое тело вращающееся около неподвижной оси z, проходящей через него Мысленно разобьем это тело на маленькие объемы с элементарными массами т1, т2 ..., mn,, находящиеся на расстоянии r1,r2…..rn от оси.

При вращении твердого тела относительно неподвижной оси отдельные его элементар­ные объемы массами mi опишут окружности различных радиусов ri и имеют различные линейные скорости vi. Но так как мы рассматриваем абсолютно твердое тело, то угловая скорость вращения этих объемов одинакова:

= v/r

Кинетическую энергию вращающегося тела найдем как сумму кинетических энер­гий его элементарных объемов:

Tвр =

9

Используя это выражение, получаем

Tвр = =

где , — момент инерции тела относительно оси z. Таким образом, кинетическая энергия вращающегося тела

Tвр =

Сравнивая полученную формулу с выражением для кинетической энергии тела, движущегося поступательно отметим, что момент инерции — мера инерт­ности тела при вращательном движении. Полученная формула справедлива для тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.

В случае плоского движения тела, например цилиндра, скатывающегося с наклон­ной плоскости без скольжения, энергия движения складывается из энергии поступатель­ного движения и энергии вращения:

T = +

Где m – масса катящегося тела; vc – скорость центра масс тела;

Jc – момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс;

- угловая скорость тела.

ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНАЯ ЧАСТЬ.

Полученные соотношения позволяют проводить количественную оценку состояний механических систем и решать конкретные задачи.

На самоподготовке:

Изучить рассмотренные вопросы по конспекту и | 1 | , с.

СЛЕДУЮЩЕЕ ЗАНЯТИЕ №13. ПЗ. № 6 «Момент импульса»