§3. Показательные неравенства
Решение показательных уравнений основано на свойство степеней:
п.1. Неравенства вида 
В зависимости от основания имеем:
|
|
|
|
Замечание: обоснование перехода от сравнение степеней к сравнению показателей можно приводить разные: 1) «так как основание … больше(меньше) единицы, то по свойству степени получим… 2) ввести функцию вида 
, где t-нейтральный показатель и при переходе говорить о свойстве показательной функции.
П р и м е р 66. Решить неравенство 
.
Решение.
Представим степени, стоящие в левой и правой части, в виде степени с основанием 2:
.
Так как основание 2 больше 1, то по свойству степени получим, что:
Ответ: 
.
П р и м е р 67. Решить неравенство 
.
Решение.
Разделим обе части неравенства на 
:
.
Так как основание 
, то по свойству степени получим, что:
Ответ: 
.
п.2. Введение новой переменной
П р и м е р 68. Решить неравенство 
.
Решение.
.
Пусть 
,тогда неравенство примет вид:
Вернемся к старой переменной.
Ответ: 
.
П р и м е р 69. Решить неравенство 
.
Решение.
Пусть 
, так как 
,тогда неравенство примет вид:
Вернемся к старой переменной.
Ответ: 
.
П р и м е р 70. Решить неравенство 
.
Решение.
.
Пусть 
, тогда неравенство примет вид:
Вернемся к старой переменной.
Ответ: 
.
П р и м е р 72. Решить неравенство 
.
Пусть 
, тогда неравенство примет вид:
Вернемся к старой переменной.
Ответ: 
.
П р и м е р 73. Решить неравенство 
.
Решение.
Разделим обе части неравенства на 
:
Пусть 
, тогда неравенство примет вид:
Вернемся к старой переменной:
Ответ: 
.
п.3. Степенно-показательное неравенство 
Неравенства такого вида можно решать несколькими способами.
Способ I (использование свойств показательной функции)
Способ II (способ замены функции)
П р и м е р 74. Решить неравенство 
.
Так как функция 
является сложнопоказательной (степенно-показательной) функцией, то на основание наложено условие 
и поэтому имеем три случая:
а) 
.
б) 
.
в) 
Ответ: 
П р и м е р 75. Решить неравенство 
.
Способ 1.
Так как функция 
является сложнопоказательной (степенно-показательной) функцией, то на основание наложено условие 
и поэтому имеем случаи:
а) 
б) 
.
Ответ: 
.
Способ 2.
.
Ответ: .
П р и м е р 76. Решить неравенство 
.
Решим способом замены функции:
.
Ответ: 
.
п.4. Неравенство вида 
.
П р и м е р 77. Решить неравенство 
.
Решение.
Способ 1 (разложение на множители)
Ответ: 
Способ 2 (замена функции)
.
Далее можно методом интервалов:
Ответ:
п.5. Обобщенный метод интервалов.
П р и м е р 78. Решить неравенство 
.
Решение.
Пусть 
.
1) Область определения: 
2) Найдем «нули» функции 
на области определения:
3) Отметим на координатной прямой область определения и «нули» и на полученных промежутках найдем знаки функции :
Ответ: 
П р и м е р 79. Решить неравенство 
.
Решение.
Способ 1 ()
Пусть 
, тогда неравенство примет вид:
Ответ: 
.
Способ 2 (метод интервалов)
Перепишем неравенство в виде 
.
1) Область определения: 
.
2) Найдем «нули» функции на области определения:
Пусть , тогда уравнение примет вид:
3) На прямой отметим область определения и на полученном промежутке найдем знак функции:
Так как 
.
Ответ: .
п.6. Неравенства с параметром
П р и м е р 80. При каких значениях параметра а каждое решение неравенства
является решением неравенства
?
Решение.
Способ 1
Упростим первое неравенство:
.
Упростим второе неравенство:
Рассмотрим функции 
. Графики этих функций – параболы с одно и той же осью симметрии 
:
С учетом того, что пустое множество является подмножеством любого множества, следует, что требования примера будут выполнены только в том случае, когда график функции 
лежит выше графика функции 
, т. е. когда
Решим полученное неравенство:
Ответ: 
.
Способ 2
Решим первое неравенство
или 
Ясно, что если 
, то неравенство не имеет решения, но с учетом замечания сформулированного в способе 1 найденное условие подходит.
Рассмотрим вариант 
, тогда
Решим второе неравенство
или 
Ясно, что оно имеет решение при любом а:
По условию задачи
и это будет выполнено при условии, если
Ответ: .
П р и м е р 81. Решить неравенство в зависимости от параметра а
Решение.
1) Очевидно, что при 
неравенство не имеет решения;
2) Рассмотрим 
Пусть
, тогда неравенство примет вид:
.
Вернемся к старой переменной:
В зависимости от основания возможны два варианта:
|
|
|
|
Ответ: если неравенство не имеет решения; если 
, то
; если 
, то 
.
П р и м е р 82. Решить неравенство в зависимости от параметра а
Решение.
1) Очевидно, что при 
неравенство не имеет решения;
2) При 
неравенство примет вид:
что верно при любом х;
3) Рассмотрим 
.
Пусть, тогда неравенство примет вид:
.
Так как 
, то получим:
Вернемся к старой переменной:
В зависимости от основания возможны два варианта:
|
|
|
|
Ответ: если неравенство не имеет решения; если , то
;если , то 
; если , то 
.
