Задача

Задача 2найти наибольшее и наименьшее значение функции в области D, заданной системой неравенств:

2) определить характер критических точек функции во всей естественной области ее определения, используя достаточное условие экстремума; 3) сделать чертеж области определения.

Решение: Найдем критические точки функции

:

Решая систему, получили две критических точки:

и .

Построим область заданную неравенствами: Границей области являются прямые х = –2, и у = –12 – х.

Точки и принадлежит заданной области.

Вычислим значение функции в этих точках:

Найдем наибольшее и наименьшее значение функции на каждой из линий, образующих границу области.

На отрезке оси Ох, где имеем

Так как при , то вычисляем значения функции на концах отрезка :

На отрезке прямой имеем

Так как при , то вычисляем значения функции на концах отрезка :

На отрезке прямой , имеем

при ,

Также необходимо вычислить значения функции на концах отрезка :

Из всех полученных значений выбираем наибольшее и наименьшее:

2) Естественная область существования данной функции есть вся числовая плоскость .

Определим характер критических точек функции и по достаточному условию. Для этого найдем частные производные второго порядка:

А = В = С =

Вычисляем значения А, В, С в критической точке :

поэтому

Так как А = 0, то дать ответ о характере критической точки используя достаточное условие экстремума нельзя.

Вычисляем значения А, В, С в критической точке :

поэтому

В силу достаточных условий заключаем, что в точке функция имеет максимум:

3) область определения – вся числовая плоскость .

Задача 2найти наибольшее и наименьшее значение функции в области D, заданной системой неравенств:

2) определить характер критических точек функции во всей естественной области ее определения, используя достаточное условие экстремума; 3) сделать чертеж области определения.

Решение. Найдем критические точки функции :

Решая систему, получили две критических точки:

и .

Построим область заданную неравенствами:

Границей области являются прямые х = 0, и у = 8 + х.

Точки и принадлежит заданной области. Вычислим значение функции в этих точках:

Найдем наибольшее и наименьшее значение функции на каждой из линий, образующих границу области.

На отрезке оси Оу, где имеем

Так как при , то вычисляем значения функции в этой точке и на концах отрезка :

На отрезке прямой , имеем

Так как при , то вычисляем значения функции на концах отрезка :

На отрезке прямой имеем

при , ,

На концах отрезка :

Из всех полученных значений выбираем наибольшее и наименьшее:

2) Естественная область существования данной функции есть вся числовая плоскость .

Определим характер критических точек функции и , используя достаточное условие экстремума. Для этого найдем частные производные второго порядка:

А = В = С =

Вычисляем значения А, В, С в критической точке :

поэтому

Так как А = 0, то дать ответ о характере критической точки используя достаточное условие экстремума нельзя.

Вычисляем значения А, В, С в критической точке :

поэтому

В силу достаточных условий заключаем, что в точке функция имеет максимум:

3) область определения – вся числовая плоскость .