О численном решении интегро-дифференциального уравнения
, ,
Бакинский Государственный Университет
Решения некоторых практических задач сводятся к решению интегро–дифференциальных уравнений. А для численного решения таких уравнений в основном используются методы квадратур или его комбинации с многошаговыми или одношаговыми методами. Метод квадратур в основном применяется к вычислению интеграла, участвующего в интегро–дифференциальных уравнениях. Поскольку этот интеграл имеет Вольтеровский тип, очевидно, что при замене его интегральной суммой верхний предел суммы зависит от текущей точки, в которой определяются значения интеграла. Таким образом получаем интегральную сумму с переменными границами, работать с которыми нелегко. Поэтому здесь предлагается многошаговый метод с постоянными коэффициентами, который освобожден от отмеченного недостатка.
Введение. Рассмотрим следующее интегро-дифференциальное уравнение:
(1)
Допустим, что непрерывные функции 
и
определены в некоторой замкнутой области 
и удовлетворяют условию Липшица по y, а решение уравнения (1) в точке 
удовлетворяет условию:
. (2)
Тогда задача (1)-(2) имеет единственное решение на некотором отрезке 
. Задача (1)-(2) заменяется эквивалентной задачей, которая имеет следующий вид:
(3)
. (4)
После применения многошагового метода к решению задачи (3) и уравнения (4), получим следующие системы разностных уравнений:
(5)
(6)
где коэффициенты 
- некоторые действительные числа, 
и постоянная величина 
- шаг разбиений отрезка на 
равных частей.
Один из важных вопросов заключается в том, что насколько ближе найденные значения решения задачи (1)-(2) по схеме (5)-(6) к точным значениям решения задачи (1)-(2).
§1. Сходимость 
-шагового метода с постоянными коэффициентами.
Как известно, при реальном использовании -шагового метода, определяемого по схеме (5) и (6), возникают некоторые ошибки округлений. Следовательно, -шаговый метод при реальном использовании будет иметь следующий вид:
(1.1)
(1.2)
Здесь через 
и 
обозначены ошибки округлений для соответствующего метода.
Поскольку величины 
и 
являются приближенными значениями решения задачи (3) и уравнения (4), естественно что при замене их точными значениями в (5) и (6) получим некоторую погрешность, которую обычно называют погрешностью методов. При этом имеем:
(1.3)
(1.4)
Сходимость метода (5)-(6) можно определить с помощью следующей теоремы.
Теорема. Пусть выполняются следующие условия:
1. Методы (5) и (6) устойчивы и 
.
2. Методы (5) и (6) имеют степень 
.
3. Непрерывные по совокупности переменных функции 
и определены в некоторой замкнутой области и там же имеют частные производные до некоторого , включительно.
4. Порядок малости для начальных данных 
имеет следующий вид
.
5. Ошибки округлений имеют более высокий порядок малости, чем начальные данные, а именно:
.
Тогда имеет место
. (1.5)
Доказательство. Вычитывая из (1.3) и (1,4) соответственно (1.1) и (1.2) имеем:
(1.6)
(1.7)
где
,
и 
находятся между 
и 
.
После некоторых преобразований соотношение (1.6) и (1.7) можем написать в следующем виде:
(1.8)
(1.9)
где
.
Рассмотрим следующие вектора:
К уравнениям (1.8) и (1.9) соответственно добавим следующие тождества:
.
Тогда полученную систему уравнений можно переписать в следующем виде:
(1.10)
(1.11)
где
.
С помощью
вектора уравнений (1.10) и (1.11) перепишем в следующем виде :
(1.12)
где
По условиям теоремы, характеристические числа матрицы 
и 
находятся внутри единичного круга, на границе которого нет кратных корней. Тогда существует блочная матрица 
такая, что 
.
В уравнении (1.12) используем замену 
. Тогда, умножая полученное уравнение слева на 
имеем:
(1.13)
Здесь
.
Легко можно показать, что матрицы 
и вектор 
ограничены т. е.
.
Переходя в норму в уравнении (1.13) имеем
(1.14)
где 
С помощью математической индукции из (1.14) получим.
. (1.15)
Упрощая эту оценку и используя следующее неравенство
,
из (1.15) получим:
.
Справедливо неравенство
.
Следовательно
.
Отсюда
. (1.16)
Учитывая условия теоремы, в (1.16) получим
.
Теорема доказана.
Л и т е р а т у р а
1. M. N. Imanova. Numerical solution of Volterra integro-differential equation. Proceeding of institute of mathematics and mechanics, XXII, Baku, 2005,
2. E. Hairer, S. P.Norsett, G. Wanner. Solving ordinary differential equations. (In Russian) М., Mir, 1990, 512 p.
3. A. F. Verlan, V. S. Sizikov. Integral equations: methods, algorithms, programs. (In Russian) Naukova Dumka, Kiev (1986), 544 p.
4. G. Yu. Mehdiyeva, V. R.Ibrahimov. On a way of the definition of the coefficients multistep methods(In Russian). News of Baku University, Series of physico-math. sciences, 2008, №2, p.35-39.
5. Dahlquist G. Convergence and stability in the numerical integration of ordinary differential equations // Math. Scand, №4, p.33-53.
6. Bakhvalov N. S. Numerical methods. (In Russian) Nauka, 1973, 631 p.
