УДК 511.2
‘Mirabilem sane’ доказательство-1637
( реконструкция )
Опубликованное Пьером Ферма доказательство случая биквадратов
в ‘последней’ теореме (ПТФ) не является основанием для сомнений
в наличии у него неизвестного полного, т. к. частный случай с N = 4
имеет и незамысловатые доказательства.
Действительно, условие этой теоремы в общем случае сводится
к уравнению с одной переменной, поскольку достаточно считать в
XN + YN = ZN [1]
X, Y и Z попарно простыми, N – простым или N = 4, - и принять за X
слагаемое, взаимно простое с таким N, чтобы в форме :
ZN - YN = XN, - [2]
левая часть оказалась произведением двух взаимно простых скобок
(Z - Y )( ZN-1 + ZN-2YN +…), соответственно приравниваемых двум взаимно
простым сомножителям числа X - в роли независимых параметров :
X ≡ QP, P > Q ≥ 1, -
и множество Φ кандидатов в попарно простые тройки Ферма задано :
X = QP, Z - Y = QN , (Y + QN)N - YN = QNPN = ZN – (Z- QN)N . [3]
При N = 2 это решение представляет собою старинный рецепт
получения всех оригинальных (попарно простых) троек Пифагора (ТП) :
(нечётн.) X = qp, Y = ( p2 – q2)/2 (кратно 4), Z = ( p2 + q2)/2. [4]
Рассмотрение же в качестве ТП уравнения для биквадратов :
Z4 - Y4 = X4 = Q4P4 как (Z2)2 - (Y2)2 = (X2)2 = (Q2P2)2, -
даёт по [4] натуральные числа Y2 = (P4 – Q4)/2 и Z2 = (P4 + Q4)/2
с разностью Z2 -Y2 = Q4 > Z –Y. Это противоречие с Z - Y = QN по [3]
исключает из Φ тройки Z,Y,X в Z4 - Y4 = X4, доказывая правоту ПТФ
для N = 4. Но и уравнение Z2m - Y2m = X2m представляет собою ТП
(Zm)2 - (Ym)2 = (Xm)2 = (QmPm)2 с разностью Zm -Ym= Q2m, противореча
отвечающему [3] Z - Y = Q2m и требуя единственно возможного m = 1.
Т. о., ПТФ верна для чётных N.
С нечётными N = 2m+1 и сумма XN+YN разложима на множители :
Z2m+1= X2m+1 + Y2m+1 = (X + Y) (X 2m - X2m-1Y + X2m-2Y2 - … + … + Y2m), - [5]
и потенциальная тройка Ферма по [3] с X = QP и Z - Y = QN должна
совпасть с тройкой по [5] при Z Ξ Nist, где i ≥ 0, а N, s, t попарно
просты, причём Y = Z- QN = Nist - QN, так что в [5] :
Z2m+1= (X + Y) ( … … ) = ( QP + Nist - QN) ( … …) ≡ SNTN, -
скобка SN = QP- QN + Nist всегда взаимно проста с N, как и X = QP,
благодаря чему SN и TN взаимно просты и при Z, кратном N.
Поэтому можно положить для [5] Z Ξ Nist = ST, SN = SN, TN = TN,
так что решение [5] подобно прежнему общему [3] для любых N :
Z = ST, (N=2m+1) X+ Y = SN, (SN - Y)N + YN = SNTN = XN + (SN - X)N. [6]
Т. о., тройка Ферма отвечает уравнению [1] в виде (ST)N - (QP)N = YN,
где единственность действительных корней Y в [3] и [6] дополняет
необходимой второй связью параметров Q, P, S, T уже установленную :
Y = ST- QN = SN – QP или ST+ P = SN +Q N или S(SN-1–T) = Q(P- QN-1), - [7]
причём вычитание уравнений для Y по [3], и [6] после раскрытия скобок
уменьшает порядок уравнения для совместного значения Y до N - 2 :
PN - TN = (N2) (QN + SN)YN-2 + (N3) (Q2N - S2N)YN-3 + …+ QN(N-1) - SN(N-1) .
Для кубов оно линейное: 3Y = (P3 - T3) / (Q3 + S3) + S3- Q3 или
3(QP + ST)Y = P3 - T3 + S6- Q6, [8]
но удобнее исходное по [2] : (QP)3 = (Z - Y)(Z2 + Z Y+ Y2) = Q3(Q6 + 3STY) , -
3STY = P3 - Q6 со следствием из обоих 3QPY = S6 - T3 ,
т. е. со связью ST(S6 - T3) = QP(P3 - Q6). Деление этого равенства на
S(S2–T) = Q(P- Q2) из [7] даёт T(S4 + S2T + T2) = P(P2 + PQ2 + Q4).
помимо qp+st = s3 + q3
и даваемой [7] с Y= sN – qp или Y = st – qN.
с тем же отсутствием критерия для различения классов чисел.
В общем случае положительных чисел при нечётном N любые
X Ξ qp и Z Ξ st > qp, где p > q, s ≠ t , в [2] задают (st)N – (qp)N = YN,
т. е. значение Y > 0 тоже однозначно определено.
Ничто не препятствует в равенстве (st)N – YN Ξ (st - Y)( … … ) = (qp)N
положить st – Y = qN , а при N = 2m+1, аналогично, в соотношении
(qp)N+YN Ξ (pq +Y)( … … ) = (st)N определить qp+ Y= sN , установив связь
qp + st = sN + qN , и получить уравнения, аналогичные [3] и [6] - задающие
тройку X, Y, Z в XN + YN = ZN двумя параметрами qp = Х или st = Z.
Аналоги [3], [6] - с той же связью параметров :
qNpN = ZN – (Z - qN)N = (st) N– (st - qN)N, sNtN = (qp)N + (sN - X)N =(st) N + (sN - qp)N, -
(sN - pq)N– (st - qN)N, = 0, т.е. тоже qp + st = sN + qN, -
дают вторую связь двух пар параметров общим действительным корнем Y,
причём вычитание уравнений для Y после раскрытия скобок уменьшает
порядок уравнения для общего значения Y до N - 2 :
pN - tN = (N2) (qN + sN)YN-2 + (N3) (q2N - s2N)YN-3 + …+ qN(N-1) - sN(N-1) .
Для кубов оно линейное: 3Y = (p3 - t3) / (q3 + s3) + s3- q3 или
3(qp + st)Y = p3 - t3 + s6- q6, [7]
но удобнее исходное по [2] : (qp)3 = (Z - Y)(Z2 + Z Y+ Y2) = q3(q6 + 3stY) , -
3stY = p3 - q6 со следствием из обоих 3qpY = s6 - t3 ,
т. е. со третьей связью qp(p3 - q6) = st(s6 - t3) помимо qp+st = s3 + q3
и даваемой [7] с Y= sN – qp или Y = st – qN.
.
Для кубов
значения Y обязаны совпасть
вытекающую и для Q, P, S, T в [3] и [6] из общности Y
в уравнениях путём их сложения и замены Y+ QN =Z= ST и SN -Y= X=QP:
(Y + QN)N = QNPN + =(Y + QN)N
qN + Y > sN - Y или > sN - qN, а по крайней мере, s > q при
(st)N – (pq)N = YN, так что sN (tN – qN) < YN или tN – qN < YN s- N.
Вычитание уравнений для Y в [3], [6] после раскрытия скобок и
сокращения множителей спева и справа даёт уравнение порядка N - 2 :
PN - TN = (N2) (QN + SN)YN-2 + (N3) (Q2N - S2N)YN-3 + …+ QN(N-1) - SN(N-1)
{ линейное для кубов : 3Y = (P3- T3) / (Q3 + S3) + S3- Q3 } .
Т. о., PN - TN необходимо делится на QN + SN = ST + QP.
Доказательство невозможности этого при N ≥ 3 для попарно простых
Q, P, S и T, больших единицы, видимо, и составляет секрет Пьера Ферма.
Y = SN - QP, Y = ST - QN
X = QP, Z - Y = QN, (QN + Y)N - YN = QNPN . [3]
Z = ST, X+ Y = SN, (SN - Y)N + YN = SNTN . [6]
SNN - N SN(N-1)Y + ( N2) SN(N-2)Y2 - … ± … + ( N3) S3NY N-3 - ( N2) S2NYN-2 + NSNYN-1 = SNTN .
SN(N-1) - NSN(N-2)Y + ( N2) SN(N-3)Y2 - … ± …+ ( N3) S2NY N-3 - ( N2) SNYN-2 + NYN-1 = TN .
QN(N-1) + NQN(N-2)Y + ( N2) QN(N-3)Y2 + … + …+ ( N3) Q2NY N-3 + ( N2) QNYN-2 + NYN-1 = PN .
PN - TN = (N2) (QN + SN)YN-2 + (N3) (Q2N - S2N)YN-3 + …+ QN(N-1) - SN(N-1)
Необходимо PN - TN делится на QN + SN = ST + QP = Z + X
Y = SN - QP, Y = ST - QN
Z3 - Y3 = (Z - Y)( Z2 + ZY + Y2) Если Z – Y = 1, то Z3 - Y3 = Z2 - 2ZY + Y2+ 3ZY= 3ZY
P3 - T3 = (N2) (Q3 + S3)Y + Q6 – S6
N = 3. Q=1, P=13, S =3, T=5 : 15 + 13 = 27 + 1, 2= 2072 =518х4=7х74х4
7х74х4 = 3х28Y +(1 – 27)х28 74 = 3Y – 26 3Y = 100
QNN - N QN(N-1)Y + ( N2) QN(N-2)Y2 - ( N3) QN(N-3)Y3 ± … + NQNYN-1 = QNPN .
X = QP, Z - Y = QN, (QN + Y)N - YN = QNPN . [3]
В самом общем случае XN + YN = ZN , положив произвольно X Ξ pq
и Z Ξ st > pq, где p > q > 0 < s ≠ t > 0, имеем (st)N – (pq)N = YN, и
значение Y однозначно определено в множестве положительных чисел.
Ничто не препятствует в равенстве (st)N – YN Ξ (st - Y)( … … ) = (pq)N
положить st – Y = qN , а при N = 2m+1 аналогично в соотношении
(pq)N+YN Ξ (pq +Y)( … … ) = (st)N определить pq +Y= sN , при st > pq, т. е.
qN + Y > sN - Y или 2Y > sN - qN, а по крайней мере, s > q при
(st)N – (pq)N = YN, так что sN (tN – qN) < YN или tN – qN < YN s- N.
И ничто не мешает оказаться числам p, q, s, t целыми и попарно
простыми - как Q, P, S, T - выше со связями Z - Y = QN , Y = ST- QN,
ST + QP = SN + QN, ST > QP S > Q ST > Q N
2Y > S N - Q N = 2Y + QP - ST,
и (ST) N – (QP)N = YN или TN – PN < YN S - N = YN/(X + Y),
причём числу YN, теперь явно натуральному, получить вид Y Ξ AB с
взаимно простыми B > A ≥ 1, попарно простыми с Q, P, S, T, так что
остаётся выяснить, является ли целым чмсло Y.
??? : Q = 2 и P = , а S = 5, T = 33, : Q3 + S3 125 + 8 = 133 = 65 + 68
3*28 Y+ += 0 3*28 Y = 133 - 53- 1 + 36 = 2197 – 126 + 729 =2800
3Y = ( 1/35 + 27 – 8 = 875/35 + 19 = 175/7+ 26 = 25 + 26 = 51
Линейное ур-е для Y при N =3 : 3Y = (P3- T3)/( Q3 + S3) + S3- Q3.
3(Q3 + S3)Y = P3 - T3 - Q6 +S6
(Q3 + S3) (3Y - S3 + Q3) +T3- P3 = 0 Y = ST - Q3
0 = (Q3 + S3) (3ST - S3 - 2Q3) +T3- P3 = (Q3 + S3) (3ST - Q3 - ST - QP ) +T3- P3 =
= 0= (Q3 + S3) (2ST - Q3 - QP ) +T3- P3 = (QP + ST) (2ST - Q3 - QP ) +T3- P3 =
= ST(2ST - Q3 - QP ) + QP(2ST - Q3 - QP) +T3- P3 = QPST + ST(ST - Q3) - QP( Q3 +QP) + T3- P3 =
= QPST + ST(ST - Q3) + T3 - P3 - QP( Q3 +QP)
0 = (QP + ST) (2ST - Q3 - QP ) +T3- P3 = … Y = ST - Q3
Минимальные : Q = 1 и P = 13 , а S = 3, T = 5, : 27 + 1 = 15 + 13
0= 28+125 – 2197 = 28х16 – 2072 = 448 – 2072 … Y = ST - Q3 = 15 – 1 …
3*28 Y+ += 0 3*28 Y = 133 - 53- 1 + 36 = 2197 – 126 + 729 =2800
3Y = ( 133-- 125)/( 1+ 27) + 27 – 1 = ( 2/28 + 26 = 2072/28 + 26 = 518/7+ 26 = 74+ 26 = 100
Теперь исходно задаваеми параметрами становятся SN и QN и -
причём - в силу ПТФ
для чётных N - чётным, но лишь
N-степенью не целого числа, когда N = 2m.
Поэтому «промежуточным» решением уравнения (Z2)3 - (X2)3 = (Y2)3,
где Z2 и X2 - целые, как тройки Пифагора на кубах, будут целые числа
Z3, X3 , Y3 и Y6, но Y6, Y2 квадрат не целого.
X6 + Y6 = Z6 является простое число Y6
Для тройки же Ферма в этом множестве нужны шесть чисел - с
A< B при Y Ξ AB. При этом, аналогично, YN = ANBN = ZN - XN отвечает
AN = (Z - X ) = ST - QP = SN + QN - 2 QP.
Поэтому :
2ST = SN + QN + AN ; 2QP = SN + QN - AN; AB = Y = SN - QP = ST - QN;
2AB = 2SN - SN - QN + AN; = SN - QN + AN ;
:
AN = QN - SN, - [7]
а поскольку Q < X, A < Y, S < Z, то «спуск» от [1] через [7] и далее
по той же схеме для нечётного N окажется конечным не позднее, чем
когда минимальное число тройки окажется единицей.
Данная реконструкция доказательства этой теоремы Пьера Ферма
полагает представленный им случай биквадратов «подсказкой».
* * *
Аннотация: уравнение «последней» теоремы Ферма (ПТФ) сводится
к алгебраическому порядка (N-1) с одной переменной благодаря
заданию двумя взаимно простыми сомножителями не кратного N
слагаемого, при этом определяется множество Φ всех кандидатов
в попарно простые тройки Ферма; _ ПТФ верна для чётных N, т. к.
тройки Пифагора (Zm)2 - (Ym)2 = (Xm)2 = (QmPm)2 принадлежат Φ
только при m = 1; _ нечётность N даёт второе решение подобным
заданием двух параметров уже для суммы Z, что быстро приводит
к правоте ПТФ для нечётных N методом бесконечного спуска …
