Неопределенный интеграл (стр. 4 )

Упражнение. Разложить на простейшие дробь . Разложив дробь на простейшие и проинтегрировав полученное равенство, получим в правой части (в общем случае) сумму следующих четырех интегралов:

Первый из них по существу табличный: . Второй интеграл степенной:

.

Третий интеграл был рассмотрен выше.

Рассмотрим подробнее интеграл , . Так как , чи-слитель представляем в виде , . Интеграл степенной, так как

.

Для нахождения интеграла выделим из трехчлена полный квадрат:

.

Тогда . Этот интеграл находится с помощью рекуррентного соотношения (15). Впрочем интеграл может быть найдем с помощью тригонометрической подстановки .

Пример. Найти интеграл .

Решение. Так как , получим .

Тогда .

. Полагая в формуле (15) , получим

, где ,

. Окончательно находим

Для сравнения найдем , где с помощью подстановки . Тогда . Поэтому

. Так как , получим ,

. Из подстановки следует, что ,

,

.

Решить примеры

.

Занятие № 5. Интегрирование иррациональных функций

Цель занятия - научиться брать интегралы видов:

, ,

, ,

, .

Здесь предполагается, что подынтегральная функция f рациональна относительно всех своих аргументов. Эти интегралы находятся по одной схеме: необходимо выбрать подстановку таким образом, чтобы все радикалы исчезли, т. е. чтобы после замены переменной были получены интегралы от рациональных функций относительно новой переменной t .

В первом случае к цели приводит подстановка , где .

Пример. .

Решение. Здесь , поэтому . После замены получим

.

Это интеграл от неправильной рациональной дроби. Разделив числитель на знаме-натель, получим

.

Так как , получим .

.

Так как , , находим

,

.

Интеграл берется аналогично: . Тогда .

Пример. Найти интеграл .

Решение. Здесь полагаем, что .

,

,.Для интеграла берем подстановку , где . Из подстановки находим х и затем dx. После замены переменных получим снова интеграл от рациональной дроби.

Пример. Найти интеграл .

Решение. . Отсюда находим х и dx: , ,

, ,

.

После замены переменных получим интеграл от рациональной дроби . Разлагаем дробь на простейшие: , .

Решив систему уравнений, получим ,

. Интегрируя почленно, найдем

,, . Из подстановки следует, что . . .

Тригонометрические подстановки

Интегралы удобно находить с помощью тригонометрических подстановок. При этом часто используются тригонометрические тождества

.

В интеграле к цели приводит подстановка , . В итоге получаем интеграл , не содержащий иррациональностей.

При этом возврат к старой переменной «х» проще выполнить с помощью прямоугольного треугольника. Так как , то получаем треугольник со сторонами (теорема Пифагора). Отсюда находится любая тригонометрическая функция.

а х

t

Пример. Найти .

Решение. ,

а х ,

, ,

.

Интеграл находится с помощью подстановки . Тогда ,.

. В качестве упражнения найдите интеграл . Наконец, в интеграле цель достигается с помощью подстановки . Тогда ,

. Здесь использовалось тождество , откуда . Возврат к старой переменной «х» выполняется также с помощью прямоугольного треугольника.

Пример. Найти интеграл .

Решение. Полагаем . После переменных получим .

Так как .

.

Решить самостоятельно

Найти интегралы

Занятие № 6. Интегрирование тригонометрических функций

Цель занятия - научиться брать интегралы вида , где R- рациональная функция относительно .

Интегралы вида J находили в конце прошлого занятия в примерах где использовались тригонометрические подстановки. Разобранные там примеры были достаточно простые. В общем же случае вопрос решает следующая теорема.

Теорема. Всякий интеграл J с помощью подстановки приводится к интегралу от рациональной дроби.

Доказательство. Из подстановки следует, что . Кроме того, используем известные формулы тригонометрии:

.

После замены их значениями, получим интеграл от рациональной дроби относительно t. Подстановка в силу ее всеобщности называется универсальной тригонометрической подстановкой.

Пример. Найти интеграл .

Решение. После замены их значениями, получим

, где , .

Пример. Найти самостоятельно интеграл .

Универсальная подготовка (в силу ее всеобщности) зачастую приводит к рациональным дробям, интегрирование которых достаточно сложно и громоздко. Кроме того, во многих случаях к цели приводят более простые методы. Приведем некоторую классификацию частных случаев.

Интегралы вида .

Здесь возможны следующие случаи.

1. Оба показателя степени: m и n – четные положительные числа (один из них может быть нулем). Тогда к цели приводят так называемые формулы понижения степени:

.

Пример. Найти интеграл .

Так как и заменяем .

После упрощений получим ,

.

2. Хотя бы одно из чисел m или n – нечетное положительное число. Тогда применяем метод отщепления от нечетной степени и используем формулы .

Пример. Найти интеграл .

Решение.

.

Пример. Решите самостоятельно .

3. Если m и n –целые отрицательные числа одинаковой четности, то к цели

приводит метод отщепления.

Пример. .

Решение. .

4. В некоторых случаях эффективно использование тождества

или даже .

Пример. Найти интеграл .

Решение. ,

,

.

Интегралы вида , , где m – целое положительное число, находятся с помощью тождеств , .

Пример.

Пример. Найти интеграл .

Решение.

.

Следующие три интеграла берутся с помощью известных формул тригонометрии ,

,

.

Пример. Найти интеграл .

Решение.

, .

Подстановка рекомендуется для нахождения интеграла , а

также в тех случаях, когда в интеграле числа m и n - четные (положительные или отрицательные). Здесь используются известные формулы тригонометрии: .

Пример. Найти интеграл .

Решение. ,

,

. Так как , то окончательно

получим .

Замечание. Для интегралов где k- натуральное число, методом интегрирования по частям можно получать рекуррентные соотношения, приведенные в таблице интегралов.

Решить самостоятельно

, .

Выше были рассмотрены основные приемы и формулы для нахождения неопределенных интегралов. Следует отметить, что многие функции не интегрируются в конечном виде. Так, например, функция непрерывна в промежутке , однако, интеграл от нее (интегральный синус) не выражается в конечном

виде через элементарные функции. То же самое относится к интегралам (интегральный косинус), (интегральный логарифм).

Замечание. Во многих случаях заданный интеграл может быть найден различными способами. Так, например, интеграл с помощью подстановки дает , где , . С другой стороны, если возьмем подстановку , то .

Поэтому .

Окончательно . Этот результат лишь формой отличается от предыдущего, так как .

Занятие № 7. Контрольная работа

Примерные варианты контрольных работ

Вариант 1	Вариант 2
1. .	1. .
2. .	2. .
3. .	3. .
4. .	4. .
5. .	5. .
6. .	6. .
7. .	7. .
8. .	8. .
9. .	9. .

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Гусак к решению задач по высшей математике. - Минск:

Изд-во БГУ, 1973.

2. Математический анализ в примерах и задачах / , и др.. - Киев: Вища школа, 1975.

3. Запорожцев к решению задач по математическому анализу. – М.: Высш. Школа, 1966.

4. Графики функций: Справочник / , и др./ - Киев: Наук. думка. 1979.

5. Высшая математика / Под редакцией – М.: Просвещение, 1988.

6. Щипачев высшей математики. М.: Высш. школа, 1989.

7. Сборник задач по математике для втузов // Под ред. ,

. - М.: Наука, 1981.

8. Гусак к решению задач по высшей математике. - Минск, 1973.

Редактор

ИД 06039 от 12.10.01

Подписано в печать 27.06.02. Формат 60х84х1/16 Бумага офсетная.

Отпечатано на дупликаторе. Усл. печ. л.

Уч.-изд. л.

Тираж 500 экз. Заказ

Издательство ОмГТУ. г. Омск, пр-т Мира,11

Типография ОмГТУ