Задачи по курсу Нелинейный и асимптотический анализ

Задачи по курсу

Нелинейный и асимптотический анализ

Пусть банаховы пространства, функция дифференцируема в точке . Показать, что функция непрерывна в этой точке. Пусть , где линейный оператор. Показать, что . Если оператор дифференцируем в точке , а оператор дифференцируем в точке , то . Найти производные Фреше функционалов и в вещественном гильбертовом пространстве. Пусть дифференцируемое отображение задается в декартовых координатах формулами

Показать, что производная Фреше этого отображения задается матрицей Якоби

Пусть функции и непрерывны на . Показать, что оператор

дифференцируем в любой точке и

.

Пусть оператор непрерывно дифференцируем на выпуклом множестве и . Показать, что на . Пусть оператор дифференцируем на выпуклом множестве и производная удовлетворяет условию Липшица

Показать, что

Пусть задан k-линейный ограниченный оператор . Доказать формулу бинома Ньютона . Используя формулу бинома Ньютона показать, что . Пусть задана в билинейная форма

Оценить .

Пусть - пространство дважды непрерывно дифференцируемых на отрезке функций, обращающихся в ноль на концах отрезка. Рассмотрим оператор такой, что , где функции и непрерывны на . Доказать, что Пусть ядро непрерывно на . Рассмотрим в нелинейный оператор . Доказать, что этот оператор разлагается в ряд Тейлора, радиус сходимости которого равен бесконечности. Выписать это разложение. Пусть оператор действует в банаховом пространстве и степень оператора является оператором сжатия. Показать, что у оператораесть единственная неподвижная точка в прстранстве . Показать, что в евклидовом пространстве линейное отображение будет сжимающим, если . Рассмотрим множество непрерывных на отрезке функций со значениями в банаховом пространстве . Показать, что есть банахово пространство с нормой Пусть непрерывное ядро на , задан оператор Вольтерра . Показать, что оператор действует в пространстве и при некотором оператор сжимающий. Пусть непрерывное ядро на , , задан оператор Фредгольма . Показать, что оператор действует в пространстве и будет сжимающим при . Показать, что есть интегральный оператор с ядром ,определяемым рекуррентной формулой . Показать, что ряд Неймана сходится равномерно в круге и его сумма (резольвента) есть регулярная функция . Решение неоднородного уравнения выражается через резольвенту . При помощи метода сжатых отображений доказать теорему существования и единственности решения задачи Коши для системы линейных дифференциальных уравнений с непрерывнымикоэффициентами. При помощи метода сжатых отображений доказать теорему существования и единственности решения задачи Коши для системы нелинейных дифференциальных уравнений . Пусть - банаховы пространства, оператор дифференцируем, и имеет в точке ограниченный обратный . Показать, что решение уравнения эквивалентно нахождению неподвижной точки оператора . Если производная удовлетворяет условию Липшица, то найдется такой замкнутый шар , который оператор отображает в себя и является в этом шаре оператором сжатия. Показать, что метод последовательных приближений для оператора предыдущей задачи есть модифицированный итерационный процесс Ньютона. Применить модифицированный метод Ньютона для решения краевой задачи Рассмотреть краевую задачу . Полагая , показать, что все числа и функции могут быть определены. Ряды равномерно асимптотические по малому параметру .