Ответы и решения

ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ АДМИНИСТРАЦИИ МУНИЦИПАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ГОРОД КРАСНОДАР МБОУ ДОД ЦДОД «Малая академия» г. Краснодар ул. Чапаева, 85/1 тел. /

Школьный этап всероссийской олимпиады школьников по математике учебный год 5 класс задания подготовлены муниципальной предметно – методической комиссией

Ответы и решения.

5 класс

1. Ответ: уменьшаемое 43, вычитаемое 17.

2. Решение.

3. Ответ:





Вот и всё! Теперь можно варить пельмешки.

4. Ответ: белый котенок живет в квартире № 2, черный котенок – в квартире № 3, рыжий котенок – в квартире № 1.

5. Ответ: 4 точки

Решение. Надо нарисовать точки, о которых говорится в задаче.

Сразу приходит на ум решение.

Но оно не минимально. Повернем рисунок так.

И тогда можно догадаться о таком решении.

ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ АДМИНИСТРАЦИИ МУНИЦИПАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ГОРОД КРАСНОДАР МБОУ ДОД ЦДОД «Малая академия» г. Краснодар ул. Чапаева, 85/1 тел. /

Школьный этап всероссийской олимпиады школьников по математике учебный год 6 класс задания подготовлены муниципальной предметно – методической комиссией

1. Решение. 1-ая минута: поджариваем 1-й и 2-й кусочки хлеба с одной стороны.

2-ая минута: переворачиваем и поджариваем 1-й кусочек хлеба со второй стороны, 2-й кусочек убираем, а на его месте поджариваем 3-й кусочек с первой стороны.

3-ая минута: убираем 1-й кусочек, поджаренный с обеих сторон, переворачиваем 3-й кусочек 2-ой стороной и возвращаем 2-ой кусочек дожариваться со 2-ой стороны.

2. Ответ: 142857 · 7 = 999999.

3. Решение. Поскольку сумма чисел, стоящих в любых трёх соседних клетках, постоянная, значит, равны между собой все числа, стоящие на местах 1,4,7, …, т. е. на этих местах стоит 6. Также равны между собой все числа, стоящие на местах 3,6,9,…., значит, на всех этих местах стоит 4. Числа, стоящие на местах 2,5,8, …, тоже равны между собой и должны быть равны 5, чтобы соблюдалось условие о сумме. Окончательное решение приведено в таблице

6

5

4

6

5

4

6

5

4

6

5

4

6

5

4

4. Ответ: Последний кубик (Е) будет сложен правильно

5. Решение.

Количество гусей в 1 хлеве – х.

Число козлят – у.

Так как число ног в 1 хлеве должно равняться 10, то 2х + 4у = 10.

Методом подбора:

х = 3 и у = 1

х = 1 и у = 2

Значит, в 2-х хлевах будет по 1 козленку и 3 гусям, в 3-х хлевах – по 2 козленка и 1 гусю.

ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ АДМИНИСТРАЦИИ МУНИЦИПАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ГОРОД КРАСНОДАР МБОУ ДОД ЦДОД «Малая академия» г. Краснодар ул. Чапаева, 85/1 тел. /

Школьный этап всероссийской олимпиады школьников по математике учебный год 7 класс задания подготовлены муниципальной предметно – методической комиссией

7 класс

1. Ответ: 46 пакетов.

2. Ответ:

3. Ответ: 368+68+8=444, 418+18+8=444.

Решение. Так как сумма трех цифр «З» дает на конце четверку, то «З» может быть только 8. Цифра «Р» может принимать только два значения: 3 и 4. Для каждого случая однозначно находим «А».

4. Решение. Разделим первые 20 котят на пары: 1-й с 11-м, 2-й с 12-м, …, и 10-й с 20-м. По условию, ни в одной из пар не может оказаться двух котят с розовыми бантами, так что среди первых 20 котят не более 10 обладателей розовых бантов. Аналогичные рассуждения показывают, что и у следующих двадцати котят с розовыми бантами не более 10, то есть всего их не более 20. Но тогда котят с голубыми бантами не менее 20, то есть не менее половины.

5. Ответ: поправился.

Решение. Пусть Буратино весит х кг. За весну он похудел на 10%, т. е. на 0.1х кг, и стал весить х-0.1х=0.9х кг. За лето он поправился на 20%, т. е. на 0.2(0.9х) кг и стал весить уже 0.9х+0.18х=1.08х кг. Осенью он похудел на 10%, поэтому стал весить 1.08х -0.1(1.08х)=0.972х кг. А за зиму Буратино прибавил 20%, поэтому он стал весить 0.972х+0.2(0.972х)=1.1664х. Значит, Буратино в итоге поправился.

ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ АДМИНИСТРАЦИИ МУНИЦИПАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ГОРОД КРАСНОДАР МБОУ ДОД ЦДОД «Малая академия» г. Краснодар ул. Чапаева, 85/1 тел. /

Школьный этап всероссийской олимпиады школьников по математике учебный год 8 класс задания подготовлены муниципальной предметно – методической комиссией

8 класс

1. Ответ: -2

2. Решение.

Значит, графиком данной функции является прямая y = x ( биссектриса I и III координатных четвертей ) с двумя выколотыми точками ( 1; 1 ), ( -1; -1 ).

3. Ответ:

Решение.

4. Указание. Предположим, от противного, что угол D не острый. Тогда в ∆ ACD имеем AC > CD. Но в ∆ AВC против тупого угла ACВ лежит бóльшая сторона АВ > AC. Таким образом, . Противоречие с условием .

5. Ответ: 1974.

ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ АДМИНИСТРАЦИИ МУНИЦИПАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ГОРОД КРАСНОДАР МБОУ ДОД ЦДОД «Малая академия» г. Краснодар ул. Чапаева, 85/1 тел. /

Школьный этап всероссийской олимпиады школьников по математике учебный год 9 класс задания подготовлены муниципальной предметно – методической комиссией

9 класс

1. Ответ: да

Решение: Первая цифра этого числа – 1 , последняя цифра – 8, а между ними 2001 раз повторяется цифра 0. Сумма цифр равна 9. Значит, число делится на 9.

2. Ответ: 4

Решение: Представив подкоренные выражения и соответственно как и ,после упрощений получим 4

3. Ответ: 36°, 36°, 108°

Решение. ΔAOC –равнобедренный, значит, IO и AC точкой пересечения делятся пополам, AICO – ромб. ∠IAC =∠CFO =∠ICA =∠CAO = α. I – центр вписанной окружности, значит, ∠BAI =∠IAC, ∠BCI =∠ICA. ΔABO- равнобедренный, значит, ∠BAO =∠ABO =3α. В ΔABC сумма углов 180°, значит, 10α = 180°,

α =18°.

4. Указание. Разложив во втором равенстве сумму кубов на множители, сократим обе части на равные сомножители a + b = c + d (по условию положительности, эти сомножители не равны 0). Получим Отсюда ab = cd . Таким образом, пары чисел (a; b) и

(c; d) имеют одинаковую сумму и одинаковое произведение. Значит, они совпадают (с точностью до порядка); они являются корнями одного и того же квадратного уравнения . Тогда очевидно, что a2 + b2 = c2 + d2.

5. Ответ: "Рыцарь".

Указание. Пусть А – тот 13-й человек, ответом которого мы интересуемся. Пронумеруем сидящих за столом подряд против часовой стрелки, начиная с соседа справа от А. Могут быть два случая: либо первый человек рыцарь, либо лжец. В первом случае второй человек – лжец, и тогда третий человек – рыцарь, и т. д. до 12-го человека рыцари и лжецы чередуются. Поскольку 12-й человек лжец, то 13-й – рыцарь, и, значит, про первого человека он скажет "рыцарь". Аналогично, во втором случае получаем чередующуюся последовательность лжецов и рыцарей, т. е. 12-й человек – рыцарь, а 13-й – лжец. Значит, про первого (лжеца) он скажет "рыцарь".

ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ АДМИНИСТРАЦИИ МУНИЦИПАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ГОРОД КРАСНОДАР МБОУ ДОД ЦДОД «Малая академия» г. Краснодар ул. Чапаева, 85/1 тел. /

Школьный этап всероссийской олимпиады школьников по математике учебный год 10 класс задания подготовлены муниципальной предметно – методической комиссией

10 класс

1. Ответ: 1829 и 182.

Решение. Обозначим второе число за . Тогда первое число имеет вид , где цифра. Из условия задачи получаем, что , а тогда , откуда .

2 . Ответ: 40.

Указание. Заметим, что среди выбранных чисел в любой паре соседей должно быть хотя бы одно число, кратное пяти. Но поскольку всего от 1 до 104 имеется 20 чисел, кратных пяти, то выбранных чисел на окружности не может быть 42 (или более). Если выбрано 41 число, то возьмем какое-нибудь, кратное пяти, и рассмотрев оставшиеся 40 чисел, опять придём к противоречию с требуемым условием (т. к. среди этих чисел не более 19, кратных пяти). Значит, всего выбранных чисел не более 40. Пример на 40 чисел существует, он получается из примера задачи 9.5, если во второй группе чисел заменить последнее число 92 на 104 и «завернуть» ряд вдоль окружности так, чтобы 104 соседствовало с 5 – первым числом первой группы.

3. Решение. Пусть стороны прямоугольника равны x и 3x.

Проводим

4. Ответ: х = 5, у = - 2.

Решение.

Так как уравнения с переменными в знаменателях, то проверка обязательна:

5. Ответ: самый богатый Б.

Решение. Кандидат В не может быть самым богатым, так как в противном случае он сказал правду, что противоречит условию. Допустим, самый богатый – А. Но тогда В солгал, значит, согласно условию он не может быть самым умным, значит, самый умный – Б, самый честный – В. Но тогда Б сказал правду и он честнее В. Мы получили противоречие. Значит, самым богатым может быть только Б. Нетрудно убедиться, что такая ситуация возможна.

ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ АДМИНИСТРАЦИИ МУНИЦИПАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ГОРОД КРАСНОДАР МБОУ ДОД ЦДОД «Малая академия» г. Краснодар ул. Чапаева, 85/1 тел. /

Школьный этап всероссийской олимпиады школьников по математике учебный год 11 класс задания подготовлены муниципальной предметно – методической комиссией

11 класс

1. Ответ. 9989.

Указание. Поскольку все части двойного неравенства положительны, неравенства можно возводить в степень. Возводя в четвертую степень неравенство , получим n > 10. Возводя в шестую степень неравенство , получим n < 10000. Таким образом, всего существует 10000 – 10 – 1 = 9989 чисел.

2. Ответ: . .

Решение. Воспользуемся формулами для синуса двойного угла:

,тогда получим уравнение Далее используем формулу синуса суммы для sin 12x= sin (8x+4x) и получаем, что sin 8x cos 4x=0, откуда sin 8x=0 или cos 4x=0. Решением совокупности этих уравнений будет . В итоге получим .

3 . Ответ: а = 4.

Решение. Пусть Положим (см. рис.). Тогда 2х+5х+17х=3600, откуда х=150, значит, . Поэтому углы треугольника АВС будут соответственно равны150, 37,50, 127,50. Из теоремы синусов следует, что АС=2RsinB=2Rsin 37,50, BC=2RsinA=2Rsin127,50.

Далее SABC=.

Так как sin 37,50 *sin 127,50 = 0,5 (cos 900-cos1650)=0,5 cos150, то

SABC=R2 cos 150 sin 150=.

n

4. Ответ: данное неравенство решений не имеет.

Решение. Выделим полный квадрат: . Но первое слагаемое при любых значениях х неотрицательно, а второе слагаемое строго больше нуля, поскольку дискриминант отрицательный, следовательно, данное выражение всегда положительно. Значит, данное неравенство решений не имеет.

5. Ответ: а) 60; б) 36.

Решение. а) Здесь порядок красок важен, поэтому имеем = 60 способов;

б) Если одна полоса красная, то имеем = 36 способов.