Департамент образования города Москвы

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования города Москвы

Московский городской педагогический университет

Математический факультет

Кафедра математического анализа и методики его обучения

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ

Теория функций комплексного переменного (ДПП. Ф.03)

Специальность: 050201.65

«Математика» с дополнительной специальностью «Информатика»,

Специалитет, квалификация - учитель математики.

Математический факультет, Курс 5, Семестр 9

Часть I. Программа учебной дисциплины

Москва, 2008

Программа обсуждена на заседании кафедры математического анализа и методики его преподавания 5 ноября 2008 года, протокол

Программа повторно обсуждена, уточнена и утверждена на заседании кафедры математического анализа и методики его преподавания 17 декабря 2009 г., протокол №5.

Программа утверждена на заседании ученого совета математического факультета 25 декабря 2009 г., протокол №5.

Составители:

профессор, доктор физико-математических наук, профессор кафедры математического анализа и методики его преподавания МГПУ, .

доцент, кандидат технических наук, доцент кафедры математического анализа и методики его преподавания МГПУ, .

Заведующий кафедрой:

профессор, доктор физико-математических наук, профессор кафедры математического анализа и методики его преподавания МГПУ, .

Рецензент:

, профессор, доктор физико-математических наук, профессор кафедры математического анализа МПГУ

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ

Теория функций комплексной переменной (ДПП. Ф.03)

С О Д Е Р Ж А Н И Е

1. Пояснительная записка. Цели и задачи дисциплины. с. 4

2. Требования к уровню освоения дисциплины. с. 8

3. Распределение курса по темам и организационным формам обучения. с. 11

4. Основное содержание дисциплины с. 12

5. Список рекомендуемой литературы с.15

Пояснительная записка

Программа курса «Теория функций комплексной переменной» соответствует требованиям ГОС ВПО от 01.01.01 года, номер государственной регистрации № 000 пед/сп.(новое). Общее количество часов на дисциплину составляет 90 часов (54 часа аудиторных занятий и 36 часов самостоятельных занятий студентов).

Необходимым условием освоения дисциплины является знание курса математического анализа за 1 - 6 семестры и курса алгебры за 4 - 6 семестры обучения.

Цели и задачи дисциплины

Цель изучения дисциплины состоит в изложении основ теории функций комплексной переменной и установлению межпредметных связей с курсом классического математического анализа, а также курсов алгебры и геометрии, в подготовке будущего учителя математики к преподаванию комплексных чисел в старшей профильной школе.

Задачи курса:

- повторить и закрепить знания обучающихся о последовательно расширяющихся базовых числовых системах (натуральные, целые, рациональные, действительные, комплексные числа);

- ознакомить студентов с этапами становления теории комплексных чисел, с основными типами задач, приводящих к появлению и изучению комплексных чисел;

- доказательно установить неразрывную связь основных понятий теории функций комлексных чисел с понятиями и теоремами классического математического анализа;

- сформировать умения и навыки решения простейших алгебраических уравнений и уравнений, связанных с элементарными функциями комплексной переменной;

- доказать, что элементарные функции комплексной переменной, с одной стороны, являются продолжениями соответствующих функций действительной переменной, но, с другой стороны, обладают рядом совершенно неожиданных свойств (периодичность экспоненты, множества значений синуса и косинуса, многозначность логарифма и степени и т. п.)

- показать принципиальные различия между классами дифференцируемых функций действительной и комплексной переменных;

- сформировать умения и навыки исследования и построения линейных и дробно-линейных отображений, переводящих заданные области комплексной плоскости друг в друга;

- показать и проанализировать межпредметные связи с курсами линейной алгебры, плоской геометрии, геометрии Лобачевского, теорией дифференциальных уравнений;

- сформировать умения и навыки сведения интегралов комплекснозначной функции по параметрически заданным кривым к вычислениям криволинейных интегралов вещественнозначных функций;

- построить основы теории интегрирования функций комплексной переменной, доказать интегральную теорему и интегральные формулы Коши, вывести из дифференцируемости функции комплексной переменной ее бесконечную дифференцируемость и, более того, разложимость в степенной ряд;

- дать представление о способах доказательства основной теоремы алгебры, демонстрирующих принипиальную неэлементарность этого «элементарного» утверждения;

- ознакомить с частными методиками и содержанием элективных курсов по элементам теории комплексных чисел и элементарных функций в старшей профильной школе.

Как известно, даже простейшие алгебраические операции над дейст­вительными числами выводят за рамки поля действительных чисел. Тем самым, естественно рассмотреть расширение понятия действитель­ного числа лишенное этого недостатка, т. е. такую числовую систему, в которой всякий многочлен имеет корень. Таким расширением поля действительных чисел и является поле комплексных чисел.

Программа настоящего курса построена по принципу постоянного сопоставления с курсом математического анализа функций одной действительной переменной. Такая преемственность, с одной стороны, находит свое отражение в почти дословном совпадении последователь­ности названий основных разделов настоящего курса: "Числа и операции над ними", "Последовательности и ряды", "Пределы функций и непрерывность функций", "Производная и дифференцируемость", "Элементарные функции", "Интегрирование", "Разложение в степенные ряды".

С другой стороны, такое сравнение позволяет яснее оттенить специ­фику теории функций комплексного переменного. Сюда относятся: относительно "ма­лый" запас дифференцируемых функций (условия Коши-Римана), бесконеч­ная дифференцируемость, как следствие просто дифференцируемости (ин­теграл Коши), неограниченность дифференцируемых функций (теорема Лиувилля). Кульминацией такого рода неожиданных свойств комплексных чисел является теория вычетов, которая, в частности, позволяет вычислять определенные интегралы, "невычисляемые" в рамках курса математического анализа. Другими словами, курс завершается реаль­ным подтверждением того факта, что новый взгляд на известные понятия зачастую дает и качественно новые результаты.

Отметим, что, по сравнению с функциями действительной переменной, существенно более серьезное внимание уделено линейной и дробно-линейной функциям комплексной переменной. Это объясняется, как относительной простотой объектов одновременно вместе с весьма содержательными результатами, так и межпредметными связями с курсами геометрии и линейной алгебры. Имеется в виду использование всех основных преобразований плоскости и задание групповой структуры множества дробно-линейных функций через 2х2-матрицы. При наличии учебного времени тут уместно рассмотреть движения плоскости Лобачевского в моделях Пуанкаре и установить более ясные межпредметные связи с курсом геометрии на 5-8 семестрах.

Требования к уровню освоения дисциплины «Теория функций комплексной переменной».

Иметь представления:

- об истории развития основных числовых систем, начиная от натуральных и заканчивая комплексными числами, о вкладе Ф. Виета, Р. Декарта, Л. Эйлера, О. Коши, Б. Римана;

- о способах восстановления гармонической функции по ее действительной (мнимой) части;

- об ограниченности запаса дифференцируемых функций, о неограниченности тригонометрических функций комплексной переменной;

- о выводе основной теоремы алгебры из теоремы Лиувилля и через индекс вращения плоской кривой относительно не принадлежащей ей точки;

- о разложении функций в ряд Лорана, о классификации особых точек функции.

Знать:

- аксиоматический подход к построению поля комплексных чисел и модель этого поля, основанную на существовании модели поля действительных чисел;

- определение и свойства алгебраических действий над комплексными числами в различных формах их представления; определение и свойства модуля и аргумента комплексных чисел, сопряженного и обратного числа;

- базовые понятия теории функций комплексной переменной (предел, непрерывность, дифференцируемость) и их свойства;

- условия Коши – Римана и запас основных дифференцируемых функций комплексной переменной;

- определение и свойства экспоненциальной, тригонометрических, логарифмической и степенной функций комплексной переменной, тождества Эйлера;

- интерпретацию дробных и дробно-линейных функций, как композиций элементарных преобразований плоскости, свойства этих функций;

- интегральную теорему и интегральные формулы Коши;

Уметь:

- возводить комплексные числа в целые степени и извлекать корни натуральной степени из различных комплексных чисел;

- исследовать функции комплексной переменной на непрерывность, сводить в вычисление пределов к вычислению пределов в действительном случае;

- доказывать дифференцируемость и находить производные основных элементарных функций;

- доказывать основные свойства тригонометрических функций, решать уравнения вида ;

- находить общий вид дробно-линейных преобразований, переводящих данный круг на данную полуплоскость (или другой круг);

- по определению производить вычисления интегралов по параметрически заданным кривым;

- доказывать принцип максимума модуля и интегральные теоремы Коши.

Иметь навыки (обладать компетенциями):

- изображения на комплексной плоскости различных множеств комплексных чисел, задаваемых системами уравнений или неравенств;

- изображения на комплексной плоскости простейших плоских кривых, заданных параметрически;

- нахождения круга и радиуса сходимости степенного ряда;

- использования основной теоремы алгебры в задачах элементарной (школьной) алгебры;

- использования свойств дробно-линейных функций для построения отображений одной заданной области на другую;

- вычислений интегралов по замкнутым контурам с помощью теории вычетов;

- определения типа особой точки (устранимая точка, полюса, существенно особая точка).

Распределение курса по темам и организационным формам обучения

№

Учебная тема

Вид занятий

Лек-ции

Семи-

нары

СРС

1

Комплексные числа и операции над ними.

6

2

6

2

Последовательности и ряды комплексных чисел.

4

2

4

3

Функции комплексной переменной.

8

4

8

4

Преобразования областей комплексной плоскости.

8

6

8

5

Интегрирование функций комплексной переменной.

10

4

10

ИТОГО: 90 ЧАСОВ

36

18

36

Текущая аттестация качества знаний осуществляется в форме текущего опроса, проверки домашних заданий, тестов, двух самостоятельных работ: первая - по комплексной плоскости и дифференцированию функций, вторая – по преобразованиям областей и по интегрированию функций. По итогам текущей аттестации производится допуск (недопуск) к итоговой аттестации.

Итоговая аттестация осуществляется в виде экзамена, который состоит из трех вопросов: один – на вычисление интеграла по замкнутому контуру, другой - на формулировку понятия или факта, третий – на доказательство одной из теорем.

Основное содержание дисциплины

Учебная тема №1. «Комплексные числа и операции над ними.». [1]

Постановка задачи о расширении поля действительных чисел. Комплексные числа в алгебраической и в тригонометрической форме записи. Модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраические действия над комплексными числами. Сопряженное число.

Геометрическая интерпретация комплексных чисел и операций над ними. Задание множеств комплексных чисел с помощью уравнений и неравенств. Формула Муавра и извлечение корней целой степени.

Учебная тема №2. «Последовательности и ряды комплексных чисел»

Свойства расстояния в комплексной плоскости. Окрестности точек. Свойства сходящихся последовательностей и пределов последовательностей. Связь между ограниченностью и сходимостью последовательности, теорема Больцано-Вейерштрасса. Эквивалентность сходимости и покоординатной сходимости. Сходимость в тригонометрической форме записи комплексных чисел.

Числовые и степенные ряды в комплексной плоскости. Связь между абсолютной и условной сходимостью рядов. Признаки абсолютной сходимости Коши и Даламбера. Преобразование и признак Абеля сходимости числового ряда. Степенной ряд, круг и радиус сходимости степенного ряда. Теорема Абеля.

Учебная тема №3. «Функции комплексной переменной»

Экспоненциальная функция, как сумма степенного ряда и ее свойства. Периодичность экспоненты. Формулы Эйлера. Тригонометрические и гиперболические функции комплексной переменной и их свойства. Неограниченность синуса и косинуса. Возведение в комплексную степень. Показательная форма записи комплексных чисел. Логарифмы комплексных чисел.

Комплекснозначные функции действительной переменной. Кривые в комплексной плоскости. Вещественная и мнимая части комплекснозначных функций. Предел и непрерывность функций комплексной переменной. Свойства непрерывных функций.

Производная, геометрический смысл ее модуля и аргумента. Необходимое условие существования производной функции в точке (условия Коши-Римана). Достаточное условие существования производной. Дифференцируемость элементарных функций. Восстановление дифференцируемой функций комплексной переменной по ее известной вещественной (или мнимой) части. Понятие о гармонических функциях.

Учебная тема №4. «Преобразования областей комплексной плоскости.»

Линейная и дробно-линейная функции в комплексной плоскости, их разложения в композиции элементарных преобразований плоскости. Бесконечно удаленные точки. Стереографическая проекция и сфера Римана.

Сохранение сложного отношения, круговое свойство, сохранение симметричности при дробно-линейных отображениях. Нахождение образов фигур при линейных и дробно-линейных отображениях. Восстановление линейных и дробно-линейных функций, переводящих одну из заданных областей в другую.

Отображения областей, задаваемых функциями и их композициями с дробно-линейными функциями.

Учебная тема №5. «Интегрирование функций комплексной переменной.»

Вещественная и мнимые части параметрически заданных кривых в комплексной плоскости. Кусочно-гладкие кривые. Интеграл комплекснозначной функции по кусочно-гладкой кривой и его свойства. Связь с криволинейными интегралами. Примеры вычислений по определению.

Функции, аналитические в комплексной области. Вычисления интегралов по замкнутым контурам Теорема Коши и интегральные формулы Коши. Первообразная аналитической функции. Формула Ньютона-Лейбница. Ряд Тейлора и его единственность. Разложимость аналитической функции в степенной ряд.

Принцип максимума модуля аналитической функции. Бесконечная дифференцируемость аналитической функции. Неравенства Коши и теорема Лиувилля. Доказательство основной теоремы алгебры.

Понятие о разложимости аналитической функций в ряд Лорана и об основной теореме теории вычетов. Вычисление интегралов функций действительной переменной с помощью вычетов.

Список рекомендуемой литературы

Основная литература:

1) , , Араманович задач по теории функций комплексного переменного: Учеб. пособие для вузов. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 20с.

2) , , Высшая математика в упражнениях и задачах, 2 том, М., Высшая школа, 1999.

3) , , Математический анализ, М., Вербум-М, 2000.

4) , Алгебра комплексных чисел в геометрических задачах, М., МЦМНО, 2004, 160 с.

5) , Введение в теорию функций комплексного переменного, М. Высшая школа, 1999.

6) , , Теория функций комплексного переменного, М., Юнимедиастайл, 2002.

7) , , . Лекции по теории функций комплексного переменного. - М.: Наука, 19с.

Дополнительная литература:

1) , Шабат теории функций комплексного переменного. - М.: Лань, 20с.

2) Маркушевич аналитических функций: В 2-х тт. М.: Наука, . Тс. Тс.

3) Маркушевич курс теории аналитических функций. - М.: Наука, 19с.

4) Шабат в комплексный анализ: В 2-х ч. - М.: Наука, 1985. Чс. Чс.

5) , Комплексные числа и их применение в геометрии. М.,Физматгиз,1963.192с. (электронная верия на http://*****/lib/86)


Интернет-ресурсы:

1) Википедия http://ru. wikipedia. org/wiki/ТФКП  

2) Образовательный математический сайт «Экспонента»

http://www. *****/educat/class/courses/student/tfkp/

3) Бибилотечный сайт МЦМНО http://*****/lib/86

4) Мир математических уравнений

http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/mathematics/complex.htm ·

5) Единое окно доступа к образовательным ресурсам

http://window. *****/window/library? p_rid=47134

[1] Каждый абзац примерно соответствует 1-2 аудиторным лекциям и 1-2 практическим занятиям