Лекция 1

ЛЕКЦИЯ 1

1. Множество комплексных чисел

1.1. Аксиоматическое построение множества комплексных чисел

Множество всех комплексных чисел обозначается символом С.

Комплексное число обозначается a + i×b, где а и b – действительные числа, называемые соответственно действительной частью и мнимой частью комплексного числа a + i×b, а символ i, определяемый условием i2 = –1, называется мнимой единицей. Действительную и мнимую части комплексного числа z = a + i×b обозначают Re z и Im z соответственно:

а = Re z, b = Im z.

Запись комплексного числа (к. ч.) z в виде a + i×b называют алгебраической формой записи к. ч.

Суммой комплексных чисел z1 = a1 + i×b1 и z2 = a2 + i×b2 называется к. ч. z, действительная часть которого равна сумме действительных частей чисел z1 и z2, а мнимая часть – сумме мнимых частей чисел z1 и z2, т. е.

z = z1 + z2 = (a1 + a2) + i×(b1 + b2).

К. ч. –a – i×b называется противоположным к. ч. a + i×b и обозначается –z. Сумма к. ч. z и –z равна нулю (z+(–z) = 0).

Разность комплексных чисел z1 = a1 + i×b1 и z2 = a2 + i×b2 есть к. ч. z, являющееся суммой числа z1 и числа, противоположного z2:

z = z1 + (–z2) = (a1 – a2) + i×(b1 – b2).

т. е. к. ч., действительная и мнимая части которого равны соответственно разности действительных и мнимых частей уменьшаемого и вычитаемого. Разность может быть записана явно как z = z1 – z2.

Произведением комплексных чисел z1 = a1 + i×b1 и z2 = a2 + i×b2 называется к. ч. вычисляемое как

.

Частным двух комплексных чисел z1 = a1 + i×b1 и z2 = a2 + i×b2 (z2 ¹ 0) называется такое к. ч. z, что z1 = z × z2, и вычисляется по формуле

.

Число называется модулем к. ч. z = a + i×b и обозначается |z|.

Комплексное число называется комплексно сопряженным с числом .

2. Тригонометрическая форма записи комплексных чисел

2.1. Геометрическое изображение комплексного числа

Комплексное число можно изображать точками плоскости (как координаты точек плоскости в прямоугольной системе координат xОу). Согласно методу координат, с каждой точкой А плоскости Оху можно связать вектор , выходящий из начала координат и оканчивающийся в точке А. Таким образом, к. число a + i×b допускает геометрическую интерпретацию как вектор с координатами (а; b) (рис. 3.1). Координаты вектора при этом будут такими же, как и координаты точки А, а именно (а; b).

2.2. Геометрическая интерпретация суммы и разности комплексных чисел

Геометрическая интерпретация к. ч. позволяет наглядно представить сумму и разность к. чисел. Пусть даны два к. ч. z1 = a1 + b1×i и z2 = a2 + b2×i. Их сумной будет к. ч. z = z1 + z2 = (a1 + a2) + i×(b1 + b2). Из свойств векторов известно, что при сложении векторов их соответственные координаты складываются. Поэтому, если вектор имеет координаты (a1, b1) (рис. 3.2), а вектор – координаты (а2, b2), то их сумма (вектор ) будет иметь координаты (a1 + a2; b1 + b2), который и является геометрической интерпретацией суммы к. ч. z1 и z2. Так как разность двух комплексных чисел z1 = a1 + b1×i и z2 = a2 + b2×i есть сумма комплексного числа z1 и числа, противоположного комплексному числу z2, то геометрически ее можно изобразить как сумму вектора с координатами (a1, b1) и вектора с координатами (–a2, –b2) (рис. 3.3), т. е. как вектор с координатами (a1 – a2; b1 – b2).

2.3. Тригонометрическая форма записи комплексного числа

Обозначим длину вектора ОА буквой r:

r = |ОА|,

а угол; который вектор образует с положительным направлением оси Ох, – через j (угол j считаем измеренным в радианах). По определению тригонометрических функций sin j = b/r, cos j = a/r. Тогда к. ч. z = a + b×i можно записать в виде

z = r×(соs j + i×sin j), (1)

где r = , а угол j определяется из условий

sin j = b / , cos j = a / .

Запись к. ч. в виде (1) называется тригонометрической формой записи комплексного числа.

Действительное число r называется модулем комплексного числа и обозначается r = |z|, а угол j (измеренный в радианах) – аргументом комплексного числа z. Аргумент j комплексного числа z обозначается Arg z.

Пусть z1 и z2 – два отличных от нуля комплексных числа, записанных в тригонометрической форме:

z1 = r1×(cos j1 + i×sin j1), z2 = r2×(cos j2 + i×sin j2).

Произведение двух к. ч. z1 и z2 есть к. ч., модуль которого равен произведению модулей сомножителей, а аргумент – сумме аргументов сомножителей:

z = z1×z2 = r1×r2×[cos(j1+j2) + i×sin(j1+j2)].

Частное двух к. ч. z1 и z2 есть к. ч., модуль которого равен частному модулей делимого и делителя, а аргумент частного двух отличных от нуля к. ч. равен разности аргументов делимого и делителя:

z = z1/z2 = r1/r2×[cos(j1 – j2) + i×sin(j1 – j2)].

3. Степень комплексного числа

3.1. Натуральная степень комплексного числа

n-й натуральной степенью комплексного числа z называется комплексное число, полученное в результате умножения числа z на себя n раз:

.

n-ю степень числа z обозначают zn.

Число z называется основанием степени, а натуральное число n – показателем степени.

n-я степень комплексного числа, записанного в тригонометрической форме

z = r×(cos j + i×sin j),

вычисляется по формуле Муавра:

zn = rn×(cos n×j + i×sin n×j).

Замечание. Наряду с алгебраической и тригонометрической формами представления к. ч. часто используется так называемая показательная (экспоненциальная) форма. Она основана на формуле Эйлера

.

Показательной (экспоненциальной) формой представления к. ч. называется выражение

,

где r – модуль к. ч., а j = arg z – главное значение аргумента к. ч.

3.2. Корень n-й степени из комплексного числа

Под корнем n-й степени из к. ч. z понимается множество к. ч., являющихся решениями уравнения

wn = z (2)

Корень n-й степени из комплексного числа z обозначается символом .

Все корни n-й степени из комплексного числа z, заданного в тригонометрической форме

z = r×(cos j + i×sin j),

вычисляются по формуле

,

где k = 0, 1, …, n–1.

Геометрически все корни n-й степени из к. ч. z = r×(cos j + i×sin j) изображаются точками, лежащими на окружности с центром в начале координат, радиус которой равен nÖr, а центральные углы между радиусами, проведенными в соседние точки, равны 2p/n.

Пример. Вычислить корни четвертой степени из числа –1.

Решение. Число (–1) в тригонометрической форме может быть записано так: – 1 = 1 × (cos p + i×sin p).

Корни четвертой степени из числа (–1) – это комплексные числа

,

где k=0, 1, 2, 3, т. е. комплексные числа

, ,

, .

Аналогичным образом в множестве комплексных чисел можно вычислить корень n-й степени из любого действительного числа. При этом хотя бы один корень из положительного действительного числа будет действительным.

Вариант в каждой группе соответствует алфавитному списку группы по порядку нумерации!!! К ЭКЗАМЕНУ!!!

Сдать 2 октября в тетрадке отдельной!!!

Индивидуальное домашнее задание по теме «Комплексные числа»

Вычислить число . Построить на комплексной плоскости числа . Представить в показательной, экспоненциальной и тригонометрической форме заданные комплексные числа, изобразить их на комплексной плоскости. Решить уравнение, корни изобразить на комплексной плоскости.

Вариант	Задачи №1,2
Z1	Z2	Z3
1	4+3×i	–18–15×i	–4–6×i
2	5–4×i	–30+24×i	–4–5×i
3	–3–3×i	–8–24×i	2+4×i
4	3–4×i	–6+20×i	–5+2×i
5	–6×i	–6–30×i	–6–3×i
6	2–3×i	38–3×i	–6×i
7	1+4×i	–4+6×i	2–3×i
8	–3–2×i	–6–18×i	2+3×i
9	3–i	–2–16×i	–6–3×i
10	–2–3×i	11–i	6–3×i
11	–2–4×i	16–20×i	2–2×i
12	2+2×i	8–2×i	3–3×i
13	–1+i	2+32×i	4+3×i
14	1–2×i	12+6×i	–3+i
15	–6+2×i	–18–4×i	6+3×i
16	–2+i	15–25×i	3+4×i
17	–1–2×i	–8–16×i	–3+4×i
18	–2+5×i	–6+30×i	–3–5×i
19	4+3×i	12–24×i	–1–6×i
20	–5–3×i	–9–3×i	–1+3×i
21	–3–3×i	1–3×i	–1+5×i
22	3–i	1–i	–3–i
23	–1–2×i	18–4×i	–5–2×i
24	–5–i	2+6×i	1–2×i
25	5–6×i	–3+11×i	4+4×i
26	–2+4×i	–8+14×i	5+2×i
27	1–5×i	24+18×i	–2+i
28	3+2×i	16+4×i	–5–5×i
29	1+i	–2–16×i	–3+2×i
30	–2+2×i	4+12×i	2–3×i

Вариант	Задача №3	Задача №4
Z1	Z2
1	–5 + 5iÖ3	1 + 3i	8z2 + 8z + 7 = 0
2	2i	–6 –3i	3z2 + 3z + 2 = 0
3	3 – 3iÖ3	–3 – 4i	6z2 – 2z + 4 = 0
4	6 – 6iÖ3	3 – i	7z2 – 4z + 3 = 0
5	1 – i	–1 + 2i	z2 – 4z + 6 = 0
6	3 + 3i	6i – 1	4z2 + 4z + 3 = 0
7	–1 – iÖ3	–2 + i	3z2 – 2z +1 = 0
8	1 – iÖ3	1 – 5i	4z2 – 8z + 7 = 0
9	–5Ö3 – 5i	6 – i	z2 + z + 3 = 0
10	Ö3 – i	1 + 2i	z2 + z + 7 = 0
11	–5i	3 + 6i	5z2 + z + 1 = 0
12	4Ö3 + 4i	–4 – 5i	4z2 + 6z + 4 = 0
13	–2 –2iÖ3	–5 –2i	5z2 + 5z + 2 = 0
14	1 + i	3 + i	-3z2 +7z + 5 = 0
15	–2	–6 + 5i	2z2 + 6z + 5 = 0
16	1 + iÖ3	4 – 2i	z2 – 3z + 8 = 0
17	6Ö3 + 6i	5 – 4i	3z2 + 4z + 4 = 0
18	–2 –2i	–5 +2i	5z2 + 6z + 2 = 0
19	Ö3 - i	3 – 5i	3z2 + 2z + 5 = 0
20	4 – 4i	4 + 6i	5z2 + 4z + 3 = 0
21	–2 + 2iÖ3	2 – 6i	4z2 – 5z + 4 = 0
22	–3Ö3 + 3i	–3 + 4i	z2 – z + 2 = 0
23	2 – 2iÖ3	–6 + i	3z2 –2z + 2 = 0
24	Ö3/3 – i	–3 + 2i	7z2 –4z + 7 = 0
25	1 + iÖ3	2 – 4i	z2 + 4z + 8 = 0
26	-Ö3/3 - i	5 – i	8z2 – 6z + 5 = 0
27	2Ö3 – 2i	–5 –3i	z2 – 2z + 4 = 0
28	(–1 – iÖ3)/4	–1 –4i	z2 + z + 4 = 0
29	–1/2 + iÖ3/2	3 – 2i	2z2 + z + 3 = 0
30	–3i	2i – 1	7z2 + 3z + 3 = 0