Лекция 1. Тема 1.1. Основные понятия теории вероятностей

Лекция 1

Тема 1.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

1. Испытания и события

Одним из основных понятий теории вероятностей является понятие испытания. Всюду в дальнейшем под испытанием (или экспериментом, опытом) будем понимать выполнение какого-либо комплекса условий. В теории вероятностей изучаются только такие комплексы условий, которые можно повторить, по крайней мере принципиально, неограниченное число раз в одних и тех же условиях. В дальнейшем, вместо того чтобы говорить «выполнен определенный комплекс условий», будем говорить кратко: «произведено испытание».

Простейшие неразложимые результаты испытания называются элементарными событиями (или исходами) и обозначаются буквой w, а вся совокупность элементарных событий называется пространством элементарных событий (или исходов) и обозначается W.

Любой результат или исход испытания называется событием. Для обозначения событий используются обычно заглавные буквы латинского алфавита: A, B, C, D и т. д. Любое событие A можно составить из элементарных событий wÎW, поэтому оно является подмножеством пространства элементарных исходов W. Различают три типа событий:

· достоверные;

· невозможные;

· случайные.

Событие называется достоверным, если в результате испытания оно обязательно произойдет, т. е. не произойти оно не может. Достоверное событие обозначается символом W, поскольку оно содержит все элементарные события.

Событие называется невозможным, если в результате испытания оно произойти не может. Невозможное событие обозначается символом пустого множества Æ, поскольку оно не содержит ни одного элементарного события.

Событие называется случайным, если в результате испытания оно может произойти, а может и не произойти.

Пример 1.1. Пусть испытание состоит в том, что монету бросают один раз. Будем здесь и в дальнейшем буквой Г обозначать исход, состоящий в выпадении монеты гербом вверх, буквой Р – решкой (цифрой) вверх. Кроме того, монета, возможно, встанет на ребро, укатится куда-нибудь и т. д., но мы такие исходы будем исключать из рассмотрения. Таким образом, при описании этого испытания мы полагаем пространство элементарных событий, состоящим из двух элементов:

W = {w1, w2}, где w1 = {Г}, w2 = {Р}. ·

Пример 1.2. Монету бросают дважды или, что эквивалентно, две монеты бросают одновременно один раз. Пространством элементарных событий этого испытания является множество

W = {w1, w2, w3, w4} = {ГГ, ГР, РГ, РР}.

Здесь исход ГР, например, означает, что при первом бросании появится герб, а при втором – решка.

Случайными являются следующие события:

A = {выпадет один герб} = {w2, w3} = {ГР, РГ};

B = {выпадет хотя бы один герб} = {w1, w2, w3} = {ГГ, ГР, РГ}.

Достоверным является событие C = {выпадет не более двух гербов} = W; невозможным – событие D = {выпадет три герба} = Æ. ·

СЛ 14 События A и B называются несовместными, если в результате одного испытания они не могут происходить одновременно, в противном случае они называются совместными.

События A1, A2, …, An называются попарно несовместными, если любые два из них несовместны. Так элементарные события wi пространства W являются попарно несовместными.

События A1, A2, …, An образуют полную группу, если в результате испытания кроме этих событий ничего не может произойти.

Контрольные вопросы

1. Что называют испытанием?

2. Что называют событием? Что называют элементарным событием?

3. Чем отличается событие от элементарного события?

4. Что называют пространством элементарных событий или элементарных исходов?

5. Какое событие называют: а) достоверным? б) невозможным? в) случайным? Привести примеры.

6. Какие события называются: а) несовместными? б) совместными? Привести примеры.

7. Будут ли события W и Æ несовместными?

8. Являются ли события A и несовместными?

9. Какие события называются попарно несовместными?

10. Если события A1, A2, …, An не могут произойти все вместе в результате испытания, то будут ли они попарно несовместными?

11. Что называется полной группой событий? Привести примеры.

12. Образуют ли события A и полную группу?

13. Если события A1, A2, …, An образуют полную группу, то будут ли они попарно несовместными?

Контрольные задания

1. Монета подбрасывается три раза. Выбрать соответствующее множество W в качестве пространства элементарных событий данного испытания и с помощью его элементов описать следующие события:

A = {выпадет один герб};

B = {выпадут два герба};

C = {выпадет не менее двух гербов};

D = {выпадет хотя бы один герб}.

2. Являются ли несовместными следующие события:

а) испытание – подбрасывание двух монет; события: A1 = {выпадение двух гербов}, A2 = {выпадение двух решек};

b) испытание – три выстрела по мишени; события: B1 ={хотя бы одно попадание},
B2 ={хотя бы один промах};

c) испытание – подбрасывание двух игральных костей; события: C1 ={хотя бы на одной кости будет три очка}, C2 ={будет четное число очков на каждой кости};

d) испытание – покупка двух лотерейных билетов; события: D1 = {выиграют оба билета}, D2 = {выиграет хоты бы один билет}, D3 = {выиграет только один лотерейный билет};

e) испытание – лифт отправляется с 5 пассажирами и останавливается на 10 этажах; события: E1 = {все пассажиры выйдут на разных этажах}, E2 = {все пассажиры выйдут на одном этаже}, E3 = {на первых трех остановках выйдут не более трех пассажиров}, E4 = {на последней остановке выйдет хотя бы один пассажир}?

3. Образуют ли полную группу следующие события:

а) испытание – два выстрела по мишени; события: A1 ={два попадания в мишень}, A2 ={хотя бы один промах по мишени};

b) испытание – бросание двух игральных костей; события: B1 ={сумма выпавших очков будет больше трех}, B2 ={сумма выпавших очков будет равна трем};

c) испытание – посажено четыре зерна; события: C1 = {взойдет одно зерно}, C2 = {взойдет два зерна}, C3 = {взойдет три зерна}, C4 = {взойдет четыре зерна};

d) испытание – покупатель посещает три магазина; события: D1 = {покупатель купит товар хотя бы в одном магазине}, D2 = {покупатель не купит товар ни в одном магазине}?

2. Операции над событиями и отношения между ними

Будем говорить, что событие А влечет за собой событие В (или событие А включается в событие В), если из наступления события A следует наступление события B. Это отношение включения обозначается A Ì B.

Если А Ì В и В Ì А, то говорят, что события А и В равны (или эквивалентны) и этот факт обозначается А = В. Равенство событий А и В означает, что если событие А происходит, то происходит событие В и наоборот.

Если А Ì В или А = В, то принято обозначать А Í В.

Для наглядности часто бывает удобно изображать пространство элементарных событий W, соответствующее рассматриваемому испытанию, некоторой областью на плоскости. Тогда любое событие, связанное с этим испытанием, будет изображаться частью этой области. Такое наглядное представление событий называется диаграммой Венна.

Операции над событиями: сумма, произведение, дополнение, разность.

1. Суммой (или объединением) событий А и В называется событие С, которое заключается в появлении хотя бы одного из них, т. е. в результате испытания происходит либо событие А, либо событие В, либо эти два события вместе. Эта операция обозначается С=А + В (или С = A È В).

Аналогично определяется и обозначается сумма (или объединение) n событий – событие, состоящее в появлении хотя бы одного из них. Сумму n событий A1, A2, …, An обозначают так:

А1 + А2 + А3 + ... + Аn =

(или А1 È А2 È А3 È ... È Аn = ).

2. Произведением (или пересечением) событий А и В называется событие С, которое заключается в появлении этих событий одновременно. Эта операция обозначается С = А × В (или С = A Ç В).

Аналогично определяется и обозначается произведение (или пересечение) n событий – событие, состоящее в одновременном появлении всех n событий. Произведение n событий A1, A2, …, An обозначают:

С = А1 · А2 · А3 · ... · Аn =

(или С = А1 Ç А2 Ç А3 Ç ... Ç Аn = ).

3. Дополнением (или противоположным) к событию А называется событие , заключающееся в непоявлении события А.

4. Разностью событий А и В называется событие A \ B, которое заключается в появлении события A и непоявлении события B. Используя определения операций умножения и дополнения, разность событий A \ B можно записать так: A \ B =

На рис. 2.1. изображены основные соотношения между событиями А и В. Результаты операций изображены в виде затемненных фигур.

Рис 2.1. а) Сумма (объединение) событий А + В (АÈB); b) произведение событий А×В; с) разность событий А \ В; d) противоположное событие ; e) отношение включения А Ì В; f) отношение несовместности А×В = Æ.

Пример 2.1. Подбрасывается игральная кость. Обозначим события:

A = {выпадет шесть очков}; B = {выпадет три очка}; C = {выпадет четное число очков};
D = {выпадет число очков, кратное 3}.

a) Каковы соотношения между этими событиями?

b) Описать события A + B; AB; C \ D.

c) Являются ли события A, B, C, D попарно несовместными?

d) Образуют ли события A, B, C, D полную группу?

Пример 2.2. Стрелок произвел три выстрела по мишени. Пусть событие Ak состоит в том, что произошло попадание при k-м выстреле (k = 1, 2, 3). Используя операции над событиями A1, A2, A3, выразим следующие события:

а) A = {произошло три попадания} = A1 × A2 × A3;

b) B = {произошло три промаха} =

c) C = {произошло одно попадание} = ;

d) D = {произошло хотя бы одно попадание} =

;

e) E = {произошло не более одного попадания} = B + C;

f) F = {произошло попадание в мишень после первого выстрела} =

. ·

Контрольные вопросы

1. Что называется суммой (или объединением): а) двух событий? б) трех cобытий? в) четырех событий?

2. Что называется произведением (или пересечением): а) двух событий? б) трех событий? в) четырех событий?

3. Что называется разностью двух событий? Как обозначается?

4. Что называется противоположным событием? Как обозначается?

5. Что означает событие W \ A?

6. Если событие A Ì B, что означает событие В \ А? Изобразите это событие на диаграмме Венна.

7. События A1, A2, …, An образуют полную группу. Изобразите их на диаграмме Венна.

8. События A1, A2, …, An образуют полную группу попарно несовместных событий. Изобразите их на диаграмме Венна. В чем отличие от предыдущей ситуации?

9. Какими свойствами обладают операции над событиями?

Контрольные задания

1. Показать, что:

а) A + A = A; b) A×A = A; c) A + = W; d) A× = Æ; e) A +Æ = A; A×Æ = Æ;

g) A + W = W; h) A×W = A; k) ; l) ; m) .

2. Показать, что если A Í B, то выполняются соотношения AB = A, A + B = B.

3. Показать, что если A Í B, то .

4. Испытание состоит в подбрасывании трех монет. Монеты занумерованы и событие Ak означает выпадение герба соответственно на k-й монете (k = 1, 2, 3). Выразить через A1, A2, A3 следующие события: A = {выпадет один герб}; B = {выпадет не мене одного герба}; C = {число выпавших гербов будет меньше числа выпавших решек}; D = {выпадет не менее двух гербов}; E = {на первой монете выпадет герб, а на остальных – решки}; F = {на первой монете выпадет герб и хотя бы на одной из остальных выпадет решка}.

3. Классическое определение вероятности

Классической вероятностью события А называется отношение числа N(A) благоприятствующих событию А элементарных исходов к общему числу N всех исходов испытания:

P(A) = . (3.1)

Из определения (3.1) вероятности непосредственно следует, что P(W) = 1, P(Æ) = 0 и 0 £ P(A) £ 1 для любого события A.

Из комбинаторики.

Перестановкой из n элементов называется набор из n элементов, расположенный в определенном порядке. Две перестановки из n элементов отличаются друг от друга только порядком своих элементов. Число всех перестановок из n элементов равно:

Pn = n! = 1·2·3·…· (n – 1)· n .

По определению полагается 0! =1.

Размещением из n элементов по k элементов (или короче – размещением из n по k) называется упорядоченный набор из k элементов, выбранных из данных n элементов (k n). Два размещения из n элементов по k отличаются друг от друга либо порядком, либо составом своих элементов. Число всех размещений из n по k равно:

= n · (n – 1)·…· ( n– k + 1) = .

Сочетанием из n элементов по k элементов (или короче – сочетанием из n по k) называется неупорядоченный набор из k элементов, выбранных из данных n элементов (k n). Два сочетания отличаются друг от друга только составом своих элементов. Число всех сочетаний из n элементов по k равно:

.

Пример 3.1. Подбрасываются два игральных кубика, а затем подсчитывается число очков на верхних гранях. Найти вероятности следующих событий:

A = {сумма выпавших очков будет равна 8};

B = {произведение выпавших очков будет равно 8}.

Пример 3.2. Из пяти карточек с буквами А, Б, В, Г, Д наугад одна за другой выбираются три и располагаются в ряд. Какова вероятность того, что получится слово «ДВА»?

Контрольные вопросы

1. Какие элементарные исходы испытания называют благоприятствующими данному событию?

2. Какое определение вероятности называется классическим?

3. При каких условиях применяется классическая вероятность?

4. Сформулируйте основную формулу комбинаторики.

5. Что называют перестановками?

6. По какой формуле вычисляют число перестановок из n различных элементов?

7. Что называют размещениями?

8. По какой формуле вычисляют число размещений из n различных элементов по k элементов?

9. Что называют сочетаниями?

10. По какой формуле вычисляют число сочетаний из n различных элементов по k элементов?

11. Чем отличаются размещения от перестановок?

12. Чем отличаются сочетания от размещений?

Контрольные задания

1. Из букв слова «интеграл» наугад выбирается одна буква. Какова вероятность того, что эта буква будет: а) гласной; б) согласной; в) буквой «а»; г) буквой «б»?

2. Какова вероятность того, что в наудачу выбранном двузначном числе цифры: а) одинаковы; б) разные; в) таковы, что их произведение равно нулю?

3. Из букв слова «ротор», составленного с помощью разрезной азбуки, наудачу последовательно извлекаются 3 буквы и складываются в ряд. Какова вероятность того, что получится слово «тор»?

4. Имеется 6 букв разрезной азбуки: 3 буквы «а», 2 буквы «н» и одна буква «с». Ребенок, не умеющий читать, выложил эти буквы в ряд. Какова вероятность того, что у него получится слово «ананас»?

5. Лифт начинает движение на первом этаже с четырьмя пассажирами и останавливается на десятом этаже. Определить вероятность того, что: а) никакие два пассажира не выйдут на одном этаже; б) все пассажиры выйдут на одном и том же этаже; в) двое пассажиров выйдут на одном этаже, а двое других – на каком-то другом.

6. Набирая номер телефона, абонент забыл последние три цифры и набрал их наугад, помня, что они различны. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры номера.

7. На полку ставят наугад 10 книг, среди которых находится трехтомник . Найти вероятность того, что тома трехтомника будут стоять рядом.

8. Среди 25 студентов группы, в которой 15 девушек, разыгрывается 5 билетов. Найти вероятность того, что: а) обладателями билетов окажутся только девушки; б) обладателями билетов окажутся только юноши; в) среди обладателей билетов окажется k девушек (k = 0, 1, …, 5).

4. Геометрическое определение вероятности

Аналогом классической вероятности в случае бесконечного и несчетного пространства элементарных исходов является геометрическая вероятность.

Предположим, что пространство элементарных исходов W можно отождествить с интервалом конечной длины на числовой прямой, или с фигурой конечной площади на плоскости, или с телом конечного объема в трехмерном пространстве. В дальнейшем длину, площадь или объем множества С будем называть мерой множества и обозначать m(С).

Вероятность события А положим равной

Р(А) = . (4.1)

Определенная таким образом вероятность называется геометрической.

Контрольные вопросы

1. Как определяется геометрическая вероятность, если пространство элементарных исходов находится: а) на вещественной прямой; б) на плоскости; в) в трехмерном пространстве?

2. При каких условиях применяется геометрическая вероятность?

3. Можно ли применять геометрическое определение вероятности, если пространство элементарных исходов представляет собой: а) отрицательную полупрямую; б) положительную полупрямую; в) верхнюю полуплоскость; г) первый квадрант на плоскости?

4. В чем состоит аналогия между классической и геометрической вероятностями?

5. В чем заключается разница между классической и геометрической вероятностями?

Контрольные задания

1. Показать, что геометрические вероятности обладают следующими свойствами: P(W) = 1, P(Æ) = 0 и 0 £ P(A) £ 1 для любого события A.

2. Поезда метрополитена на данной станции ходят с интервалом в 5 мин. Какова вероятность того, что пассажиру на этой станции придется ожидать поезда более 2 мин.?

3. Два парохода должны подойти к одному и тому же причалу. Время прихода обоих пароходов независимо и равновозможно в течение суток. Определить вероятность того, что ни одному из пароходов не придется ожидать освобождения причала, если время стоянки одного парохода 2 часа, а другого – 3 часа.

4. На занятия студент всегда ездит автобусами двух маршрутов с пересадкой. Интервал движения первого автобуса равен 10 мин., а второго – 15 мин. Найти вероятность того, что суммарное время ожидания студентом автобусов на обеих остановках будет не более 15 мин., если на первую остановку он приходит в наугад выбранное время.

5. Аксиоматическое определение вероятности. Свойства вероятности

А1. Каждому событию A ставится в соответствие неотрицательное число P(A) – его вероятность, т. е. для любого события А

P(A) ³ 0 (аксиома неотрицательности).

А2. Вероятность достоверного события равна единице:

P(W) = 1 (аксиома нормированности).

А3. Для любой конечной или бесконечной последовательности попарно несовместных событий A1, A2, …, An, … вероятность суммы этих событий равна сумме их вероятностей:

.

Свойства вероятности

Из аксиом А1 – 3 следуют свойства.

10. Вероятность невозможного события равна нулю:

Р(Æ) = 0.

20. Вероятность любого события А неотрицательна и не превосходит единицы:

0 £ Р(А) £ 1.

30. Вероятность дополнения выражается формулой:

Р() = 1 – Р(А).

40. Если А Í В, то Р(А) £ Р(В).

50. Вероятность объединения двух событий находится по формуле:

Р(А È В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ).

теорема сложения вероятностей для двух событий.

Контрольные вопросы

1. Как формулируются аксиомы теории вероятностей?

2. В чем отличие аксиоматического определения вероятности от классического и геометрического?

3. Зачем нужно аксиоматическое определение вероятности?

4. Чему равна вероятность невозможного события?

5. Как выражается вероятность дополнения события?

6. Какие значения могут быть у вероятности события?

7. Чему равна вероятность суммы: а) двух событий; б) трех событий; в) четырех событий?

Контрольные задания

1. В группе туристов, отправляющихся за границу, 60% владеют английским языком, 40% – французским и 10% – обоими языками. Какова вероятность того, что наугад взятый из группы турист будет нуждаться в переводчике?

Лекция 2

6. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей

Рассмотрим два события А и В, которые относятся к одному и тому же испытанию. Пусть известно, что событие А произошло, но неизвестно, какой конкретно из элементарных исходов w, составляющих событие А, произошел.

Пример 6.1. Пусть событие А – выпадение четного числа очков при одном бросании игральной кости, событие В – выпадение нечетного числа очков. Поскольку события А и В несовместны, то при наступлении события А событие В уже не может произойти и ему естественно приписать условную вероятность 0. ·

Пример 6.2. Пусть событие А – выпадение 4 или 6 очков при одном бросании игральной кости, событие B – выпадение четного числа очков. Поскольку событие А Ì В, то при наступлении события А событие В обязательно произойдет, т. е. событие В имеет условную вероятность 1. ·

Пример 6.3. Пусть событие А – выпадение четного числа очков при одном бросании игральной кости, событие В – выпадение не менее 5 очков. Если событие А наступило, то произошел один из трех элементарных исходов: выпало 2, 4 или 6 очков. Но из этих трех исходов только один исход (выпадение «шестерки») влечет за собой появление события В. В соответствии с классическим определением в данном случае естественно определить условную вероятность события В числом 1/3. Заметим, что в этом примере условная вероятность появления события В совпадает с безусловной вероятностью Р(В). ·

Условной вероятностью события В при условии, что произошло событие А с Р(А) ¹ 0 (или кратко: при условии А) называется отношение вероятности совместного появления событий А и В к вероятности события А:

. (6.1)

Пример 6.4. При трехкратном подбрасывании симметричной монеты выпало два герба – событие А. Определить условную вероятность того, что при втором подбрасывании монеты выпал герб – событие В.

Решение. Всего у нас N = 8 элементарных исходов:

W = {ГГГ, ГГР, ГРГ, РГГ, ГРР, РГР, РРГ, РРР}.

Событию А благоприятствуют N(A) = 3 исхода: А ={ГГР, ГРГ, РГГ};

событию АВ благоприятствуют N(AВ) = 2 исхода: АВ ={ГГР, РГГ}.

Поскольку мы находимся в рамках классической схемы, то

P(AB) = N(AB) / N = 2/8 = 1/4; P(A) = N(A) / N = 3/8.

Итак, искомая вероятность

. ·

Теорема умножения вероятностей для двух событий: вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что первое событие произошло:

P(AB) = P(A) P(B / A) = P(B) P(A / B). (6.2)

Пример 6.5. На рекламной фирме 20% работников получают высокую зарплату. Среди них соотношение числа мужчин и женщин составляет 14 : 6. Известно также, что на фирме работают 40% женщин. Существует ли на фирме дискриминация женщин в оплате труда?

Решение. Введем события:

A ={случайно выбранный работник фирмы – женщина},

B = {случайно выбранный работник получает высокую зарплату}.

Тогда по условию Р(АВ) = 0,06; Р(А) = 0,4; Р(В) = 0,2. Найдем условную вероятность

.

Так как Р(В / А) < Р(В), то труд женщин является менее оплачиваемым. ·

Пример 6.6. Определить вероятность того, что выбранное наудачу изделие предприятия будет первосортным, если известно, что 5% всей продукции является браком, а 80% небракованных изделий удовлетворяют требованиям первого сорта.

Решение. Пусть событие А состоит в том, что выбранное изделие небракованное, а событие В – выбранное изделие первосортное. По условию

Р(А) = 1 – 0,05 = 0,95, Р(В / А) = 0,8.

Искомая вероятность р = Р(АВ) = Р(А) Р(В / А) = 0,95× 0,8 = 0,76. ·

Пример 6.7. Имеется 6 карточек, на которых написаны 3 буквы «а», 2 буквы «н» и одна буква «с». Карточки перетасовываются и последовательно кладутся в ряд. Найти вероятность события А, состоящего в том, что получится слово «ананас».

Решение. Эта задача на классическую вероятность, и ее можно было бы решить с помощью комбинаторных методов (она приведена в контрольном задании 4). Однако гораздо проще воспользоваться теоремой умножения вероятностей.

Введем события:

A1 = {на первой выложенной слева карточке написана буква «а»};

A2 = {на второй – буква «н»}; A3 = {на третьей – буква «а»};

A4 = {на четвертой – буква «н»}; A5 = {на пятой – буква «а»};

A6 = {на шестой – буква «с»}.

Тогда событие А можно представить в виде произведения событий А1, А2, …, А6 и по теореме умножения вероятностей (6.3)

Р(А) = Р (А1 · А2 · ... · А6) = Р (А1) · Р (А2 / А1) ·Р (А3 / А1 А2) · … · Р (А6 / А1 A2…А5) .

Заметим теперь, что в соответствии с классическим определением вероятности безусловная вероятность Р(А1) определяется как отношение числа карточек, на которых написана буква «а» к общему числу всех карточек, т. е. Р (А1) = 3/6. Далее, если событие А1 произошло, то у нас осталось 5 карточек и на двух из них написана буква «н». Поэтому Р(А2 / А1) = 2/5. Аналогично, если произошли события А1 и А2, то из оставшихся 4 карточек на двух написана буква «а», и, значит, Р(А3 / А1 А2) = 2/4. Таким же образом находим остальные сомножители. Окончательно получаем

Р(А) = Р (А1 · А2 · ... · А6) = . ·

Пример 6.8. В коробке имеется 12 электролампочек, среди которых 4 бракованные, неотличимые по виду от доброкачественных. Некто наугад берет электролампочку, ввинчивает ее в патрон и включает ток. Бракованная лампочка сразу же перегорает; она выбрасывается и проверяется следующая. И так до тех пор, пока не будет гореть лампочка. Найти вероятность того, что будет выброшено не более двух электролампочек.

Решение. Испытание состоит в том, что поочередно (и без повторения) проверяются электролампочки до тех пор, пока не будет обнаружена доброкачественная. Пусть событие А заключается в том, что будет выброшено не более двух электролампочек, т. е. количество выброшенных лампочек равно 0, 1 или 2. Это событие, очевидно, эквивалентно тому, что будет удачной первая, вторая или третья попытка замены лампочки. Обозначим через Ai событие, состоящее в том, что i-я лампочка доброкачественная (i = 1, 2, 3). Тогда событие А можно представить в виде

,

где слагаемые являются попарно несовместными событиями. Применяя вначале теорему сложения вероятностей для несовместных событий, а затем теорему умножения вероятностей для зависимых событий, находим

·

Контрольные вопросы

1. Как можно определить условную вероятность в классической схеме?

2. Как определяется условная вероятность в общем случае?

3. Какими свойствами обладает условная вероятность?

4. Всем ли свойствам безусловной вероятности удовлетворяет условная вероятность?

5. Сформулируйте теорему произведения вероятностей: а) двух событий; б) трех событий; в) четырех событий; г) n событий.

Контрольные задания

В урне 10 шаров, из которых 4 белые, а остальные черные. Наудачу берут одновременно из урны 2 шара. Определить вероятность того, что оба шара будут: а) белые; б) черные; в) одного цвета; г) разных цветов.

На базу поступило 40 ящиков овощей, из которых 30 первого сорта. Наудачу для проверки берут два ящика. Какова вероятность того, что оба ящика содержат овощи: а) первого сорта; б) одного сорта; в) разных сортов?

Студент знает 20 из 30 вопросов программы. Найти вероятность того, что из трех полученных на зачете вопросов студент знает: а) все три вопроса; б) только один вопрос; в) хотя бы один вопрос.

Партия из 50 изделий подвергается выборочному контролю. Условием непригодности всей партии является наличие хотя бы одного бракованного изделия среди трех взятых на проверку. Какова вероятность того, что партия не будет принята, если она содержит 6% брака?

Читатель разыскивает книгу в трех библиотеках. Одинаково вероятно, есть или нет в фонде очередной библиотеки книга и также одинаково вероятно, выдана она или нет. Чему равна вероятность того, что читатель найдет нужную книгу?

За некоторый промежуток времени амеба может погибнуть с вероятностью 1/4, выжить с вероятностью 1/4 и разделиться на две с вероятностью 1/2. В следующий такой же промежуток времени с каждой амебой независимо от ее «происхождения» происходит то же самое. Сколько амеб и с какими вероятностями может существовать к концу второго промежутка времени?

7. Независимость событий

События А и В называются независимыми, если вероятность произведения событий А и В равна произведению их вероятностей:

P(AB) = P(A)P(B). (7.1)

Если равенство (7.1) не выполняется, то события называются зависимыми.

Пример 7.1. Испытание состоит в двукратном подбрасывании симметричной монеты. В этом случае, как мы знаем (см. пример 1.2), имеется четыре элементарных равновозможных исхода, т. е. N = 4.

Рассмотрим события A ={герб выпадет на первой монете} и B = {герб выпадет на второй монете}.

Событию А благоприятствуют два исхода, событию В – два исхода и событию АВ – один исход. Значит, по классическому определению вероятности

P(A) = P(B) = 1/2, P(AB) = 1/4.

Следовательно, события А и В независимы, так как P(AB) = P(A)P(B). ·

Пример 7.2. (). На плоскость бросается тетраэдр (пра­вильная треугольная пирамида), три грани которого окрашены соот­ветственно в красный, синий и зеленый цвета, а на четвертую нане­сены все три цвета. Пусть событие K состоит в том, что при бросании тетраэдра на плоскость выпадет грань, содержащая красный цвет, событие С – грань, содержащая синий цвет, и событие З – грань, содержащая зеленый цвет. Так как каждый из трех цветов содержит­ся на двух гранях из четырех, то по классическому определению вероятности

Р(К) = Р(С) = Р(З) = 2/4 = 1/2.

Любая пара цветов присутствует только на одной грани и поэтому
Р(КС) = Р(КЗ) = Р(СЗ) = 1/4 .

Следовательно, события К, С и З попарно независимы. Однако эти события не являются независимыми в совокупности, так как

1/4 = Р(КСЗ) ¹ Р(К) · Р(С) · Р(З) = 1/8. ·

Пример 7.3. В мастерской работают независимо друг от друга три мотора. Вероятности того, что в течение часа не потребуют внимания мастера первый, второй и третий моторы равны соответственно 0,8; 0,85 и 0,9. Определить вероятность того, что в течение часа потребует внимание мастера:

а) только один мотор;

b) не более двух моторов;

c) все три мотора;

d) по крайней мере один мотор.

Решение. Обозначим события, описанные в п. п. а), b), c) и d) через A, B, C и D соответственно. Пусть событие Ai состоит в том, что i-й мотор в течение часа потребует внимание мастера, i = 1, 2, 3. Поскольку известны вероятности событий и P(Ai) = , то P(A1) = 1 – 0,8 = 0,2; P(A2) = = 1 – 0,85 = 0,15; P(A3) = 1 – 0,9 = 0,1.

Используя операции над событиями A1, A2, A3, можем получить следующие представления для событий A, B, C и D:

Поскольку слагаемые в представлении попарно несовместны, а сомножители взаимно независимы, то применение теорем сложения и умножения вероятностей дает нам:

= 0,2×0,85×0,9 + 0,8×0,15×0,9 +0,8×0,85×0,1 = 0,329;

P(C) = P(A1)P(A2)P(A3) = 0,2×0,15×0,1 = 0,003;

·

Контрольные вопросы

1. Как определяется независимость двух событий?

2. Как можно сформулировать условие независимости двух событий с помощью условных вероятностей?

3. Как определяется независимость в совокупности трех событий? Сколько и какие условия должны быть для этого выполнено?

4. Как определяется независимость в совокупности четырех событий? Сколько и какие условия должны быть для этого выполнены?

5. Следует ли из взаимной независимости событий их попарная независимость?

6. Следует ли из попарной независимости событий их взаимная независимость?

7. Сформулируйте теорему сложения вероятностей для: а) двух независимых событий; б) трех взаимно независимых событий.

Контрольные задания

1. Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сигнализатор сработает, равна 0,95 для первого сигнализатора и 0,9 для второго. Найти вероятность того, что при аварии:

а) сработают оба сигнализатора;

б) ни один сигнализатор не сработает;

в) сработает только один сигнализатор;

г) сработает хотя бы один сигнализатор.

2. Три стрелка независимо друг от друга ведут стрельбу по цели с вероятностью попадания для первого стрелка 0,6; второго – 0,7 и третьего 0,8. Каждый стрелок делает по одному выстрелу. Найти вероятность того, что:

а) какой-нибудь один стрелок попадет в цель;

б) ни один стрелок не попадет в цель;

в) хотя бы один стрелок попадет в цель.

3. Двое игроков бросают монету два раза каждый. Найти вероятность того, что:

а) у обоих игроков выпадет одинаковое число гербов;

б) у первого игрока выпадет больше гербов, чем у второго.

4. Два стрелка, независимо друг от друга делают по два выстрела (каждый по своей мишени). Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,75, для второго – 0,9. Выигравшим соревнование считается тот, в мишени которого будет больше пробоин. Найти вероятность того, что:

а) будет ничья;

б) выиграет первый стрелок.

5. Вычислительная система состоит из n блоков. Вероятность безотказной работы в течение времени Т (надежность) первого блока равна р1, второго – р2 и т. д. n-го блока – рn. Блоки отказывают независимо друг от друга. При отказе любого блока отказывает вся система. Найти вероятность того, что система не откажет за время Т.

6. Над изготовлением изделия работают последовательно n рабочих, причем качество изделия при передаче следующему рабочему не проверяется. Первый рабочий допускает брак с вероятностью р1, второй – р2 и т. д. n-й – рп. Найти вероятность того, что при изготовлении изделия:

а) не будет допущен брак;

б) будет допущен брак.

8. Формулы полной вероятности и Байеса

Предположим, что в результате испытания событие А может произойти вместе с одним из попарно несовместных событий H1, H2, …, Hn , составляющих полную группу. Тогда вероятность события А определяется формулой полной вероятности

. (8.1)

Cобытия H1, H2, …, Hn , называемые гипотезами, удовлетворяют условию

. (8.2)

формулой Байеса

i = 1, 2, …., n, (8.3)

где вероятность события А определяется формулой полной вероятности (8.1).

Формула Байеса позволяет переоценить вероятности гипотез после поступления новой информации относительно осуществления тех или иных событий.

Пример 8.1. Некоторое изделие выпускается двумя заводами. При этом объем продукции второго завода втрое превосходит объем продукции первого. Доля брака у первого завода 1%, у второго – 2%. Изделия, выпущенные заводами за одинаковый промежуток времени, перемешали и в таком виде пустили в продажу. Какова вероятность того, что Вы приобретете бракованное изделие?

Решение. Пусть событие А состоит в том, что Вами выбрано бракованное изделие. Можно сделать два предположения: Н1 – выбранное изделие с первого завода, Н2 – со второго. События Н1 и Н2 несовместны (одно и то же изделие выпускается двумя заводами не одновременно), и образуют полную группу (изделие выпущено обязательно либо первым, либо вторым заводом).

Пусть x – производительность первого завода, определяемая как количествово/время. За определенный промежуток времени, скажем, равный Т, первый завод выпустит xT изделий, второй – 3xT , а их общая продукция составит 4xT единиц изделия. Согласно классическому определению вероятности имеем

Р(Н1) = , P(H2) = .

Условие (8.2), очевидно, выполнено.

Нам даны условные вероятности

Р(А/Н1) = 0,01 и Р(А/Н2) = 0,02.

Используя формулу полной вероятности, находим искомую вероятность

Р(А) = Р(Н1) · Р(А/Н1) + Р(Н2) · Р(А/Н2) = 1/4 · 0,01 + 3/4 · 0,02 = 0,0175. ·

Пример 8.2. Среди 30 экзаменационных билетов имеется 10 «счастливых». Студенты поочередно берут по одному билету (без возвращения). У кого больше вероятность взять «счастливый» билет: у того, кто подошел первым или у того, кто подошел вторым?

Решение. Для первого студента вероятность взять «счастливый» билет равна, в силу классического определения, 10/30 = 1/3.

Пусть событие А состоит в том, что второй студент взял «счастливый» билет. Можно выдвинуть две гипотезы: Н1 – первый студент взял «счастливый» билет, Н2 – первый не взял «счастливый» билет. Очевидно, события Н1 и Н2 несовместны и образуют полную группу. Легко видеть, что

Р(Н1) = 10/30 = 1/3, Р(Н2) = 20/30 = 2/3,

так что равенство (8.1) выполнено.

После первого студента остается 29 билетов, из которых 9 «счастливых» (если выполнено условие Н1) или 10 «счастливых» (если выполнено условие Н2). Классическое определение вероятности дает нам

Р(А/Н1) = 9/29 и Р(А/Н2) = 10/29.

Тогда по формуле полной вероятности находим

Р(А) = Р(Н1) · Р(А/Н1) + Р(Н2) · Р(А/Н2) .

Таким образом, вероятность взять «счастливый» билет для второго студента также равна 1/3. ·

Пример 8.3. В торговую фирму поступили телевизоры от трех поставщиков в отношении 1:2:3. Практика показала, что телевизоры, поступающие от 1-го, 2-го и 3-го поставщиков, не потребуют ремонта в течение гарантийного срока соответственно в 85%, 90% и 95% случаев.

1) Определить вероятность того, что проданный торговой фирмой телевизор не потребует ремонта в течение гарантийного срока.

2) Проданный телевизор потребовал ремонта в течение гарантийного срока. От какого поставщика вероятнее всего поступил этот телевизор?

Решение. 1) Пусть событие А состоит в том, что проданный телевизор не потребует ремонта в течение гарантийного срока. Введем гипотезы

Нi = {телевизор поступил в торговую фирму от i-го поставщика}, i = 1, 2, 3.

По условию

P(A / H1) = 0,85; P(A / H2) = 0,90; P(A / H3) = 0,95.

Согласно классическому определению вероятности, имеем

Условие (8.2), очевидно, выполнено. Тогда по формуле полной вероятности (8.1) находим

Р(А) = Р(Н1) · Р(А/Н1) + Р(Н2) · Р(А/Н2) + Р(Н3) · Р(А/Н3) =

.

2) Событие = {телевизор потребует ремонта в течение гарантийного срока};

Исходя из условия и свойств условной вероятности, получим

.

По формуле Байеса (8.3) находим

Таким образом, после наступления события вероятность гипотезы Н2 увеличилась с Р(Н2) = 0,333 до максимальной , а гипотезы Н3 – уменьшилась от максимальной Р(Н3) = 0,5 до минимальной . Если ранее (до наступления события ) наиболее вероятной была гипотеза Н3, то теперь, в свете новой информации (наступления события ), наиболее вероятна гипотеза Н2 – поступление данного телевизора от 2-го поставщика. ·

Пример 8.4. Вероятности попадания при каждом выстреле для трех стрелков равны соответственно 0,2; 0,4; 0,6. При одновременном выстреле всех трех стрелков имелось одно попадание. Определить вероятность того, что попал третий стрелок.

Решение. Пусть событие А состоит в том, что после произведенных трех выстрелов имеется только одно попадание. Относительно результатов трех выстрелов возможны следующие гипотезы:

Н1 = {попадет первый стрелок, второй и третий промахнутся};

Н2 = {попадет второй стрелок, первый и третий промахнутся};

Н3 = {попадет третий стрелок, первый и второй промахнутся};

Н4 = {попадут первый и второй стрелок, третий промахнется};

Н5 = {попадут первый и третий стрелок, второй промахнется};

Н6 = {попадут второй и третий стрелок, первый промахнется};

Н7 = {все три стрелка попадут};

Н8 = {все три стрелка промахнутся}.

События Н1, Н2, …, Н8 , как нетрудно видеть, попарно несовместны и образуют полную группу.

Условные вероятности события А при данных гипотезах равны:

Р(А / Н4) = Р(А / Н5) = Р(А / Н6) = Р(А / Н7) = Р(А / Н8) = 0;

Р(А / Н1) = Р(А / Н2) = Р(А / Н3) = 1.

Поскольку в формулах полной вероятности и Байеса условные вероятности P(A / Hk) = 0, k = 4, 5, …,8, то нет необходимости находить вероятности гипотез P(Hk), k = 4, 5, …,8.

Применив теорему умножения вероятностей для независимых событий, находим вероятности гипотез:

Р(Н1) = 0,2×0,6×0,4 = 0,048;

Р(Н2) = 0,8×0,4×0,4 = 0,128;

Р(Н3) = 0,8×0,6×0,6 = 0,288.

По формуле полной вероятности

,

а затем по формуле Байеса

Таким образом, после наступления события A вероятность гипотезы Н1 увеличилась с Р(Н1) = 0,048 до P(H1 / A) = 0,103. ·

Контрольные вопросы

1. Что называют гипотезами?

2. Какому условию должны удовлетворять вероятности гипотез?

3. Сформулируйте формулу полной вероятности.

4. При каких условиях применяется формула полной вероятности?

5. Что называют априорными и апостериорными вероятностями?

6. Сформулируйте формулу Байеса.

7. При каких условиях применяется формула Байеса?

8. Какому условию удовлетворяют апостериорные вероятности?

Контрольные задания

1. Докажите равенство (8.2).

2. Докажите равенство, аналогичное (8.2), для условных вероятностей: если H1, H2, …, Hn образуют полную группу попарно несовместных событий, то

3. В примере 8.2 найдите вероятность получения «счастливого» билета для студента, идущего отвечать третьим.

4. В условиях примера 8.1 приобретенное Вами изделие оказалось бракованным. Каким заводом вероятнее всего выпущено это изделие?

5. В примере 8.4 найдите вероятности всех гипотез и проверьте выполнение условия (8.2).

6. При исследовании жирности молока коров все стадо было разбито на три группы. В первой группе оказалось 70%, во второй 23% и в третьей 7% всех коров. Вероятность того, что молоко, полученное от отдельной коровы, имеет не менее 4% жирности, для каждой группы коров соответственно равна 0,6; 0,35 и 0,1.

1) Определить вероятность того, что для взятой наудачу коровы жирность молока составит не менее 4%.

2) Взятая наудачу корова дает молоко жирностью менее 4%. Из какой группы вероятнее всего эта корова?

7. Перед посевом 90% всех семян было обработано ядохимикатами. Вероятность поражения вредителями для растений из обработанных семян равна 0,08, для растений из необработанных – 0,4. Взятое наудачу растение оказалось пораженным. Какова вероятность того, что оно выращено из обработанного семени?

8. Страховая компания разделяет застрахованных по классам риска: I класс – малый риск, II класс – средний, III класс – большой риск. Среди всех клиентов 50% – первого класса риска, 30% – второго и 20% – третьего. Вероятность необходимости выплачивать страховое вознаграждение для клиентов первого класса риска равна 0,01, второго – 0,03, третьего – 0,08. Какова вероятность того, что: 1) застрахованный получит денежное вознаграждение за период страхования; 2) не получивший денежное вознаграждение застрахованный относится к группе малого риска?

9. В группе 25 студентов, в том числе 5 отличников, 12 хорошо успевающих, а остальные занимаются слабо. На предстоящем экзамене отличники могут получить только отличные оценки. Хорошо успевающие студенты могут получить с равной вероятностью хорошие и отличные оценки. Слабо занимающиеся студенты могут получить с равной вероятностью хорошие, удовлетворительные и неудовлетворительные оценки. Для сдачи экзамена приглашаются наугад три студента. Найти вероятность того, что получат оценки: «отлично», «хорошо» и «удовлетворительно» (в любом порядке).

10. На сборку попадают детали с трех автоматов. Известно, что первый автомат дает в среднем 0,2% брака, второй – 0,3% и третий – 0,4%. Найти вероятность попадания на сборку бракованной детали, если с первого автомата поступило 500, со второго – 800 и с третьего – 700 деталей.

Литература

1. А., , , Теория вероятностей и математическая статистика. – Новосибирск: Изд-во НГАЭиУ, 1997. – Гл. 1.

2. Е. Теория вероятностей и математическая ста­тистика. – М.: Высшая школа, 2002. – Гл. 1–4.

3. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высшая школа, 2002. – Гл. 1–2.

4. Теория вероятностей. – Новосибирск: Изд-во НГАЭиУ, 2003. – Гл. 1.