Ведем обозначения:
– сумма Р, наращенная по ставке 
простых процентов, через 
промежутков начисления;
– сумма Р, наращенная по ставке сложных процентов, через 
промежутков начисления;
А – современная величина ренты;
– коэффициент приведения ренты, значения смотрят по специальным таблицам;
– коэффициент наращения ренты, значения смотрят по специальным таблицам;
– размер платежа;
– размер кредита, займа, ссуды;
Inv – размер инвестиций;
– чистая приведенная стоимость, чистый дисконтированный доход;
Rt – чистый денежный поток доходов.
Контрольная работа №1.
Задача 1. Заем руб. взят на 7 лет под 28% годовых. Погашаться будет, начиная с конца третьего года, ежеквартальными равными выплатами. Найдите размер этой выплаты.
Решение. Для определения размера выплаты имеем уравнение эквивалентности, используя конец 11-го квартала в качестве даты сравнения:
руб.
В расчетах предполагалось, что в течение года число начислений процентов совпадает с числом платежей.
Ответ: 43118 руб.
Задача 2. Заем был взят под 18% годовых, выплачивать осталось ежеквартально по 500 д. е. в течение трех лет. Из-за изменения ситуации в стране процентная ставка снизилась до 12% годовых. В банке согласились с необходимостью пересчета ежеквартальных выплат. Каков должен быть новый размер выплаты?
Решение. Оставалось выплатить:
Получаем следующее уравнение для нахождения нового размера выплаты:
руб.
Ответ: 458,04 руб.
Задача 3. На покупку дачного домика взят потребительский кредит руб. на 5 лет под 25 простых процентов. Его нужно погашать равными ежегодными выплатами. Найти размер этой выплаты.
Решение. Имеем
– наращенная величина потребительского кредита выданного на 
лет под простых процентов.
Следовательно, всего нужно выплатить:
руб.
Отсюда получаем, что ежегодная выплата составит:
руб.
Ответ: 94500 руб.
Задача 4. Рассмотрим создание из доходов фонда для погашения кредита инвестиций. В банке взят кредит под инвестиционный проект по ставке 
, а доходы от проекта помещаются в другой банк по большей ставке 
. Вычислите итоговые характеристики (необходимые данные – по вашему усмотрению).
Решение. Введем следующие данные:
кредит 
руб.,
лет;
Но этих данных мало для решения поставленной задачи. Не ясно, при каких условиях происходит погашение кредита. Например, возможны следующие схемы погашения:
1) Фонд формируется таким образом, чтобы обеспечить периодическую выплату процентов по долгу (из фонда) и в конце срока возврат основного долга.
2) Основной долг погашается из фонда в конце срока разовым платежом. Сумма взносов в фонд с процентами на них равна долгу на момент его уплаты. Проценты по долгу выплачиваются не из фонда.
3) Вместо периодической выплаты процентов предусматривается их присоединение к сумме основного долга.
Задача 5. Проанализируйте инвестиционный проект с переменной процентной ставкой:
Решение. Наверху указаны размеры инвестиций (отрицательные) и получаемые доходы (положительные).
NPV находится прямым подсчетом:
,
т. е. проект убыточен.
Контрольная работа №2
Задача 1. Покупатель предложил два варианта расчетов при покупке участка:
1) немедленно и затем пов течение 5 лет;
2) немедленно и по 9 000 в течение 5 лет. Какой вариант выгоднее при годовой ставке процента 12%?
Решение. Сравним предложенные варианты:
руб.;
руб.
Поскольку 
, то второй вариант расчетов предпочтительней.
Ответ: выгоднее второй вариант расчетов
Задача 2. Вычислить 
– годичную ссуду покупки квартиры за A рублей с годовой ставкой процентов и начальным взносом 
процентов. Сделать расчет для ежемесячных и ежегодных выплат.
Расчет провести для следующих данных: 
А = 89000 руб.; 
.
Решение. Поскольку не дана величина , то положим ее равной, например, 20%. Тогда величина взятого кредита составит:
руб.
Следовательно, искомый размер возращенной ссуды при ежегодных выплатах составит:
руб.,
при этом размер ежегодной выплаты составляет:
руб.
При ежемесячных выплатах получим следующую сумму выплат:
руб.,
при этом размер ежемесячной выплаты составляет:
руб.
Задача 3. Каким должен быть платеж конечной годовой ренты длительностью 21 год, чтобы ее современная величина была при ставке 12%?
Решение. Современная величина конечной годовой ренты определяется формулой:
Отсюда получаем:
руб.
Ответ: 55540,84 руб.
Задача 4. Рассмотрим годовую ренту при n = 10, i = 12%. Что более увеличит наращенную величину ренты: увеличение длительности на 1 год или увеличение процентной ставки на 1%?
Решение. Формула для нахождения наращенной величины ренты имеет вид:
Получаем:
Поскольку 
, то делаем вывод, что в данных условиях увеличение длительности на 1 год выгоднее, чем увеличение процентной ставки на 1%.
Ответ: увеличение длительности на 1 год выгоднее.
Задача 5. Найдите ренту, которая представляет собой сумму для двух годовых рент: одна длительностью 7 лет с годовым платежом 8 000 и другая – 3 года и платежомГодовая ставка процента 10%.
Решение. 
Находим современные стоимости рент-слагаемых:
руб.;
руб.
Современная стоимость ренты-суммы:
руб.
Если задать, длительность ренты-суммы, например, , то можно найти ее годовой платеж:
руб.
Контрольная работа №3
Задача 1. Проанализируйте инвестиционный проект (–70000, 38000, 38000), процентная ставка 10%. Окупаются ли инвестиции? Эксперты признали проект среднерисковым и увеличили процент дисконтирования будущих доходов до 12%. Окупятся ли инвестиции в этом случае?
Решение. Воспользуемся формулой:
,
т. е. проект является убыточным и инвестиции не окупаются.
При увеличении процента дисконтирования будущих доходов до 12% ситуация только ухудшится:
.
Вообще, при увеличении ставки процента приведенный чистый доход, а, следовательно, и доходность процесса уменьшается, а срок окупаемости увеличивается.
Задача 2. Пусть f(x) — плотность распределения случайной ставки x, среднее значение которой равно i = M[x]= 
. Тогда начисляемые процентные деньги на сумму P есть случайная величина 
с плотностью f(x) и математическим ожиданием 
. Другими словами, детерминированный эквивалент процентных денег есть 
, а детерминированный эквивалент случайной ставки – это среднее значение ставки i = M[x].
В условиях нашей задачи будем считать, что величина ставки , а сумма единичная. Тогда математическое ожидание наращенной суммы в момент 1 равно
Задача 3. Сформировать портфель Тобина минимального риска из двух видов ценных бумаг: безрисковых с эффективностью 42 и рисковых с эффективностью 60 и риском 45. Найти зависимость эффективности портфеля от его риска.
Решение. Обозначения: 
− эффективность безрисковых бумаг;
− эффективность рисковых бумаг;
− эффективность рисковой части портфеля;
− доля капитала, вложенного в безрисковые бумаги;
− доля капитала, вложенного в рисковые бумаги.
Тогда задача формирования оптимального портфеля в данной ситуации имеет вид (
):
.
Отсюда,
При этом выражение эффективности оптимального портфеля от его риска имеет следующий вид:
где 
− риск портфеля.
Задача 4. Сформировать портфель Тобина максимальной эффективности и риска не более заданного из трех видов ценных бумаг: безрисковых с эффективностью 2 и некоррелированных рисковых ожидаемой эффективности 4 и 10 и рисками 2 и 4. Каковы соотношения доли бумаг в рисковой части оптимального портфеля?
Решение. Пусть 
− матрица ковариаций рисковых видов ценных бумаг,
Х = 
− вектор-столбец долей капитала, вкладываемых в i-ый вид рисковых ценных бумаг,
М = 
− вектор-столбец ожидаемых эффективностей рисковых ценных бумаг i-ого вида,
i =1,...,n .
Пусть также I − n-мерный вектор-столбец, компоненты которого равны 1.
Имеем: 
Ограничим риск портфеля величиной .
Известно, что оптимальное значение долей 
есть
Матрицу, обратную к , находим с помощью пакета MathCad:
Вычисляем
.
Тогда искомый вектор долей рисковых ценных бумаг
Делаем вывод, что рисковые доли должны быть одинаковы (рисковые бумаги входят в оптимальный портфель в соотношении 1:1) и каждая из них равна
Следовательно, в безрисковые бумаги нужно вложить оставшуюся часть капитала:
Задача 5. Запишем вариацию доходности портфеля 
в форме: 
и назовем величину 
портфельной ковариацией доходности 
-й ценной бумаги. Доказать, что в оптимальном портфеле эти ковариации пропорциональны превышению эффективности ценных бумаг над безрисковыми вложениями (подразумевается, что последние на рынке имеются).
Решение. Действительно, вектор портфельных ковариаций
R=VХ*,
где X* – вектор долей рисковых вложений.
В оптимальном портфеле X* определяется формулами
или
,
т. е. имеет вид:
где 
скаляр, равный 
или 
Подставляя X* из этих выражений, получим
Таким образом, доказали, что векторы R и 
пропорциональны
Контрольная работа №4.
Задача 1. Вычислить матрицу 
, где
; 
; 
Решение. При попытке найти данную матрицу 
, получаем ошибку: матрицу А нельзя возвести в степень, т. к. она не является квадратной.
Ответ: задача не имеет решения.
Задача 2. Вычислить определитель матрицы:
.
Решение. Применяя пакет MathCAD, находим:
Ответ: 69.
Задача 3. Решить систему уравнений
Решение. Применяя пакет MathCAD, с помощью функции find находим:
Ответ:
Задача 4. Решить матричное уравнение 
, если
; 
; 
Решение. Имеем:
Обратные матрицы найдем с помощью сервиса «Обратная матрица» пакета MathCAD:
.
Окончательно, получаем, используя пакета MathCAD:
Ответ: 
Задача 5. Имеются три банка, каждый из которых начисляет вкладчику определенный годовой процент (свой для каждого банка). В начале года размер вклада составлял 12000 руб. Вклад разместили в трех банках. 1/3 вклада вложили в банк №1, 1/2 вклада – в банк №2 и оставшуюся часть – в банк №3, и к концу года сумма этих вкладов возросла до 15200 руб. Если бы первоначально 1/6 вклада положили в банк №1, 2/3 – в банк №2 и 1/6 – в банк №3, то к концу года сумма вклада составила бы 14800 руб.; если бы 1/2 вклада положили в банк №1, 1/6 – в банк №2 и 1/3 вклада - в банк №3, то сумма вкладов в конце года составила бы 15600 руб. Какой процент выплачивает каждый банк?
Решение. Пусть - коэффициент прироста вклада в -ом банке.
Из условия задачи получаем следующую систему:
Решая данную систему с помощью функции find пакета MathCAD, получаем:
Таким образом, первый банк выплачивает 40% годовых, а второй и третий банки – по 20%.
Ответ: 40%, 20%, 20%.
