Отзыв на работу Зимина Арсения, Short proofs of the Conway-Gordon-Sachs and Sachs theorems (http://arxiv. org/abs/1311.2882)
Работа представляется мне интересной. Использование подсчета числа пересечений проекций двух пространственных ломаных на плоскость для подсчета числа зацеплений исходных ломаных позволяет укоротить доказательство общей теоремы Конвея-Гордона-Закса и сделать его более наглядным. Такое новое доказательство известной теоремы имеет преимущество как в научном плане (показывает работоспособность новых методов), так и в педагогическом (делает доказательство достопным более широкому кругу математиков и любителей математики).
К недостаткам работы следует отнести неудачную форму изложения, тщательно скрывающую вышеперечисленные достоинства. Приведено доказательство в стиле Бурбаки, более оправданное для доказательства новых фактов. Явно не хватает сравнения нового доказательства со старым. Даже не упомянут тот факт, что линейная теорема Конвея-Гордона-Закса параллельно живет как задача в олимпиадном мире (в частности, была стержневой задачей темы «Вписанные зацепления» на Летней конференции Турнира городов 2003 года). Соответственно, в олимпиадном фольклоре ходят неопубликованные, но в равной степени короткие решения этой задачи.
При доказательстве линейной теоремы бросается в глаза формализованность изложения и неоправданное стремление к обобщенным формулировкам, которое удлинняет доказательство и затрудняет его понимание и понимание нового метода. Так Se определяется как сумма, тогда как это просто количество ребер ниже ребра e. Вообще, количество обозначений стоило бы сократить вдвое. В формулировке леммы 1 требуется, чтобы нечётное число сторон второго треугольника было ниже стороны A1A2. Это вызывает недоумение читателя, поскольку очевидно, что все три стороны не могут быть ниже. Речь идет фактически о единственном ребре ниже A1A2. Доказательство Леммы 2 (для 5 точек) ведётся общим методом преобразования картинки и отслеживания четности числа пересечений как инварианта. Между тем, простейший перебор по числу точек в выпуклой оболочке был бы более коротким и наглядным. Наконец, проектирование на сферу сводит задачу к менее наглядной сферической геометрии. Однако во второй части статьи успешно работает и более наглядное проектирование на плоскость. В первой части центральное пароектирование на плоскость тоже работает для любой из крайних точек, что вполне достаточно для доказательства.
При доказательстве общей теоремы технические приемы и теоретико-множественные обозначения выглядят более оправданными, хотя и здесь не помешало бы разъяснение смысла выписываемых равентств до, а не после выписывания цепочек равных сумм.
В целом же вышеуказанные претензии не умаляют достоинств работы Арсения Зимина. Работа может быть отнесена к научно-исследовательским и рекомендована к награде на ММКШ.
