УСТОЙЧИВОСТЬ CВЕРХЗВУКОВОГО ТЕЧЕНИЯ КУЭТТА
ТЕРМИЧЕСКИ НЕРАВНОВЕСНОГО МОЛЕКУЛЯРНОГО ГАЗА
1, 2
1 Институт вычислительных технологий СО РАН, Новосибирск,
2 Новосибирский государственный архитектурно-строительный университет (Сибстрин), Новосибирск
В докладе рассматривается устойчивость плоского течения Куэтта колебательно возбужденного газа в сверхзвуковом режиме. Исходной математической моделью служила система уравнений двухтемпературной аэрогазодинамики. В соответствии с физическими представлениями эта система описывает течения колебательно-возбужденного молекулярного газа, когда диссоциацией и возбуждением верхних колебательных уровней молекул, а также поправками на ангармонизм колебаний можно пренебречь.
Расчеты проводились в рамках классической линейной теории устойчивости, а также на основе альтернативной нелинейной энергетической теории.
Характеристики линейной устойчивости плоскопараллельных течений колебательно-возбужденного газа в общем случае рассматривались в работе авторов [1], где было показано значительное стабилизирующее воздействие релаксационного процесса. Линейная устойчивость течения Куэтта в условиях сильного отклонения от термодинамического равновесия до последнего времени не исследовалась. Следует отметить, что в немногочисленных работах, посвященных этому течению для совершенного газа, влияние объемной вязкости, отражающей слабую неравновесность внутренних степеней свободы молекул газа, исключалось с помощью соотношения Стокса. Поэтому обращение к линейной теории с целью исследования влияния термической неравновесности на характеристики устойчивости классического течения представляет самостоятельный интерес. Использованная модель двухтемпературной аэрогазодинамики при отсутствии возбуждения колебательных мод переходит в модель совершенного газа, что позволяло провести сравнение с имеющимися в литературе результатами.
Для невязкого предела течения Куэтта колебательно возбужденного газа с параболическим профилем статической температуры для растущих возмущений найдено в явном виде необходимое обобщенное условие точки перегиба (2-я теорема) Рэлея и уточнено достаточное условие в теореме (Howard's) о полукруге, полученные ранее в [1]. Двумя независимыми способами – методом ``стрельбы'' и методом коллокаций - выполнены расчеты инкрементов нарастания двумерных четных и нечетных невязких мод. Отмечено, что в отличие от свободного сдвигового слоя, в задаче Куэтта с возрастанием числа Маха инкремент нарастания наиболее неустойчивой четной (второй) моды возрастает, стремясь к некоторому пределу при 
для которого получена асимптотика в форме обыкновенного дифференциального уравнения.
Для вязких возмущений рассчитаны спектры собственных значений, инкременты нарастания и кривые нейтральной устойчивости в плоскости ( 
для первой и второй растущих мод в диапазоне чисел M=2÷5 и Re=
. Найден диапазон изменения критических чисел Рейнольдса 
Показано, что при всех уровнях возбуждения наиболее неустойчивой является вторая мода. Возбуждение практически не меняет форму области неустойчивости, но ее границы с ростом возбуждения смещаются в сторону больших волновых чисел.
В рамках нелинейной энергетической теории гидродинамической устойчивости проведено исследование сверхзвукового плоского течения Куэтта колебательно-возбужденного двухатомного газа в диапазоне чисел Маха M=2¸5. Соответствующая спектральная задача для критических значений числа Рейнольдса Recr, определяющих возможное начало ламинарно-турбулентного перехода, решалась численно с использованием библиотеки Matlab. Расчеты показали, что как и в случае дозвуковых чисел Маха, наиболее ``опасными'' являются возмущения продольной моды. Показано, что в исследованном диапазоне сверхзвуковых чисел Маха критические числа Рейнольдса лежат в пределах Recr =0,5 
÷1,5
. Таким образом, в сверхзвуковом течении Куэтта имеет место сближение критических чисел Рейнольдса, рассчитанных с использованием альтернативных теорий, хотя остается разница примерно в один порядок.
Можно констатировать, что расчеты по обеим теориям показывают, что возбуждение внутренних степеней свободы снижает инкременты нарастания возмущений и оказывает стабилизирующее воздействие на течение.
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект ).
ЛИТЕРАТУРА.
1. , . Линейная устойчивость невязкого сдвигового течения колебательно возбужденного двухатомного газа // ПММ, 2011, т. 45, вып. 4, с. 581-593.
STABLITY OF THE SUPERSONIC COUETTE FLOW
OF THERMAL NONEQUILIBRIUM MOLECULAR GAS
Yu. N. Grigoryev, I. V Ershov
Institute of computational technologies of SB RAS, Novosibirsk
In the paper a stability of the plane Couette flow of vibrationally excited gas in supersonic regime are considered. The system of equations of two-temperature gas dynamics was used as an original mathematical model. The system correspondingly with physical conceptions describes flows of vibrationally excited gas when one can neglect by dissociation, exciting upper vibrational levels of molecules and also by corrections on anharmonicity of vibrations. Calculations were carried out on the base of the classical linear stability theory and also with using alternative nonlinear energy stability theory.
Characteristics of linear stability in general case of plane-parallel flows of vibrationally excited gas were considered in authors’paper [1] where an essential stabilizing effect of relaxation process was shown. Linear stability of the Couette flow under strong derivation from thermal equilibrium was not investigated up to nowadays. It is worth noted that in the few papers devoted to the compressible Couette flow of perfect gas a bulk viscosity which describes a weak nonequilibrium of internal molecular modes was excluded using the known Stokes relation. Thereat a linear stability consideration of the classical flow has an independent interest. The used two-temperature gas dynamics model without exciting vibrational modes transits into perfect gas model which allowed us make a comparison with results known throw literature.
In inviscid limit of the Couette flow of vibrationally excited gas with parabolic static temperature profile the necessary generalized condition of an inflection point (2nd Raley’s theorem) was obtained in explicit form and sufficient condition in Howard’s semicircle theorem was refined which was earlier received in [1]. Calculations of growth rates of 2D inviscid even and odd modes were independently worked out by both “shooting” and collocation methods. It was remarked that in contrast to a free shear flow in the Couette flow with Mach number growing the growth rates of the most unstable even (2nd) mode converges to a some limit with 
An asymptotics was obtained for this limit in the form of ordinary differential equation.
The spectra of eigenvalues, growth rates and neutral stability curves in ( plane for Ist and IInd growing modes were calculated for viscosity disturbances. The critical Reynolds numbers 
were also obtained. It was shown that for all levels of excite the II-mode is the most unstable one. Exciting does not practically change a form of instability domain but with growth of excite its boundaries are displaced in direction of greater wave numbers.
In the frameworks of nonlinear energy theory of hydrodynamic stability the supersonic plane Couette flow of vibrationally excited gas was investigated for Mach numbers M=2÷5. Corresponding spectral problem for critical Reynolds numbers 
defined a possible threshold of laminar-turbulent transition was numerically solved with using Matlab library. The calculations shown that as for subsonic Mach numbers the longitudinal modes are the most “dangerous” ones. It was obtained for investigated range of Mach numbers that the critical Reynolds numbers are situated in limits Recr =0,5 ÷1,5
Thereby for the supersonic Couette flow a convergence of the critical Reynolds number values calculated with using two alternative theories takes place although a difference roughly in one decade degree is preserved.
One can conclude that calculations on the base both theories show that exciting internal molecular modes reduces growth rates of disturbances and stabilizes the flow.
The work was supported by grant of RFBR No .
REFERENCES
1. Grigoryev Yu. N., Ershov I. V. Linear stability inviscid shear flow of vibrationally excited diatomic gas // Appl. Math. Mech. 2011. Vol. 45.Iss. 4. P. . (in Russian)
