Вопрос первый

Вопрос первый:

Какой периметр имели первоначальные куски ткани у Леонардо и Рафаэля?

Решение: оба куска ткани являются одинаковыми по размеру и имеют прямоугольную форму, т. е. выглядели они так:

I х х

у			у

Первый кусок разрезали на прямоугольники со сторонами и у. Периметр этих прямоугольников равен 40 см:

( + У)∙2 = 40;

Х + 2У = 40.

Второй кусок разрезали на прямоугольники со сторонами х и Периметр таких прямоугольников равен 50см:

( + Х)∙2 = 50;

У + 2Х = 50.

Сложим выражения Х + 2У = 40 и У + 2Х = 50. Получим:

3Х + 3У = 90;

3(Х + У) = 90;

Х + У = 30;

2(Х + У) = 60.

То есть периметр первоначального куска ткани у Леонардо и Рафаэля был 60см каждый.

Ответ: 60 см.

Вопрос второй:

Сколько фигур может стоять на доске? Покажите, как фигуры расположены на доске.

Решение: Шахматная доска имеет 8 рядов по вертикали и 8 по горизонтали, всего 64 клетки.

Для игры в шахматы используется 16 белых и 16 черных фигур, всего – 32 штуки.

Для того, чтобы во всех вертикалях стояло одинаковое количество фигур необходимо 32 : 8 = 4 фигуры.

Расставить фигуры на доске можно следующим образом (закрашены клетки, в которых стоят фигуры):

							V
						V	V
					V	V	V
V	V	V	V	V
V	V	V	V	V	V
V	V	V	V	V	V	V
V	V	V	V	V	V	V	V

Ответ: Всего на доске стоит 32 фигуры.

В вертикалях установлено по 4 фигуры.

В горизонталях установлено фигур:

1 ряд – 0

2 ряд – 1

3 ряд – 2

4 ряд – 3

5 ряд – 5

6 ряд – 6

7 ряд – 7

8 ряд – 8

Итого – 32

Вопрос третий:

Сколько раз он попал в семерку, восьмерку и девятку, если в десятку попал четыре раза, а других попаданий и промахов не было?

Решение:

Попав в десятку 4 раза, Леонардо выбил 40 очков.

За оставшиеся 6 выстрелов он должен набрать 50 очков.

Если он попадет по 2 раза в семерку, восьмерку и девятку, то в сумме получится 48 очков, т. е. не хватает 2-х очков до 50.

Единственно, когда получится 50 очков, если в семерку попасть 1 раз, в восьмерку – 2 раза, а в девятку – 3 раза, т. е. 1∙7 + 2∙8 + 3∙9 = 50
Ответ: Леонардо попал в семерку - 1 раз, в восьмерку - 2 раза и в девятку - 3 раза.

Вопрос четвертый:

Кто сколько очков набрал, если за победу дают 1 балл, ничья – 0,5 балла, проигрыш – 0 баллов? Кто какое место в турнире занял?

Решение: Составим таблицу проведения игр и получим следующее:

1. Леонардо окончил все партии вничью и получил по 0,5 баллов за каждую игру.

	Леонардо	Рафаэль	Сплинтер	Донателло	Микеланджело	итог
Леонардо		0,5	0,5	0,5	0,5	2

2. Рафаэль проиграл Сплинтеру и получил 0 баллов, следовательно, Сплинтер получил 1 балл. С Леонардо Рафаэль сыграл вничью, получив 0,5 балла:

	Леонардо	Рафаэль	Сплинтер	Донателло	Микеланджело	итог
Леонардо		0,5	0,5	0,5	0,5	2
Рафаэль	0,5		0			0,5
Сплинтер	0,5	1				1,5

3. Донателло выиграл у Микеланджело и получил 1 балл, следовательно, Микеланджело получил 0 баллов. В игре с Леонардо он заработал 0,5 балла

	Леонардо	Рафаэль	Сплинтер	Донателло	Микеланджело	итог
Леонардо		0,5	0,5	0,5	0,5	2
Рафаэль	0,5		0			0,5
Сплинтер	0,5	1				1,5
Донателло	0,5				1	1,5
Микеланджело				0		0

4. Сплинтер сыграл вничью с шахматистом, занявшим последнее место, это Микеланджело, который не выиграл ни одной партии, следовательно, Сплинтер и Микеланджело получили по 0,5 баллов.

	Леонардо	Рафаэль	Сплинтер	Донателло	Микеланджело	итог
Леонардо		0,5	0,5	0,5	0,5	2
Рафаэль	0,5		0			0,5
Сплинтер	0,5	1			0,5	2
Донателло	0,5				1	1,5
Микеланджело			0,5	0		0,5

5. Донателло выиграл у шахматиста, занявшего четвертое место, по количеству баллов - это Рафаэль. Значит, Донателло получил 1 балл, а Рафаэль - 0 баллов.

	Леонардо	Рафаэль	Сплинтер	Донателло	Микеланджело	итог
Леонардо		0,5	0,5	0,5	0,5	2
Рафаэль	0,5		0	0		0,5
Сплинтер	0,5	1			0,5	2
Донателло	0,5	1			1	2,5
Микеланджело			0,5	0		0,5

6. Сплинтер сыграл вничью с шахматистом, занявшим первое место, по количеству очков это Донателло, следовательно, Сплинтер и Донателло получили по 0,5 баллов.

	Леонардо	Рафаэль	Сплинтер	Донателло	Микеланджело	итог
Леонардо		0,5	0,5	0,5	0,5	2
Рафаэль	0,5		0	0		0,5
Сплинтер	0,5	1		0,5	0,5	2,5
Донателло	0,5	1	0,5		1	3
Микеланджело			0,5	0		0,5

7. Так как Рафаэль вничью сыграл только одну партию, а Микеланджело не выиграл ни одной партии, значит, Рафаэль получил 1 балл, а Микеланджело - 0 баллов. С Леонардо Микеланджело сыграл вничью, получив 0,5 балла.

	Леонардо	Рафаэль	Сплинтер	Донателло	Микеланджело	итог
Леонардо		0,5	0,5	0,5	0,5	2
Рафаэль	0,5		0	0	1	1,5
Сплинтер	0,5	1		0,5	0,5	2,5
Донателло	0,5	1	0,5		1	3
Микеланджело	0,5	0	0,5	0		1

Ответ: черепашки набрали очков:

1 место - Донателло – 3 балла;

2 место - Сплинтер – 2,5балла;

3 место - Леонардо – 2 балла;

4 место - Рафаэль – 1,5 балла;

5 место - Микеланджело – 1балл.

Вопрос пятый:

Сколько всего открыток подписали Донателло, Рафаэль и Микеланджело?

Решение: Донателло подписал в 5 раз больше открыток, чем Рафаэль, и на 10 штук больше, чем Микеланджело. Из этого следует, что количество открыток, подписанных Донателло должно делиться на 5 и быть больше 10. Если Рафаэль подписал х открыток, тогда Донателло подписал 5х открыток, а Микеланджело 5х-10 открыток. Всего они подписали 11х-10 открыток, по условию это число должно делиться на 3.

Если х =1, то 11*1-10=1 на 3 не делится. При х = 2, х=3,х=4 это условие также не выполняется. При х =5, получим 11*5-10=45, 45:3=15 – выполняется. Значит, Рафаэль подписал 5 открыток, Донателло 25, а Микеланджело 15. Перед тем, как пойти разносить открытки, Донателло и Микеланджело отдали часть своих открыток Рафаэлю, после чего у всех троих открыток стало поровну, т. е. по 15 открыток. Но у Микеланджело и так было 15 открыток, значит, ему нечего было отдавать. Условие задачи опять нарушается.

Следующее значение х, при котором выражение 11*х – 10 будет делиться на 3, х = 8. Т. е. Рафаэль подписал 8 открыток, Донателло 40, Микеланджело 30. Всего они подписали 78 открыток. При этом получается, что Донателло подписал более половины всех открыток.

Если взять х = 11, то условие 11*х-10 будет делиться на 3, но количество открыток подписанных Донателло(55) будет меньше половины всех открыток(111). Значит единственное решение – это 78 открыток.

Ответ: всего 78 открыток подписали Донателло, Рафаэль и Микеланджело.

Вопрос шестой:

Во сколько раз Микеланджело плывет быстрее Донателло? Найдите все возможности.

Решение: Так как вся дистанция составляет 1км, а длина дорожки 50м, то каждый из черепашек проплывет заданное расстояние 20 раз.

За 20 проплытий они должны встретиться 15 раз, значит на каждые 4 проплытия – 3 встречи. То есть на участке в 200 метров они должны встретиться 3 раза.

Схема движения пловцов выглядит следующим образом:

L = 50м

- схема движения Микеланджело;

- схема движения Донателло.

Из схемы видно, что до места третьей встречи Микеланджело проплывет 200м, а Донателло – 100м. Значит, скорость Микеланджело в 2 раза больше скорости Донателло.

Ответ: скорость Микеланджело в 2 раза превышает скорость Донателло.