Основні методи інтегрування

●2. Основні методи інтегрування.

2.1. Інтегрування безпосереднє.

Те, що інтеграл є табличним, нерідко можна побачити тільки після деяких перетворень підінтегрального виразу.

Приклади:

1.

2.2 Інтегрування підстановкою.

Нехай інтеграл не відноситься до табличного інтегралу, але можливо представити

.

Тоді

Якщо інтеграл є у таблиці інтегралів, то визначив його, після виключення допоміжної змінної одержимо величину .

Підстановки підбирають так, щоб одержані після перетворення нові інтеграли були табличними, або зводились до них. Загальних методів підбору підстановок не існує.

Приклади:

1)

2)

2.3. Інтегрування частинами.

Нехай , - функції, що мають на деякому проміжку неперервні похідні. Тоді

;

Проінтегруємо обидві частини:

,

або

.

Це формула інтегрування частинами. Іноді її доводиться застосовувати кілька разів.

Цю формулу застосовують при інтегруванні добутків типу , , , де є, а також обернених тригонометричних функцій, логарифмічних та інших. За «», як правило, обирають множник, який при диференціюванні спрощується. Інша частина підінтегрального виразу образує множник «». Його слід вибирати так, щоб інтегруванням можна було знайти . При цьому, тут беремо будь-яку первісну, тому взяти .

Вкажемо деякі типи інтегралів, які зручно обчислювати методом інтегрування частинами.

1) інтеграли вигляду

, де - многочлен, - дійсне число.

2) інтеграл вигляду

;

3) , де і - дійсні числа

Все рівно що.

Тут після двократного застосування формули інтегрування частинами утворюється лінійне рівняння відносно шуканого інтеграла. Роз’язуючи це рішення, знаходять інтеграл.

Приклади:

1)

2)

3)

;

Тобто

,

або

2

2.4. Інтегрування деяких виразів, які містять квадратний тричлен у знаменнику.

Це інтеграли вигляду

;

;

;

.

Вони приводяться до табличних шляхом виділення повного квадрата в квадратному тричлені:

.

Для інтегралів та цієї операції достатньо, для інтегралів та спочатку слід одержати у чисельнику диференціал тричлену

Дійсно:

.

Перший інтеграл знаходимо за формулою , а другий зведемо до інтегралу або .

Приклад.

2.5. Інтегрування деяких тригонометричних функцій.

1*. Інтеграли вигляду .

а) Якщо хоча б один з показників або - попарне додатне число, то інтегрування ведемо так:

нехай , є. Від непарного степеня синуса відокремлюємо його першу степінь - вона потрібна для утворення диференціала косинуса; ту додатню степінь, котра залишилась, перетворюємо у косинус того ж самого аргументу за формулою:

Далі робимо підстановку:

Далі за формулами скороченого множення розкриваємо дужки і отримуємо додатки степеневого вигляду.

Приклад.

б) Якщо обидва показники і - парні додатні числа, то інтеграл можна знайти, якщо поширити степінь підінтегральних виразів за допомогою формул:

;

;

Приклад.

2*. Інтеграли вигляду ,

Якщо - парне додатне число, то при будь-якому значенні , то використовуємо тригонометричні тотожності:

;

,

а далі за допомогою підстановки або одержимо інтеграли від степеневих функцій.

Приклад.

3*. Інтеграли вигляду

,

,

Ці інтеграли можна привести до табличних за допомогою формул:

Приклад.