Устранение парадокса линейной устойчивости течения Хагена-Пуазейля и вязкий диссипативный механизм возникновения турбулентности в пограничном слое
*), **)
*)Институт физики атмосферы им. РАН, Москва, Россия;
**)Восточно-Средиземноморский университет, Фамагуста, Северный Кипр
В линейной теории гидродинамической устойчивости до настоящего времени существуют примеры течений, для которых имеется либо значительное количественное расхождение (плоское течение Пуазейля ), либо качественное отличие (плоское течение Куэтта и цилиндрическое течение Хагена – Пуазейля (ХП)) выводов теории от данных экспериментов о пороговой величине числа Рейнольдса 
, определяющей возможность неустойчивости этих течений относительно предельно малых по амплитуде возмущений при 
. Так для течения ХП линейная теория приводит к величине 
, что противоречит наблюдаемой в эксперименте потере устойчивости этого течения при конечной величине , зависящей от степени гладкости обтекаемой поверхности трубы. Это несоответствие пока принято обходить, предполагая, что неустойчивость течения ХП имеет жесткий характер и осуществляется только для возмущений имеющих конечную достаточно большую амплитуду. Такое предположение, однако, не представляется удовлетворительным, так как, например, даже учет наличия на оси трубы стержня, на котором скорость течения должна обращаться в нуль, приводит к появлению у такого модифицированного течения ХП области линейной неустойчивости, подобной имеющейся у плоского течения Пуазейля (, 1986).
В настоящей работе показано, что для получения вывода о линейной неустойчивости течения ХП при конечных числах Re необходимо отказаться от использования традиционной “нормальной” формы представления возмущений, которая предполагает возможность разделения переменных, описывающих изменчивость возмущений в зависимости от радиальной и продольной (вдоль оси трубы) координат. При отсутствии такого разделения переменных в развиваемой линейной теории предложено использовать такую модификацию метода Бубнова – Галеркина, которая дает возможность учета различия периодов продольной изменчивости для разных радиальных мод, определяемых предварительно в результате стандартного применения метода Галеркина – Канторовича к уравнению для эволюции предельно малых аксиально симметричных возмущений тангенциальной компоненты поля скорости. Установлено, что при рассмотрении даже двух линейно взаимодействующих радиальных мод для течения ХП линейная неустойчивость возможна лишь при наличии указанной условно периодической продольной изменчивости возмущений вдоль оси трубы, когда 
очень чувствительно зависит от отношения 
двух продольных периодов, каждый их которых описывает продольную изменчивость только для своей радиальной моды. При этом 
лишь для случаев, когда величина принимает любое из следующих значений: 
, где 
Полученное для реализации линейной неустойчивости течения ХП минимальное число 
(когда 
) количественно соответствует условию возбуждения волн Толмина - Шлихтинга (ТШ) в пограничном слое, где также 
. Рассматривается сходство и механизмов линейной вязкой диссипативной неустойчивости для течения ХП и волн ТШ. Показано, что для получения вывода о линейной неустойчивости течения ХП является важным использование лишь такой процедуры усреднения системы взвешенных невязок (в модификации метода Бубнова - Галеркина) по продольной переменной, при которой не может быть нивелировано различие периодов продольной изменчивости, характерных для каждой из двух рассматриваемых радиальных мод возмущений поля скорости. Получено хорошее количественное соответствие величин фазовых скоростей рассматриваемых вихревых возмущений с данными экспериментов о скоростях переднего и заднего фронтов турбулентных “пробок “, распространяющихся вдоль оси трубы.
Hagen-Poiseuille flow linear stability paradox resolving and viscous dissipative mechanism of the turbulence emergence in the boundary layer
S. G. Chefranov *), A. G. Chefranov **)
*)A. M. Obukhov Institute of Atmospheric Physics RAS, Moscow, Russia
**)Eastern Mediterranean University, Famagusta, North Cyprus
In the linear theory of hydrodynamic stability up to now there exist examples of flows for which there is significant qualitative discrepancy, in several times for flat Poiseuille flow, or full quantitative distinction, as for flat Couette flow and cylindrical Hagen-Poiseuille (HP) flow in a pipe with round section, between theory conclusions and experimental data on the threshold Reynolds number value defining possibility of instability of the flows with respect to extremely small disturbances for . So, for HP flow, the linear theory gives the value 
that contradicts to the observed in the experiments stability loss of the flow for the finite value of depending on the level of smoothness of the streamlined pipe surface. This inconsistency is usually coped with assuming that HP flow instability has strict character and is realized only for disturbances having sufficiently large amplitude. Such an assumption however is considered as not satisfactory since for example even accounting presence of a rod on the pipe axis on which velocity must be zeroed, leads to appearance of the region of linear instability for such a modified HP flow which is similar to that of the flat Poiseuille flow (A. S. Monin, 1986).
In the present work, we show that to get a conclusion of linear instability of the HP flow for finite Reynolds numbers Re, it is necessary to abandon the use of traditional “normal” form of disturbances which assumes an opportunity of separation of variables describing disturbances variability depending on radial and longitudinal (along the pipe axis) coordinates. In the result of the absence of such variables separation, in the suggested linear theory, it is proposed to use Bubnov-Galerkin’s approximation method modification that gives an opportunity to account longitudinal variability periods distinctions for different radial modes defined a priori in the result of standard Galerkin-Cantorovich’s method to the equation of evolution of extremely small axially symmetric velocity field tangential component disturbances. We found that when considering even two linearly interacting radial modes for the HP flow, linear instability is possible only when there exists mentioned above conditionally periodic longitudinal along the pipe axis disturbance variability when 
very sensitively depends on the ratio p of two longitudinal periods each of which describes longitudinal variability for its own radial mode only. Meanwhile, only for cases when value p takes any of the following values: , where 
. Obtained for the HP flow linear instability realization minimal value 
(when 
) quantitatively agrees with the Tolmin-Shlihting (TS) waves in the boundary layer mergence, where also 
. We consider also similarity of the HP and TS waves flow linear viscous dissipative instability mechanisms. E show that to get the conclusion on the HP flow linear instability, it is important to use only such a procedure of the system of weighed discrepancies averaging (in the Bubnov-Galerkin’s method) over the longitudinal variable under which it is not possible to exclude longitudinal variability periods distinctions characteristic for each of the both considered velocity field radial mode disturbances. We get good quantitative agreeing of the phase velocity values of the considered vortex disturbances with experimental data on the fore and rear fronts of the “turbulent” corks spreading along the pipe axis.
