Задача № 5.129

Задача № 5.129.

Частица находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Ширина ямы . Найти нормированные волновые функции стационарных состояний частицы, взяв начало отсчёта координаты в середине ямы.

Решение:

Потенциальная яма имеет вид (рисунок 1):

Рисунок 1

Потенциальная энергия частицы имеет вид:

Составим уравнение Шредингера для области :

(1)

или в виде:

(2)

где . Решение этого дифференциального уравнения имеет вид:

(3)

Пси-функция, которая является решением уравнения Шредингера (2) должна удовлетворять стандартным условиям, накладываемым на волновые функции: непрерывность, гладкость, конечность, однозначность. Используя условие непрерывности пси-функции (3) в точках и , получим:

(4)

Учитывая, что:

Таким образом, получим систему уравнений:

(5)

Сложив первое и второе уравнение системы (5) и разделив обе части на 2, мы получим уравнение:

(6)

Вычтя из второго первое уравнение и разделив обе части на 2, получим уравнение:

(7)

Таким образом, мы пришли к системе двух тригонометрических уравнений:

(8)

Если , то выполняется первое уравнение системы (8). В этом случае . Но при этих значениях во втором уравнение , поэтому для выполнения второго уравнения системы необходимо, чтобы выполнялось . Это выполняется при . Другое решение получим из предположения, что и . Оно имеет вид:

Объединив пары значений и , которые являются решениями системы (8), получим:

. Решение при отброшено всвязи с тем, что в этом случае , что соответствует случаю, когда частицы нет. Таким образом, получим, что пси-функции собственных состояний частицы в потенциальной яме заданного вида, имеют вид:

(9)

Или мы можем записать в другом виде:

(10)

Определим постоянную в выражении для пси-функций стационарных состояний, используя условие нормировки:

(11)

Таким образом, получим:

(12)

Графически пси-функции собственных состояний представлены на рисунке 2:

Рисунок 2

Из рисунка видно, что пси-функций собственных состояний частицы на краях потенциальной ямы не отвечают требованию гладкости. Это связано с тем, что мы решали задачу в предположении, что стенки потенциальной ямы бесконечно высокие, что является идеализацией.

Ответ: Пси-функции собственных состояний частицы в потенциальной яме заданного вида, равняются: