Физика

ФИЗИКА

Лекции для студентов-заочников МГУКИ

Лекция 2. Перемещения материальной точки

Мы взялись за то, чтобы при помощи физики предсказывать будущие события, т. е. изменение нынешнего состояния. А изменение – и есть ДВИЖЕНИЕ материи, осуществляемое на разных уровнях в разных видах вещества, и приводит оно к смене формы материи. Поэтому центральным объектом изучения в физике является именно движение. Основные свойства движения можно выявить на рассмотрении движения простейшего объекта, обладающего простейшим веществом с простейшей формой. «Простейшее вещество» – это то, которое мы будем предполагать цельным, однородным, не имеющим частей, не проявляющим ни какой собственной активности. «Простейшая форма» – это тогда, когда мы никакой формы не наблюдаем – ни ширины, ни длины, ни чего бы то ни было ещё. Иными словами простейший объект это МАТЕРИАЛЬНАЯ ТОЧКА, про которую известно только, что она есть и обладает веществом (массой).

Система отсчёта

Но вот ГДЕ материальная точка ЕСТЬ? Если мы будем наблюдать в пустом пространстве одну материальную точку, то что мы о ней сможем сказать? Ничего! Как известно, всё познаётся в СРАВНЕНИИ, а в пустом пространстве нам сравнивать материальную точку несчем (Рис. 1.1).

.

Рис. 2.1. Одинокая материальная точка в пустом пространстве.

Для сравнения нужна, по крайней мере, ещё одна материальная точка. Но и она даёт не много. Вот на картинках рисунка 1.2, где кроме исследуемой материальной точки А имеется опорная точка Б, изображена одна и та же ситуация, или ситуации разные?. Вы скажете, что ситуации разные? А в чем состоит разница объективно? Быть может, вы рассматриваете ситуацию левой картинки в лупу или придвинулись к ней ближе, в результате чего видите среднюю картинку. А на правой картинке вы видите ту же ситуацию, но повернулись сами на 30º по часовой стрелке?

Рис. 2.2. Две материальные точки в пустом пространстве.

А если у нас появилась ещё одна опорная точка В, то наши возможности стали шире. Мы теперь можем сказать, что на средней картинке расстояние от точки А до точки Б стало примерно в три раза больше, а на провой картинке расстояние до точки В стало почти в два раза больше чем до точки Б. (См. Рис. 1.3). Иными словами, мы теперь получили возможность сравнивать расстояния, беря за единицу сравнения расстояние между опорными точками. Эти расстояния до двух опорных точек теперь могут нам показывать положение исследуемой материальной точки А в пределах плоскости, проходящей через эти три точки. (Вспомним одну из аксиом геометрии Евклида: через три точки А, Б, и В можно проложить одну и только одну плоскость).

Рис. 2.3. Перемещения материальной точки А относительно опорных точек Б и В.

Но положение в пустом пространстве самой этой плоскости АБВ мы не можем никак определить. Она может быть повёрнута в любую сторону вокруг оси опорных точек БВ. Иначе: если нам известны расстояния от точки А до двух опорных точек Б и В, то мы сможем указать что точка А находится где-то на окружности в поперечной к оси БВ плоскости с центром, лежащем на оси (См. Рис. 2.4).

 

Рис. 2.4. Положения материальной точки А по расстояниям до опорных точек Б и В.

Чтобы задать точное положение точки А в пространстве мы должны иметь по крайней мере ещё третью опорную точку Г, лежащую вне плоскости АБВ. Тогда три расстояния до трёх опорных точек нам позволят указать ровно одно место в пространстве, в которой материальная точка А должна находиться. Необходимость измерения трёх расстояний до трёх опорных точек, чтобы определить место в пространстве, характеризуют тем, что называют наше пространство трёхмерным, говорят, что наше пространство «имеет три измерения». Эти имеющиеся в нашем распоряжении три материальных тела Б, В и Г, которые позволяют задать положение в пространстве изучаемого тела А, называют системой отсчёта, а способ определения положения через измерение расстояний до системы отсчёта называют системой координат. Мне недостаёт художественных способностей, чтобы изобразить на плоскости рисунка пространственную картину системы координат, основанную на измерении расстояний до трёх произвольных точек. Это сведетельствует о том, что такая система координат не вполне удобна. В современной практике широкое распространение получила так называемая декартова система координат[1].

В декартовой системе координат за опорные материальные тела считают три воображаемые масштабные линейки, соединённые под прямыми углами друг к другу своими начальными точками и продолженные по прямой до бесконечности. Эти линейки называются координатными осями. Оси являются воображаемыми абстракциями, но их положение и масштабные отметки предварительно определяют на основании реальных материальных объектов, окружающих исследователя. Затем, координатные оси будучи установлены, положение тел в окружающем пространстве задаётся путём указания расстояний проекций исследуемой точки на каждую из трёх осей от их общего начала. При изображении на плоском рисунке одну масштабную линейку обычно располагают горизонтально слева направо и называют осью Х.([2]). Другую ось направляют вверх и называют осью Y (игрек). Третью ось, ось Z (зэт), которая должна была бы быть направлена перпендикулярно к плоскости рисунка навстречу взгляду наблюдателя, изображают как её проекцию при взгляде слегка справа-сверху в виде наклонной линии, идущей вниз-влево. Точку пересечения осей в их общем начале обозначают обычно цифрой 0 или буквой О.

Рис. 2.5. Декартова система координат точки А.

Цифры xa, ya, za , указанные на масштабных линейках осей X, Y и Z, определяют положение точки А в пространстве и называются координатами точки А в декартовой системе координат. При этом принимают, что xa численно равно расстоянию точки А от плоскости осей Y и Z, уa – расстояние точки А от плоскости осей Х и Z, za – от плоскости осей Y и X.

Используются и другие системы координат, но принципиальным является не детали их устройства, а общая для всех систем опора на реально имеющаяся у наблюдателя возможность определять точку пространства по расстояниям до твёрдо заданныx материальныx объектов, выступающиx как система отсчёта, тела отсчёта. Без задания системы отсчёта бессмысленно говорить не только о движении, но даже о положении тел в пространстве.

Перемещение

Имея систему отсчёта, мы можем наблюдать движение как изменение координат тела, т. е. его расстояний до опорных тел системы координат. По этим данным мы можем сравнивать разные движения. Так, наблюдая три последовательных положения точки А на рисунке 2.6 [3]) , перемещение тела А вдоль осей X и Y – в горизонтальном и вертикальном направлениях можно сравнить численно (На средней картинке тело А сдвинулось вправо на расстояние s1 = ха2 – ха1, а на правой картинке оно сдвинулось обратно на то же расстояние – s1 и к тому же ещё вверх на расстояние s2 = уа3 – уа1 )

Рис. 2.6. Перемещения точки А.

Более наглядно перемещения тела изображаются стрелками, соединяющими начальное и конечное положение тела (См. рисунок 2.7). Направление перемещения указывает направление стрелки, а её длина указывает величину перемещения. Математика рассматривает такие стрелки как особые математические сущности (величины) и называет их векторами.

Рис. 2.7. Векторы перемещений точки А.

Обозначаются векторы обычно латинскими буквами, которые выделены особым шрифтом или снабжены стрелкой сверху. В тексте этих лекций мы будем их подчёркивать снизу (пользуясь на возможности нашего текстового редактора).

Положения точки в пространстве также можно выразить векторами, которые выражают якобы перемещение тела в данную точку из начала координат (См. рисунок 2.8).

Рис. 2.8. Векторы положений точки А.

Таким образом, вектор – это математическая величина, которая изображается на рисунках стрелкой и определяется на плоскости двумя, а в пространстве – тремя числами. В декартовой системе координат эти числа – проекции конца стрелки на координатные оси. В других системах координат числа могут быть другими. Например, широко известен способ определять положение в пространстве другими тремя числами: расстоянием (длина вектора), углом относительно направления на север (азимут) и углом относительно горизонтальной плоскости. Мы будем пользоваться в дальнейшем обоими способами.

В декартовой системе координат векторы записываются как строка координат – чисел, указанных на масштабных линейках, расположенных вдоль осей X, Y, Z. Например – вектор первого положения точки А: а1 = [xa1 , ya1 , za1].

С векторами удобно производить арифметические действия через операции со строками координат. Например, перемещение тела А из второго положения в третье выражается вектором s3, который можно представить как перемещение в точку А3 из начала координат (т. е. вектор а3) за вычетом перемещения оттуда же в точку А2 (т. е. за вычетом вектора а2). Математически это выражается формулой разности векторов:

s3 = а3 – а2 = [xa3 , ya3 , za3] – [xa2 , ya2 , za2] = [xa3 – xa2 , ya3 – ya2 , za3 – za2]

(Разность двух векторов равна вектору разности их соответствующих координат. Сумма векторов определяется также – суммой их координат).

Координаты вектора s3 показывают, что тело переместилось вверх на расстояние
xa3 – xa2 , по горизонтали – на расстояние, ya3 – ya2 в обратную сторону (что выражается отрицательным значением этого числа, поскольку ya2 больше чем ya3 ) и в направлении, перпендикулярном к плоскости рисунка, перемещение в данном случае было нулевое, т. е. za3 = za2 и za3 – za2 = 0.

([1]) Названа по имени Рене Декарта (1596 – 1650) – величайшего французского учёного (философа, математика, физика, физиолога), который в своих геометрических исследованиях широко пользовался методом координат и тем самым заложил основы особой ветви математики, называемой аналитической геометрией.

([2]) Х – латинская буква «икс». Впредь мы будем латинские буквы писать наклонным шрифтом (курсивом), а русские – прямым. Согласно традиции латинские буквы будем использовать для обозначения математических величин. Называть их будем латинскими или традиционными для русской науки французскими (не английскими!) наименованиями: а, бэ, цэ, дэ, е (э), эф, гэ (же), ха (аш), и, йот (жи), ка, эль, эм, эн, о, пэ, ку, эр, эс, тэ, у, вэ, дубльвэ, икс, игрэк, зэт.

[3]) Мы здесь в иллюстрациях и формулах ограничимся движениями в пределах одной плоскости, т. е. будем учитывать только координаты по двум осям X и Y. Положение тел вдоль оси Z будем считать неизменным. Обобщение на движение по всем трём координатам не представляет труда с точки зрения логики, но затруднительно для изображения на рисунках.