Программа дисциплины «Теория функций комплексного переменного»

Правительство Российской Федерации

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"

Факультет электронной техники и телекоммуникаций

Программа дисциплины «ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО»

для направления 220400.62 «Управление в технических системах»

подготовки бакалавра

Автор программы:

, доктор физ.-мат. наук, профессор, [e-mail]

Одобрена на заседании кафедры

Высшей математики МИЭМ НИУ ВШЭ «____»______2013г.

Зав. кафедрой

Рекомендована секцией УМС «____»______2013г.

Председатель

Утверждена УС

факультета электронной техники и телекоммуникаций «____»______2013г.

Ученый секретарь

Москва, 2013

Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.

1. Область применения и нормативные ссылки

Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.

Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления 220400.62 «Управление в технических системах», изучающих дисциплину «Теория функций комплексного переменного».

Программа разработана в соответствии с:

· ФГОС ВПО;

· Образовательной программой направления 220400.62 «Управление в технических системах» подготовки бакалавра;

· Рабочим учебным планом университета по направлению 220400.62 «Управление в технических системах» подготовки бакалавра, утвержденным в 2013 г.

2. Цели освоения дисциплины

Целями освоения дисциплины «Теория функций комплексного переменного» являются:

· освоение основных понятий и методов теории функций комплексного переменного, включая операционное исчисление;

· формирование у студентов естественнонаучного мировоззрения и развитие у них системного мышления;

· освоение современных математических методов решения прикладных задач, требующих применения теории функций комплексного переменного.

В результате изучения данной дисциплины у студента должно сформироваться целостное представление об основных понятиях и методах теории функций комплексного переменного, что позволит ему применять данные знания при решении профессиональных задач.

3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины

В результате освоения дисциплины студент должен:

· Знать:

ü основные положения и методы теории функций комплексного переменного;

ü возможности, доставляемые изучаемой дисциплиной для приложений.

· Уметь:

ü применять методы теории функций комплексного переменного для постановки и решения прикладных задач.

· Иметь навыки (приобрести опыт):

ü использования методов теории функций комплексного переменного при решении прикладных задач.

4. Место дисциплины в структуре образовательной программы

Настоящая дисциплина относится к математическому и естественно-научному циклу дисциплин (вариативная часть).

Изучение данной дисциплины базируется на дисциплине:

· Математический анализ,

Для освоения учебной дисциплины, студенты должны владеть следующими знаниями:

· знание курса «Математический анализ» в полном объеме.

Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении дисциплин профессионального цикла (например, при изучении дисциплин «Электротехника и электроника», «Теоретические основы электротехники»).

5. Тематический план учебной дисциплины

№	Название раздела	Всего часов	Аудиторные часы	Самостоя­тельная работа
Лекции	Семинары	Практические занятия
1	Теория функций комплексного переменного	116	22		24	70
2	Операционное исчисление	64	10		8	46
	ИТОГО	180	32		32	116

6. Формы контроля знаний студентов

Тип контроля	Форма контроля	1 год	Параметры
1 мод.	2 мод.
Текущий (неделя)	Контрольная работа 1	7		Письменная работа (2 аудиторных часа)
Контрольная работа 2		16	Письменная работа (2 аудиторных часа)
Промежуточный	Зачет	9		Зачет в устной форме (2 аудиторных часа)
Итоговый	Экзамен		17	Экзамен в устной форме (2 аудиторных часа)

6.1. Критерии оценки знаний, навыков

При проведении контрольной работы для получения оценок 4-5 баллов студент должен выполнить две трети предложенного задания. При полном выполнении задания ставятся оценки 8-10 баллов в зависимости от наличия или отсутствия небольших недочетов (например, ошибок технического характера или неполной аргументации). При получении оценок 0-5 баллов студент может один раз переписать контрольную работу. При переписывании оценки 8-10 баллов понижаются до 7 баллов.

На зачете или экзамене для получения оценок 4-5 баллов студент должен продемонстрировать знание основных определений и примеров и не допускать принципиальных ошибок в формулировках основных теорем. При полном ответе ставятся оценки 8-10 баллов в зависимости от наличия или отсутствия небольших недочетов. При этом учитывается работа студента в течение семестра.

Все виды оценок выставляется по 10-балльной шкале.

6.2. Порядок формирования оценок по дисциплине

Преподаватель оценивает работу каждого студента на практических занятиях, учитывая его активность и правильность предлагаемых решений (оценки выставляются в рабочую ведомость).

Оценивается также самостоятельная работа студентов: учитывается число решенных задач, правильность решений, полнота аргументации (оценки выставляются в рабочую ведомость). Накопленная оценка по 10-балльной шкале за самостоятельную работу определяется перед промежуточным или итоговым контролем – .

Накопленная оценка за -ый модуль (=1, 2) рассчитывается по формуле:

,

где

.

Оценка также учитывает успеваемость студента в 1-ом модуле:

.

Итоговая накопленная оценка рассчитывается по формуле:

.

Способ округления всех приведенных оценок – арифметический.

Студент имеет право один раз переписать каждую контрольную работу, если при ее написании получил 0-5 баллов (см. п. 6.1).

На зачете или экзамене студент может получить дополнительный вопрос, ответ на который оценивается в 1 балл.

Результирующая оценка за дисциплину формируется в соответствии с формулой:

Результирующая оценка округляется по арифметическому способу.

7. Содержание дисциплины

Раздел 1. Теория функций комплексного переменного

Лекции 1-2. Комплексные числа и их алгебраическая, тригонометрическая и показательные формы. Комплексная плоскость и кривые на ней. Функции комплексного переменного, их пределы и непрерывность.

Лекции 3-4. Дифференцируемые и регулярные функции. Условия Коши-Римана. Гармонические функции. Восстановление регулярной функции по ее действительной или мнимой части. Конформные отображения и теорема Римана. Определение и регулярность элементарных функций комплексного переменного. Конформные отображения, соответствующие этим функциям.

Лекции 5-6. Интеграл функции комплексного переменного по кривой. Интегральная теорема Коши и интегральная формула Коши. Бесконечная дифференцируемость регулярных функций. Теорема Мореры.

Лекция 7. Регулярность суммы степенного ряда. Способы вычисления радиуса сходимости степенного ряда. Разложение регулярной функции в ряд Тейлора. Теоремы единственности а) для степенного ряда и б) для регулярных функций. Нули регулярной функции.

Лекции 8-9. Изолированные особые точки однозначного характера. Теорема об устранении особенности. Теорема Лиувилля. Классификация изолированных особых точек. Ряд Лорана и разложение функции, регулярной в кольце, в ряд Лорана. Разложение Лорана в окрестности существенно особой точки или полюса.

Лекции 10-11. Вычеты и способы их вычисления. Вычет в бесконечно удаленной точке. Применение вычетов при вычислении несобственных интегралов.

Практические занятия 1-2 проводятся по материалу лекций 1-2. Занятия 3-6 проводятся по материалу лекций 3-5. Занятие 7 отведено контрольной работе 1 по материалу занятий 1-6. Занятие 8 отражает материал лекций 6-7. Занятие 9 отведено зачету за 1 модуль (материал лекций 1-7). Занятие 10 проводится по материалу лекций 8-9. Занятия 11-12 проводятся по материалу лекций 10-11.

Каждое практическое занятие занимает 2 аудиторных часа. Общий объем самостоятельной работы – 70 часов (из них 20 часов для подготовки к текущему контролю и практическим занятиям и 50 часов для выполнения текущих домашних заданий).

Литература: базовый учебник (см. п.10.1), гл. 1-3.

Раздел 2. Операционное исчисление

Лекции 12-15. Оригиналы и изображения. Основополагающие теоремы операционного исчисления. Таблица изображений. Приложения операционного исчисления к решению обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и расчету электрических схем.

Лекция 16. Обзорная лекция. Практические занятия 13-15 проводятся по материалу лекций 12-15. Занятие 16 отведено контрольной работе по материалу лекций 10-16 (теория вычетов и операционное исчисление).

Общий объем самостоятельной работы – 46 часов (из них 15 часов для подготовки к текущему контролю и практическим занятиям и 31 час для выполнения текущих домашних заданий).

Литература: базовый учебник, гл. 4.

8. Образовательные технологии

Все практические занятия проводятся в интерактивной форме и посвящаются решению соответствующих задач. При необходимости кратко обсуждаются необходимые теоретические положения.

9. Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента

9.1. Тематика заданий текущего контроля

Примерные задачи для контрольной работы № 1:

1. Вычислить , и .

2. Найти регулярную функцию , если .

3. Найти дробно-линейную функцию, переводящую точки -1, 0, 1 соответственно в точки 1, , -1, и указать соответствующий образ верхней полуплоскости.

4. Вычислить интеграл , где - верхняя полуокружность окружности , проходимая в положительном направлении.

На контрольной работе № 2 предлагаются 4 задачи, связанные, соответственно, с темами:

а) разложение заданной функции в заданном кольце в ряд Лорана (или определение типа особых точек заданной функции);

б) применение теории вычетов для вычисления заданных интегралов;

в) нахождение изображения заданного оригинала;

г) нахождение оригинала по заданному изображению (или решение линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами операционным методом).

9.2. Вопросы для оценки качества освоения дисциплины

Примерный перечень вопросов к экзамену:

1. Объяснить, как связаны алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы записи комплексного числа. Объясните, как выполняются арифметические операции с комплексными числами, заданными а) в алгебраической и б) показательной формах.

2. Дать определение расширенной комплексной плоскости и окрестности точки .

3. Дать определение кусочно-гладкой кривой , на комплексной плоскости. Написать параметрические уравнения а) окружности с центром в точке и радиусом и б) отрезка, соединяющего точки и ().

4. Применительно к функциям комплексного переменного дать определение функции а) непрерывной и б) дифференцируемой в данной точке. Сформулировать условие дифференцируемости. Доказать дифференцируемость функции в любой точке .

5. Доказать (частично) теорему об условиях Коши-Римана. Показать, что если функция дифференцируема в точке , то в этой точке.

6. Дать определение регулярной функции. Привести пример функции, являющейся дифференцируемой, но нерегулярной в некоторой точке.

7. Дать определение и привести пример гармонической функции. Показать, что действительная и мнимая части регулярной в области функции являются гармоническими функциями в этой области.

8. Объяснить, как восстанавливается регулярная функция по ее действительной (или мнимой) части.

9. Доказать теорему о геометрическом смысле модуля и аргумента производной функции комплексного переменного. Дать определение конформного отображения.

10. Описать свойства отображения, определяемого дробно-линейной функцией. Вывести круговое свойство. Привести примеры.

11. Дать определение функции . Вывести ее свойства.

12. Дать определения функций и и вывести их свойства.

13. Описать отображения, определяемые функциями и .

14. Дать определение интеграла функции комплексного переменного по кусочно-гладкой кривой Г. Сформулировать правило оценки интеграла. Описать способ его сведения к обыкновенному интегралу.

15. Доказать интегральную формулу Коши.

16. Сформулировать теорему о бесконечной дифференцируемости регулярной функции и привести ее частичное доказательство.

17. Сформулировать теорему Мореры и частично доказать теорему Вейерштрасса о рядах регулярных функций.

18. Доказать теорему о форме множества сходимости степенного ряда и рассказать о способах вычисления радиуса сходимости степенного ряда.

19. Доказать теорему о разложении регулярной функции в ряд Тейлора. Привести примеры таких разложений.

20. Доказать теорему о представлении регулярной функции в окрестности ее нуля.

21. Частично доказать теорему единственности для регулярных функций.

22. Дать определение изолированной особой точки однозначного характера и указать классификацию таких точек. Привести примеры особых точек.

23. Доказать теорему об устранении особенности и вывести из нее теорему Лиувилля.

24. Доказать теорему о форме множества сходимости ряда Лорана.

25. Доказать теорему о разложении функции, регулярной в кольце, в ряд Лорана. Привести примеры таких разложений.

26. Доказать теорему о поведении функции в окрестности полюса и сформулировать теорему о ее поведении в окрестности существенно особой точки.

27. Описать (с обоснованием) связь между нулями и полюсами функции.

28. Дать определение вычета. Вывести формулу для вычисления вычета в полюсе -го порядка.

29. Доказать основную теорему теории вычетов и привести пример ее применения.

30. Вывести формулу для вычисления интеграла вида , где - рациональная функция. Привести пример.

31. Вывести формулу для вычисления интеграла вида , где - рациональная функция. Привести пример.

32. Найти изображения оригиналов, равных 1, и при .

33. Доказать регулярность изображения в полуплоскости и соотношение .

34. Доказать свойство линейности изображений, а также теоремы подобия и сдвига. Использовать эти результаты для нахождения изображений оригиналов, равных , , , , при .

35. Доказать теоремы о дифференцировании оригинала и изображения.

36. Доказать теоремы об интегрировании оригинала и изображения. Найти изображения оригиналов, равных и при .

37. Рассказать о применении операционного исчисления при решении обыкновенного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. Привести пример.

38. Рассказать о применении операционного исчисления при расчете электрических схем. Привести пример.

10. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины

10.1. Базовый учебник

1. , , Макаренко комплексного переменного, операционное исчисление. Теория устойчивости. – М.: Наука, 1981.

10.2. Основная литература

1. , Тихонов функций комплексного переменного. – М.: Наука, 1979.

2. , , Араманович задач по теории функций комплексного переменного. – М.: Наука, 1970.

10.3. Дополнительная литература

1. Евграфов функции. – М.: Наука, 1969.

10.4. Справочники, словари, энциклопедии

1. Математическая энциклопедия. Тома 1-5. – М.: Советская энциклопедия, .