Тригонометрические задачи с параметром

VIII. Тригонометрические задачи с параметром

Пример 1. При всех значениях решить уравнение .

Разделим обе части уравнения на . Получим ; . Уравнение имеет решение, если , т. е. .

Ответ: при , ;
при .

Пример 2. При всех значениях решить уравнение .

Преобразуем уравнение в квадратное относительно . Получим: , причем . Вершина параболы . Если дискриминант , то квадратное уравнение имеет один корень . Если , то квадратное уравнение имеет один корень на промежутке при условии, что . В остальных случаях уравнение корней не имеет.

Ответ: при , ;

при , ;

при .

Пример 3. Найти все значения , при которых решить система имеет решение.

Преобразуем систему к виду Система имеет решения при Ответ: .

Пример 4. Найти все значения , при которых уравнение

имеет ровно 2 корня на отрезке .

Построим график уравнения в координатах .

Ответ: .

Пример 5. Найти все значения , при которых система

равносильна уравнению.

Решение уравнения: . Следовательно, система тоже должна иметь решением отрезок .

Неравенство из системы имеет решением отрезок .

Напомним, что график, получается сжатием графика вдоль оси в раз при и растяжением в раз при.

Для того, чтобы решением системы был отрезок , график функции должен иметь вид показанный на рисунке.

Т. е. первый ноль функции на нижней части оси должен быть равен 2 и .

;;.

При . Ответ:.

Пример 6. Найти все значения , при которых уравнение

имеет ровно 2 корня.

Заметим вначале, что ОДЗ: , и что уравнение при любом имеет корни ;. Следовательно, уравнение не должно иметь корни на интервале.

При уравнение верно при любом , поэтому не удовлетворяет условию задачи.

Рассмотрим . Изобразим возможный вариант графика функции :

Для выполнения условия задачи ближайший к началу координат ноль функции на отрицательной части оси должен удовлетворять условию:.

;;.

При получаем .

;;.

Аналогичные рассуждения для дают результат.

Ответ: .

Пример 7. Найти все значения , при которых уравнение

имеет ровно 4 корня.

Начнем с ОДЗ уравнения: ; . Так как числа, являются корнями при любом , то уравнение должно иметь ровно 2 корня на интервале .

;;.

Схема расположения этих корней на оси должна быть следующей:

Составим по этой схеме систему неравенств

Вычитая неравенства противоположного смысла, получим систему Следовательно, .

Решением системы при является интервал . Решая систему для значений , получаем ответ: .

Пример 8. Найти все значения , при которых неравенство

верно при всех .

Функцию преобразуем к виду и сделаем замену . Получим .

Задача сводится к следующей: найти все , при которых минимум функции на отрезке положителен.

Рассмотрим три случая:

1. Абсцисса вершины параболы лежит левее точки или в самой точке: . В этом случае ; ; , учитывая получаем: . Кратко рассмотрим другие случаи:

2. ; .

3. ; .

Ответ: .

Пример 9. Найти все значения , при которых уравнения

и

равносильны, т. е. имеют совпадающие множества решений.

Решим второе уравнение, сделав замену .

;;

;;;, .

не подходит по ОДЗ.

Подставив найденные значения в первое уравнение, получим , . Для доказательства равносильности надо решить первое уравнение при найденных значениях . Равносильность будет в том случае, когда решением уравнения будет только множество . Ответ: .

Пример 10. Найти все значения , при которых для каждого существует значение , удовлетворяющих уравнению

.

Начнем с очевидного утверждения: условие задачи будет выполнено, если область значений правой части уравнения принадлежит отрезку . При всех правая часть представляет собой функцию

.

Следовательно , что верно в двух случаях:

1. , при этом правая часть – функция с областью значений.

2. , при этом правая часть – функция с областью значений. Ответ: , .

Задачи для самостоятельного решения

Найти все значения , при которых

1. уравнение имеет решения. Ответ: .

2. уравнение имеет решения. Ответ: .

3. уравнение имеет решения. Ответ: .

4. уравнение имеет решение. Ответ: .

5. уравнение имеет единственное решение на интервале . Ответ: .

6. уравнение имеет решение. Ответ: .

Для каждого значения решить

7. уравнение .

Ответ: при

, ;

при .

8. систему

Ответ: при , , ;

при нет решений.