Задания

- решение всех задач и пояснения к ним должны быть достаточно подробными. Рекомендуется делать соответствующие ссылки на вопросы теории с указанием формул, теорем, выводов, которые используются при решении;

Задание 1. Проверить, совместна ли система, и решить ее методом Крамера

Решение.

Чтобы проверить совместна ли система, необходимо составить основную и расширенную матрицы системы, и сравнить ранги обеих систем.

Теперь составляем расширенную матрицу системы:

Так как ранги обеих систем равны, то система является совместной.

Определитель основной матрицы системы не равен нулю, следовательно можем пользоваться методом Крамера. Для этого нужно составить дополнительно 3 матрицы, в каждой из которых i-й столбец заменяется на столбец свободных членов. Необходимо найти определитель каждой такой матрицы:

Ответ. Система является совместной. Решение системы: (1; -1; 2).

Задание 2. Найти производные и дифференциалы указанных функций

а) y =

б) y = (x2 + 1)*arctg x;

в)

г)

Задание 3. Найти неопределенные интегралы

.

Решение.

Задание 4. Исследовать данную функцию на экстремум

y = .

Решение.

Для исследования функции на экстремум сначала необходимо найти стационарные точки. Для этого находим первую производную функции, приравниваем к нулю, решаем полученное уравнение. Далее найденные стационарные точки (точки возможного экстремума) проверяются на наличие максимума/минимума.

Находим первую производную:

Ответ. х=0 – максимум, х=6 – минимум.

Задание 5. Решить задачу

Коэффициенты использования рабочего времени у двух бригад соответственно равны 0,8 0,6. Считая, что остановки в работе каждой бригады возникают случайно и независимо друг от друга, определить относительное время: 1) совместной работы бригад; 2) работы только одной бригады; 3) простоя обеих бригад.

Решение.

Используем вероятностный подход. По условию сказано, что остановки в работе каждой бригады возникают случайно и НЕЗАВИСИМО друг от друга. Поэтому используем формулу для вероятности возникновения одновременно двух независимых событий:

1) относительное время совместной работы бригад найдем из произведения: 0.8*0.6=0.48

2) относительное время работы одной из бригад:

a. Допустим, первая бригада работает, вторая в этот момент простаивает, тогда нам нужно найти произведение вероятности работы первой бригады и вероятности простоя второй бригады, т. е.: 0.8*0.4=0.32 – относительное время работы первой бригады

b. Аналогично предыдущему, допустим что вторая бригада работает, а первая в этот момент простаивает, тогда находим произведение вероятности работы второй бригады на вероятность простоя первой бригады, т. е.: 0.6*0.2=0.12 – относительное время работы второй бригады.

3) относительное время простоя обеих бригад найдем как произведение вероятностей простоя. Вероятность простоя первой бригады: 1-0.8=0.2, второй бригады: 1-0.6=0.4, тогда: 0.2*0.4=0.08 – относительное время простоя обеих бригад.

Таким образом, если сложим полностью все получившиеся коэффициенты: 0.08+0.12+0.32+0.48=1, то есть, 1 – пространство времени.