О происхождении терминов и обозначений.

Раздел математики, в котором изучаются производные и их применения к исследованию функций называется дифференциальным исчислением. Приращения вида ∆f, представляющие собой разности , играют заметную роль при работе с производными. Естественно поэтому появление латинского корня differentia ( разность) в названии calculis differentialis нового исчисления, которое переводится как исчисление разностей.

Термин производная ввел Лагранж в 1797 году.

Производная определяется во всех руководствах именно как предел. Пишут

f’ (x0) = lim вместо принятого выше обозначения

Обозначение lim – сокращение латинского слова limes ( межа, граница); уменьшая, например, ∆х, мы устремляем значения к «границе» f’ (x0).

Термин предел ввел Ньютон. Примером бесконечно малой может служить функция (∆х)2 от ∆х, поскольку (∆х)2→0. Вообще, если lim (х) =0, говорят, что - бесконечно малая. Бесконечно малые играют важную роль в математическом анализе, который поэтому часто называют также анализом бесконечно малых.

Заметим наконец, что слово « экстремум»№ происходит от латинского extremum ( крайний). Maximum переводится как наибольший, а minimum- наименьший.

Из истории дифференциального исчисления.

1) Дифференциальное исчисление создано Ньютоном и Лейбницем сравнительно недавно, в конце XVII столетия.

Эпизодически понятие касательной встречалось в работах итальянского математика Н. Тартальи - здесь касательная появилась в ходе изучения вопроса об угле наклона орудия, при котором обеспечивается наибольшая дальность полета снаряда. И. Кеплер рассматривал касательную в ходе решения задачи о наибольшем объеме параллелепипеда, вписанного в шар данного радиуса.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

К рассмотрению касательной и нормали( так называется прямая, перпендикулярная касательной и проведенная в точке касания) Декарт пришел в ходе изучения оптических свойств линз. С помощью методов аналитической геометрии и изобретенного им метода неопределенных коэффициентов он сумел решить задачи о построении нормалей к ряду кривых, в том числе эллипсу.

В 1629 г. П. Ферма предложил правила нахождения экстремумов многочленов.

Систематическое учение о производных развито Лейбницем и Ньютоном, который сформулировал две основные проблемы анализа:

Длина проходимого пути постоянно (т. е. в любой момент времени ) дана; требуется найти скорость движения в предложенное время. Скорость движения постоянно дана; требуется найти длину пройденного в предложенное время пути.

Первая проблема задает программу развития дифференциального исчисления.

Вторая относится к интегральному исчислению

А. Лопиталь, который учился у Бернулли, издал уже 1696 году первый печатный курс исчисления «Анализ бесконечно малых для исследования кривых линий», способствовавший распространению новых методов.

С числовыми и функциональными рядами работал не только Ньютон, но и его предшественники, и поэтому несколько несправедливо название формула Тейлора ( Б. Тейлор ()- английский математик, опубликовавший ее в 1715 году.), принятое для следующего замечательного соотношения:

( здесь f(n)(x)- значение полученное n-кратным дифференцированием функции f в точке x0, а n!=1 2 … n .

Основная трудность состояла в том, что точные определения таких ключевых понятий, как предел, непрерывность, действительное число, отсутствовали( соответственно и рассуждения содержали логические пробелы, а иногда были даже ошибочны.

Решительный шаг к созданию прочного фундамента анализа был сделан в 20-е годы прошлого века французским математиком О. Коши (), предположившим точные определения пределов функции и последовательности и на их основе доказавшим многие фундаментальные теоремы анализа. Несколько раньше (1821г.) определения предела и непрерывности, целый ряд других замечательных результатов ( в том числе знаменитый пример функции, непрерывной на промежутке, но не имеющий производной ни в одной его точке) получил чешский математик Б. Больцано (), но его работы стали известны много позднее.

Определение предела функции по Коши формулируется так: «Число А называется пределом функции f(x) при x, стремящемся к a (т. е. lim f(x)=А), если для любого числа 0 , можно подобрать такое число, что f(x)-A для всех x, удовлетворяющих неравенству

Опираясь на это определение, уже нетрудно дать определение непрерывности в точке: функция f непрерывна в точке x0 если lim f(x)=f(x0).

Число А является пределом последовательности an, если для любого существует номер N , такой, что при всех n N верно неравенство.

Яркие характеристики глубины переворота а математике, происшедшего вXVII в., дали Карл Маркс и Фридрих Энгельс. Начальный период развития новых ветвей математики, связанных с понятиями функции, бесконечно малых величин, пределов и производных, был охарактеризован Марксом как « Мистический» .