Физика

ФИЗИКА

Лекции для студентов-заочников МГУКИ

Лекция 3. Динамика материальной точки

Скорость

Достаточно ли нам понятия о величине перемещений для того, чтобы полностью описать движение? Очевидно, что этого недостаточно. Одно и то же перемещение может происходить с различной быстротой, скоростью. Одно дело – перемещение из Петербурга в Москву на лошадях за неделю, а другое – на поезде за день или на самолёте за час. Из этого примера видно, что мы судим о быстроте перемещения, сравнивая его с каким-нибудь постоянно повторяющимся событием, например, с повторениями восходов и заходов Солнца. Число этих повторений мы называем ВРЕМЯ и обозначаем его обычно буквой t (по первой букве соответствующего слова в латинском, французском и английском языках). Чем больше повторений произошло при данном перемещении, тем меньше мы оцениваем быстроту. Во сколько раз больше прошло времени, во столько раз меньше стала скорость. Эта зависимость противоположна (обратно пропорциональна) зависимости скорости от пройденного расстояния. Скорость становится во столько же раз больше, во сколько больше пройдено пути. Эти зависимости математически выражаются «отношением» - дробью, делением пройденного расстояния на прошедшее время. Скорость обычно обозначают буквой v (от этого слова в тех же языках). Тогда мы можем написать формулу для получения численного значения скорости: v = s / t . Следует заметить, что эта величина зависит от того, какими единицами мы будем измерять расстояния и какие повторяющиеся события мы возьмём за меру времени. В физике время обычно измеряют в секундах. Эта мера соответствует наиболее близкому для ЧЕЛОВЕКА повторяющемуся процессу – биению его собственного сердца. А расстояния измеряют, укладывая в пройденный путь условный предмет (например, в известном мультфильме длина удава оказалась равной 38 попугаям). Общепризнанные предметы и процессы, используемые для повседневных измерений, хранятся в специальных организациях, так называемых «палатах мер и весов», и по ним в конечном счёте выверяются все часы, весы и рулетки, чтобы вы не заблуждались при приобретении каких-либо товаров. Современные способы физических измерений дают возможность очень точной оценки расстояний и промежутков времени на основе довольно скрытых от непосредственного наблюдения процессов, но конкретная суть этих процессов нам сейчас не важна.

Важно то, что такие меры расстояний и времени нам должны быть даны заранее, ПРЕЖДЕ чем мы приступим к наблюдению и описанию движений. Без этого, т. е без заданной системы отсчёта расстояний, дополненной «часами» - повторяющимся процессом для измерения времени – мы не сможем не только предсказать дальнейшие события, но даже описать, даже наблюсти(!) происходящее движение.

Иными словами, нами должна быть выбрана система отсчёта, включающая, по крайней мере, три материальных предмета, которые мы считаем постоянными и «неподвижными», чтобы измерять расстояния, а также повторяющийся процесс, который мы считаем «периодическим», т. е. происходящим равномерно, – для измерения времени.[1] Имея систему отсчёта, мы можем теперь наблюдать движение, измерять его быстроту и указывать направление движения. Численная оценка быстроты в совокупности с направлением движения составляют физическое понятие скорости. Таким образом скорость описывается векторной величиной v , которая показывает, что за единицу времени тело переместилось на расстояние vx вдоль оси Х, на расстояние vy вдоль оси Y и на vz вдоль оси Z : v = [vx , vy , vz]. При этом на «спидометре», связанном с телом, будет показана суммарная скорость по всем трём направлениям, так называемая абсолютная величина скорости v, равная длине диагонали параллелограмма (бруска) с рёбрами, равными координатам вектора скорости: v = | v | = √( vx2 + vy2 + vz2). (Эта формула вычисления длины вектора следует из теоремы Пифагора, известной по курсу геометрии средней школы – «квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов»). Когда мы наблюдаем перемещение тела на расстояние s не за одну единицу времени, а за период t единиц, то полагаем, что за одну единицу времени оно проходило пут в t раз меньше, т. е. скорость его v будет равна частному от деления пройденного пути на прошедшее число единиц времени: v = s/t.

Если бы мы взяли другую систему отсчёта, например, одна из координатных осей которой была бы направлена строго по движению, мы бы получили другие координаты того же самого вектора скорости. В новой системе координат с осями X`, Y` вектор скорости будет иметь другие координаты: v = [v’x , v’y , v’z] = [ v , 0 , 0 ], где v’x = v , v’y = v’z = 0. (См. рисунок 3.1). Здесь мы видим, что в разных системах отсчёта некоторые численные показатели движения могут быть различными (в нашем примере – составляющие вектора по координатным осям), а другие – одинаковыми (абсолютная величина скорости).

 

Рис. 3.1. Координаты вектора v в различных системах отсчёта

В простейшем случае движение материальной точки происходит с постоянной скоростью, неизменной как по абсолютной величине, так и по направлению. Такое движение называется равномерным прямолинейным. В более общем случае, когда точка движется с переменной скоростью или по кривой линии, движение называется ускоренным (хотя в действительности оно может быть и «замедленным»).

Ускорение

Рассмотрим рисунок 3.2.. На нём кривой линией показан путь движения тела и отмечены его положения через равные промежутки времени (пусть эти промежутки будут 1 секунда). Между точками 1, 2, 3, 4 тело проходило примерно равные расстояния (пусть это будет 1 метр). А вот между точками 4 и 5 тело прошло больше, примерно полтора метра. Следовательно тело ускорилось на полметра за секунду. В общем случае, когда за t единиц времени тело изменило скорость с величины vx до vy , ускорение а определяется делением разности скоростей на число прошедших единиц времени; т. е. примерно а = (vy - vx) / t. А поскольку скорость равна отношению пути к времени (v = s/t), то для ускорения получаем а = (sy - sx) / t2 = s/t2. При более точном рассмотрении ускорения (которое вы можете найти в школьном учебнике) получаем формулу для расчёта пути s при ускорении тела от нуля скорости до v: s = ½ v t2.

 

Рис. 3.2. Изменение скорости при криволинейном движении

А что происходит со скоростью на участке от точки 1 до точки 4? Она меняет направление. При этом «спидометр» этой точки сохраняет прежнее показание – один метр в секунду. Но ускорение можно обнаружить, если вспомнить, что скорость v это векторное понятие, т. е. что она описывается тремя величинами, в декартовой системе координат – составляющими скорости по трём координатным направлениям, по осям х (по горизонтали), у (по вертикали) и z (в направлении от плоскости рисунка), : v = [vx , vy , vz]. Вот при таком представлении мы видим, что переходя от точки 1 к точке 3 движение по горизонтали действительно ускорилось: горизонтальная составляющая скорости vx выросла от примерно ¾ метра в секунду до 1 метра в секунду. По вертикали движение наоборот замедлилось, составляющая vy снизилась до нуля, т. е. также претерпела «ускорение», но отрицательного рода, ускорение со знаком минус. Иными словами, мы видим, что всякое криволинейное движение численно характеризуется ускорениями, т. е. изменениями значений составляющих вектора скорости.

Сила

[1] Естественной для человека системой отсчёта является его собственное тело со своими способами определять направления (вперёд/назад, вправо/влево и вверх/вниз), со своими единицами расстояний (английский фут – длина ступни, русская сажень – размах рук, французский метр – длина широкого шага, римская миля – 1000 двойных шагов легионера) и со своим измерителем времени – сердцебиением.