Вариация мультипликативного интеграла

вариация мультипликативного интеграла

Майкопский государственный технологический институт, Майкоп

В статье рассматривается вариация обыкновенного мультипликативного интеграла, формулируется задача о нахождении матричных функций, которые обеспечивают конечную вариацию. Для криволинейного мультипликативного интеграла определяется понятие вариационной производной. Найдены аналоги уравнений Эйлера-Лагранжа и Гамильтона в случае переменных и .

Вариация обыкновенного мультипликативного интеграла

Рассмотрим интеграл (1), где - гладкая матричная функция n - го порядка.[1]

Воспользуемся дифференциальным представлением мультипликативного интеграла.

где , .

Соответственно, имеет место равенство

,

где , .

Рассмотрим матричную функцию , где - некоторая гладкая матричная функция. Вычислим мультипликативный интеграл:

и рассмотрим выражение , то есть,

где , .

Выражение будем называть вариацией обыкновенного мультипликативного интеграла.

Будем говорить, что интеграл (1) имеет конечную вариацию, если выполняется условие для некоторого .

Возникает задача о том, чтобы найти такие функции , которые обеспечивают конечную вариацию интеграла (1). В частности, при получаем уравнение нулевой кривизны относительно неизвестной функции :

.

Разрешая это уравнение относительно , получаем:

,

где - постоянная матрица.

Вариация криволинейного мультипликативного интеграла

1. Первая вариация.

Рассмотрим криволинейный мультипликативный интеграл:

, (2)

где - гладкая кривая, - гладкая матричная функция -го порядка.

Пусть , , любая гладкая функция такая, что .

Пусть - это кривая , близкая к кривой при малом .

Выражение будем называть вариационной производной интеграла (2).

Вычислим вариационную производную.

Имеем:

.

Применим формулу мультипликативного дифференцирования по параметру под знаком интеграла (формула Шлезингера).

.

Тогда получаем:

,

где .

Интегрируя по частям, получаем:

Следовательно,

поскольку .

Таким образом, условие равносильно уравнению:

, (3)

которое можно рассматривать как аналог уравнения Эйлера-Лагранжа.

Заметим, что уравнение (3) представляет собой условие нулевой кривизны следующего интеграла:

.

При этом существует потенциальная функция , такая, что

. (4)

Уравнения (4) можно рассматривать как аналог уравнений Гамильтона в случае переменных и .

Пример. Для интеграла , вариационная производная совпадает с кривизной интеграла .

2. Вторая вариация.

Рассмотрим интеграл

.

Вычислим мультипликативную производную:

,

где

,

.

Так как выражение представляет собой обычный интеграл, то естественно дифференцирование по произвести обычным образом.

.

Найдем .

,

где .

Вычислим по частям интеграл:

Следовательно, получаем:

,

где .

И окончательно получаем выражение для второй вариации интеграла:

где подынтегральное выражение можно назвать аналогом оператора Якоби, действующего на векторы и .

Литература

1. Паланджянц Л. Ж. Геометрия мультипликативного интеграла. Майкоп: МП «Качество», 1997.

Variation of product integral

L. Zh. Palandzhyants

In this article variation of a product integral is considered. For of curvilinear product integral variational derivation is determined. Analogous of Euler–Lagrange and Hamiltons for variables and are found.



Подпишитесь на рассылку:

Проекты по теме:

Основные порталы, построенные редакторами

Домашний очаг

ДомДачаСадоводствоДетиАктивность ребенкаИгрыКрасотаЖенщины(Беременность)СемьяХобби
Здоровье: • АнатомияБолезниВредные привычкиДиагностикаНародная медицинаПервая помощьПитаниеФармацевтика
История: СССРИстория РоссииРоссийская Империя
Окружающий мир: Животный мирДомашние животныеНасекомыеРастенияПриродаКатаклизмыКосмосКлиматСтихийные бедствия

Справочная информация

ДокументыЗаконыИзвещенияУтверждения документовДоговораЗапросы предложенийТехнические заданияПланы развитияДокументоведениеАналитикаМероприятияКонкурсыИтогиАдминистрации городовПриказыКонтрактыВыполнение работПротоколы рассмотрения заявокАукционыПроектыПротоколыБюджетные организации
МуниципалитетыРайоныОбразованияПрограммы
Отчеты: • по упоминаниямДокументная базаЦенные бумаги
Положения: • Финансовые документы
Постановления: • Рубрикатор по темамФинансыгорода Российской Федерациирегионыпо точным датам
Регламенты
Термины: • Научная терминологияФинансоваяЭкономическая
Время: • Даты2015 год2016 год
Документы в финансовой сферев инвестиционнойФинансовые документы - программы

Техника

АвиацияАвтоВычислительная техникаОборудование(Электрооборудование)РадиоТехнологии(Аудио-видео)(Компьютеры)

Общество

БезопасностьГражданские права и свободыИскусство(Музыка)Культура(Этика)Мировые именаПолитика(Геополитика)(Идеологические конфликты)ВластьЗаговоры и переворотыГражданская позицияМиграцияРелигии и верования(Конфессии)ХристианствоМифологияРазвлеченияМасс МедиаСпорт (Боевые искусства)ТранспортТуризм
Войны и конфликты: АрмияВоенная техникаЗвания и награды

Образование и наука

Наука: Контрольные работыНаучно-технический прогрессПедагогикаРабочие программыФакультетыМетодические рекомендацииШколаПрофессиональное образованиеМотивация учащихся
Предметы: БиологияГеографияГеологияИсторияЛитератураЛитературные жанрыЛитературные героиМатематикаМедицинаМузыкаПравоЖилищное правоЗемельное правоУголовное правоКодексыПсихология (Логика) • Русский языкСоциологияФизикаФилологияФилософияХимияЮриспруденция

Мир

Регионы: АзияАмерикаАфрикаЕвропаПрибалтикаЕвропейская политикаОкеанияГорода мира
Россия: • МоскваКавказ
Регионы РоссииПрограммы регионовЭкономика

Бизнес и финансы

Бизнес: • БанкиБогатство и благосостояниеКоррупция(Преступность)МаркетингМенеджментИнвестицииЦенные бумаги: • УправлениеОткрытые акционерные обществаПроектыДокументыЦенные бумаги - контрольЦенные бумаги - оценкиОблигацииДолгиВалютаНедвижимость(Аренда)ПрофессииРаботаТорговляУслугиФинансыСтрахованиеБюджетФинансовые услугиКредитыКомпанииГосударственные предприятияЭкономикаМакроэкономикаМикроэкономикаНалогиАудит
Промышленность: • МеталлургияНефтьСельское хозяйствоЭнергетика
СтроительствоАрхитектураИнтерьерПолы и перекрытияПроцесс строительстваСтроительные материалыТеплоизоляцияЭкстерьерОрганизация и управление производством

Каталог авторов (частные аккаунты)

Авто

АвтосервисАвтозапчастиТовары для автоАвтотехцентрыАвтоаксессуарыавтозапчасти для иномарокКузовной ремонтАвторемонт и техобслуживаниеРемонт ходовой части автомобиляАвтохимиямаслатехцентрыРемонт бензиновых двигателейремонт автоэлектрикиремонт АКППШиномонтаж

Бизнес

Автоматизация бизнес-процессовИнтернет-магазиныСтроительствоТелефонная связьОптовые компании

Досуг

ДосугРазвлеченияТворчествоОбщественное питаниеРестораныБарыКафеКофейниНочные клубыЛитература

Технологии

Автоматизация производственных процессовИнтернетИнтернет-провайдерыСвязьИнформационные технологииIT-компанииWEB-студииПродвижение web-сайтовПродажа программного обеспеченияКоммутационное оборудованиеIP-телефония

Инфраструктура

ГородВластьАдминистрации районовСудыКоммунальные услугиПодростковые клубыОбщественные организацииГородские информационные сайты

Наука

ПедагогикаОбразованиеШколыОбучениеУчителя

Товары

Торговые компанииТоргово-сервисные компанииМобильные телефоныАксессуары к мобильным телефонамНавигационное оборудование

Услуги

Бытовые услугиТелекоммуникационные компанииДоставка готовых блюдОрганизация и проведение праздниковРемонт мобильных устройствАтелье швейныеХимчистки одеждыСервисные центрыФотоуслугиПраздничные агентства

Блокирование содержания является нарушением Правил пользования сайтом. Администрация сайта оставляет за собой право отклонять в доступе к содержанию в случае выявления блокировок.