Два подхода к оценке меры иррациональности значений гипергеометрической функции с полуцелыми параметрами

ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ

УДК 511.36

ДВА ПОДХОДА К ОЦЕНКЕ МЕРЫ ИРРАЦИОНАЛЬНОСТИ ЗНАЧЕНИЙ

ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ С ПОЛУЦЕЛЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

Рассмотрены два новых способа оценки меры иррациональности некоторых значений гипергеометрической функции Гаусса.

Ключевые слова: мера иррациональности, гипергеометрическая функция, арифметические свойства, логарифмическая функция.

Для любого иррационального числа можно определить количественную характеристику, описывающую, насколько хорошо данное число приближается рациональными дробями. Такая характеристика называется мерой иррациональности (показателем иррациональности), обозначается и определяется как точная верхняя грань множества чисел, для которых неравенство имеет бесконечное множество решений в рациональных числах

Точная величина показателя иррациональности известна для немногих чисел. Так, для любой алгебраической иррациональности справедливо равенство а из цепной дроби Эйлера для константы следует Но для большинства чисел имеются только оценки сверху для Например, наилучшая из известных оценок для числа доказана в 2008 г. [1].

Одним из способов получения оценок мер иррациональности является построение на основе интегральной конструкции линейной формы и исследование коэффициентов этой линейной формы при значениях параметра, стремящихся к бесконечности. Ключевую роль в таких исследованиях имеет следующее утверждение, доказанное М. Хата [2].

Лемма 1. Пусть где иррационально и Тогда

Одной из задач теории диофантовых приближений является исследование арифметических свойств значений гипергеометрической функции Гаусса: .

Этой задачей в разное время занимались разные авторы. Так, общие методы построения оценок для значений гипергеометрической функции приведены в работах М. Хуттнера [3], К. Ваананена, Т. Матала-Ахо и А. Хеймонена [4], частные случаи рассмотрены в работах Дж. Ринна [5], М. Хата[6], [7] и др.

В данной статье рассматриваются два новых подхода к оценке меры иррациональности некоторых значений функции Гаусса с полуцелыми параметрами: . Оба метода позволили улучшить некоторые из предыдущих оценок. Для иллюстрации приводимых методов будет использоваться число

Первоначально оценка меры иррациональности этого числа была получена в 1987 г. Дж. Ринном [5]. Этот результат долгое время оставался неизменным, пока в 2008 г. не был улучшен [7], доказавшей оценку В своей работе использовала интеграл с симметричной подынтегральной функцией: , где . Такие интегралы впервые были применены . Они обладают хорошими арифметическими свойствами, что позволило получить ряд новых оценок, в частности оценку для числа, приведённую выше. Заметим, что в работе Дж. Ринна [5] также использовался симметризованный интеграл, приводящийся к гипергеометрической функции Гаусса, но более ограниченный в выборе параметров.

Применение описываемых ниже интегральных конструкций позволило в обоих случаях улучшить эту оценку и ряд других результатов. При этом одним из важнейших свойств рассматриваемых интегралов является симметричность подынтегральных функций относительно замены параметра на .

Следующая лемма определяет основное свойство используемых функций.

Лемма 2. Пусть Тогда

Доказательство. Пусть

где и при Положим при

Имеем

(1)

Если набор нулей многочлена кратностей , то тогда набор нулей многочлена таких же кратностей и

Таким образом,

(2)

Учитывая степень многочлена, имеем т. е. Аналогично если набор нулей многочлена кратностей , то (3) и т. е.

Из определения и равенства (1) имеем

(4) и т. е.

Тогда

Поскольку имеет место очевидное равенство

то с учётом выражений (2)и(3) получаем

и

Соответственно

Аналогично

Таким образом,

но из соотношения (4) имеем что и завершает доказательство.

Следствие. Пустьрациональная функция и Тогда

Данное свойство подынтегральной функции даст возможность получать в линейной форме рациональные коэффициенты, даже если исходный параметр был иррационален. Таким свойством обладал интеграл, рассмотренный в 2008 г. в работе и К. Виолы [8]:

Авторами было доказано представление

Здесь и далее означает наименьшее общее кратное чисел

Столь интересная интегральная конструкция и К. Виолы не давала, тем не менее, новых оценок мер иррациональности.

Рассмотрим модификацию этого интеграла, содержащую дополнительный множитель:

чётные. (5)

Арифметические свойства данного интеграла оказались лучше, чем у и К. Виолы, поскольку множитель обеспечивает малость подынтегральной функции и при удачном выборе параметра частично компенсирует множители, возникающие в знаменателе. Свойство симметричности подынтегральной функции при этом осталось неизменным. Рассмотрим структуру интеграла .

Утверждение 1. Имеет место равенство

(6)

где

Доказательство этого представления имеет в основе симметричность подынтегральной функции. Обозначим через подынтегральную функцию интеграла (5). Разложив на простейшие дроби, стандартным образом получим представление

Легко убедиться, что

Пользуясь леммой 2, можем утверждать, что

Более подробно доказательство данного утверждения изложено в [9].

Теперь, выбирая в качестве параметра можно, используя линейную форму (6), получать оценки для логарифмов рациональных чисел вида , а при - оценки для В первом случае новых результатов получить не удалось, второй оказался более интересным.

Лемма 3. Для любого существуют такие, что

(7)

Для получения оценок применяем лемму 1 к линейной форме (7). При этом значения определяются отдельно при каждом .

Возьмём В этом случае будет справедливо представление

Доказательство данного представления, так же как и леммы 3, можно найти в [9].

Применив лемму 1 к данной линейной форме, можно получить при соотношении оценку Исследование асимптотики и здесь проводилось с помощью метода перевала [10], а оптимальные параметры выбирались с помощью компьютерной программы.

Данная интегральная конструкция позволила получить ещё несколько новых результатов при других значениях параметра [9].

Вторая рассматриваемая интегральная конструкция также использует свойство симметричности. В 2008 г. Р. Марковеккио [11] был предложен новый способ оценки меры иррациональности чисел вида , с помощью которого им была получена оценка для усиливающая предыдущий результат , остававшийся лучшим почти 20 лет. Р. Марковеккио использовал в своей работе двойной комплексный интеграл, а для исследования асимптотики коэффициентов линейной формы применял метод перевала в который был весьма сложным. Спустя некоторое время [12] получил результаты Р. Марковеккио более простым способом, с помощью однократного комплексного интеграла. Небольшое симметризующее преобразование интеграла позволило применить его, как и предыдущую интегральную конструкцию, для логарифмов некоторых квадратичных иррациональностей.

Рассмотрим интеграл

где

вертикальная прямая вида проходимая снизу вверх; чётно.

Данный интеграл отличается только множителем от интеграла , но именно этот множитель придаёт интегралу свойство симметрии.

Утверждение 2. Справедливо равенство где означает комплексное сопряжение.

Утверждение 3. Для любого при условии справедливо представление ,

где

Доказательства обоих утверждений можно найти в [13].

Из представления интеграла получаем линейную форму

(8) которая и используется при исследованиях.

Подставляя в интеграл вместо обратную величину и используя утверждения 2 и 3, можно легко убедиться, что Тогда в соответствии с леммой 2 и следствием из неё имеем что позволяет линейной форме, так же как и в предыдущем случае, иметь рациональные коэффициенты при некоторых иррациональных

При , получаем .

Линейная форма (8) примет вид

.

Умножив её на общий знаменатель всех дробей и применив лемму 1, можно оценить некоторые значения мер иррациональности чисел.

Так, при имеем . Исследуя асимптотику линейной формы с помощью метода, описанного [12], и используя стандартную технику сокращения простых множителей Чудновского-Хаты, получим при результат , наилучший на настоящий момент. Подробный вывод этой оценки описан в [13].

Следует отметить, что две рассмотренные интегральные конструкции принципиально отличаются по арифметическим свойствам. Их можно применять для оценки меры иррациональности чисел похожей структуры, однако для большинства этих чисел получаемые результаты не имеет смысла сравнивать. Так, вторая интегральная конструкция при нечётных из-за быстрого возрастания знаменателя вообще оказывается неприменимой.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Салихов, В. Х. О мере иррациональности числа π / // Успехи математических наук.- 2008.- Т.63:3. - С.163-164.

2. Hata, M. Rational approximations to π and some other numbers / M. Hata//Acta Arithm.-1993. - V.63:4. - P. 335-347.

3. Huttner, M. Irrationalité de sertaines intégrales hypergéométriques /M. Huttner// J. Number Theory. – 1987. – V.26. - P.166-178.

4. Heimonen, A. On irrationality measures of the values of Gauss hypergeometric function / A. Heimonen, T. Matala-Аho, K. Väänänen // Manuscripta MathV.81. - P.183-202.

5. Rhinn, G. Approximants de Padé at measures effectives d’ irrationalité / G. Rhinn// Progr. In math. - Birchäuser, 1987. - V.71. – P.155-164.

6. Hata, M. Irrationality measures of the values of hypergeometric functions /M. Hata // Acta Arithm. – 1992. - V.50:4. - P.335-349.

7. Сальникова, Е. С. О мерах иррациональности некоторых значений функции Гаусса/ // Чебышевский сборник. -2007. - Т. 8. - №2. - С.88-96.

8. Viola, С. Hypergeometrc transformations of linear form in one logarithm / C. Viola, W. Zudilin //Funct. ment. Math. – 2008. – V.39:2. - P.211-222.

9. Башмакова, М.Г. О приближении значений гипергеометрической функции Гаусса рациональными дробями /М.Г.Башмакова // Мат. заметки. – 2010. - Т.88:6. – С.823-835.

10. Федорюк, перевала / . - М.; Наука, 19с.

11. Marcoveccio, R. The Rhinn-Viola method for ln2 /R. Marcoveccio // Acta Arithm. – 2009.- V.139:2. - P.147-184.

12. Нестеренко, Ю. В. О показателе иррациональности числа ln2/// Мат. заметки. – 2010. - Т.88:4. – С.550-565.

13. Bashmakova, M. G. Estimates for the exponent of irrationality for certain values of hypergeometric functions/ M. G.Bashmakova // Moscow Jour. of Combinatorics and Number Theory. – 2011. - V.1:1. - P.67-78.

Материал поступил в редколлегию 12.05.11.