Исследование надежности и риска нерезервированной технической системы (стр. 2 )

§ выбрать пункт меню Author|Vector, на экране появится окно Vector Setup;

§ ввести размер вектора (в нашем случае 10), нажать кнопку ОК, на экране появится окно ввода элементов вектора Auhor 10 element vector;

§ ввести интенсивности отказов элементов (для ускорения процедуры ввода значения λ не умножаются на 10-5), после нажатия кнопки ОК на экране в строке #1 отобразится вектор интенсивностей отказов элементов.

Аналогично образуется вектор риска r. Пусть он находится в строке #2. Вычисление интенсивности отказов системы λс осуществляется с помощью следующих действий:

§ набрать в строке пользователя функцию:

ELEMENT(#1,n),

после нажатия клавиши <Enter> на экране появится функция ELEMENT с вектором интенсивностей отказов;

Внимание

В функции ELEMENT первым аргументом должен быть номер строки с вектором λ, определенным ранее, а вторым аргументом — символ n, а не его численное значение.

§ щелкнуть на кнопке Find Sum панели инструментов, на экране появится новое окно Calculus Sum. На вкладке Variable установить значение n, на вкладке Sum установить переключатель в положение Definite, на вкладке Definite Sum определить область суммирования (в нашем случае от 1 (Lower Limit) до 10 (Upper Limit)). После нажатия OK на экране отобразится выражение суммы элементов вектора λс ;

§ нажать кнопку Approximate панели инструментов, на экране появится искомое значение суммы интенсивностей отказов элементов. В нашем слу­чае с учетом масштаба (10-5) λс = 8,24·10-5 час-1.

Для вычисления суммы необходимо получить скалярное произведение векторов λ и r, которые в нашем примере находятся соответственно под номерами #1 и #2. Для этого в строке пользователя набирается выражение #1 #2, нажимаются клавиши <Enter> и кнопка Approximate панели инстру­ментов, на экране появляется ответ 1,0506·104. В нашем случае с учетом масштаба интенсивностей отказа (10-5) искомая сумма равна 0,10506.

Процедуры решения на экране монитора имеют следующий вид:

Так как Qc(t) = 1 — Pc(t) = , λс = 8,24 · 10-5, = 0,10506, то в соответствии с функция риска будет равна:

или

Вычисление для заданного значения времени непрерывной работы t = T и среднего времени безотказной работы t = TI выполняется с помощью кнопок Variable Substitute и Approximate панели инструментов. Для нашего примера при t = 1000 час риск = 100,848.

Для t = TI = 12136 час значение риска = 805,953 . Из полученных значений видно, что риск исследуемой системы ниже допустимого значения, равного 5000 условных единиц.

1.4.3. Исследование функции риска

Предполагая, что все элементы системы равнонадежны, а интенсивность отказа каждого элемента = 0,824·10-5 час-1, получим следующее выражение риска:

Найдем зависимость при различных значениях и в виде графиков и таблиц, используя возможности пакета Derive 5.

Получение графика функции риска

Построим графики функции риска, выполнив следующие действия:

§ ввести выражение риска :

§ получить выражение риска для различных значений n путем подстановки в выражение риска численных значений n с помощью кнопки Sub панели инструментов, на экране появится выражения риска (в нашем случае при n = 10, 30, 50);

§ щелкнуть мышью на кнопке 2D-plot window панели инструментов, на экране появится окно 2D-plot с сеткой координат;

§ настроить с помощью клавиш <F5>—<F10> оси координат на нужный диапазон времени (ось х) и риска (ось у);

§ для задания произвольного масштаба можно использовать кнопку Set Range with box на панели инструментов и выделить необходимую область, после чего задать граничные значения для графика в появившемся меню;

§ после нажатия кнопки Plot Expression панели инструментов на экране появится график функции риска при данном n;

§ щелкнуть мышью на кнопке Algebra window панели инструментов графического окна, на экране появится главное окно системы;

§ выделить формулу риска при новом значении n (в нашем случае при n = 30) и построить график описанным ранее способом и т. д. На экране образуется семейство графиков (в нашем случае три графика при n = 10, 30, 50).

Далее приводятся процедуры образования функций риска и соответствующих им графиков (рис. 1.1):

Из рисунка видно, что с увеличением времени t работы системы техноген­ный риск функционирования системы увеличивается и при t→∞ стремится к постоянной величине, равной среднему значению риска.

Рис. 1.1. Зависимость риска от времени при различных значениях n

Представление функции риска в виде таблицы

При выполнении предыдущих действий для построения графика на экране было получено выражение риска. Предположим, что оно находится в строке #2. Тогда функцию риска в виде таблицы можно получить путем табулирования функции .

В строке пользователя набирается функция табулирования:

VECTOR([t,#2],t, tn, tk, dt),

где t — аргумент функции риска; tn,tk,dt — соответственно начальное, конечное значения времени t и шаг изменения t. В нашем случае tn = 0, tk выбираем равным среднему времени безотказной работы tk = T = 12136 час. Выберем шаг таблицы dt = 1500. Тогда функция будет иметь вид:

VECTOR([t,#2],t,0,12136,1500).

После ввода функции нужно нажать кнопку Approximate панели инструментов. Процедуры табулирования и итоговая таблица при n = 10 на экране монитора имеют следующий вид:

Из строки #4 видно, что риск возрастает с увеличением времени функционирования системы t. Так, например, с увеличением t с 1500 до 12000 часов риск увеличивается примерно с 150 до 800 условных единиц.

Определение критического времена работы системы

Так как возрастает с ростом t, то представляет интерес предельное время, выше которого риск будет превышать допустимое значение. Решение задачи сводится к определению корня уравнения

Так как в рассматриваемом случае = 10506·10-5, = 8,24·10-5 час-1, R = 5000, то, подставляя эти значения в последнее выражение, получим:

.

Решая это уравнение с помощью функции SOLVE, получим критическое значение . В нашем примере вещественного корня нет. Это значит, что при Любом t риск системы не превосходит допустимого значения.

1.4.4. Исследование зависимости GR (t, n)

Для анализа зависимости GR(t, n) представим эту функцию в виде графиков и таблиц. Графики позволят сделать качественный анализ, а таблицы ‒ количественный. Далее описываются процедуры представления функций в виде графиков и таблиц с помощью системы Derive 5.

Построение графиков GR (t, n)

Предположим, что система состоит из n равнонадежных элементов, каждый из которых имеет интенсивность отказов λ. Тогда функция GR(t, n) бу­дет выражаться формулой . Подставим в эту формулу значение λ = 0,824·10-5 час-1 и наберем формулу в строке пользователя. Построение графиков осуществляется так, как было описано в разд. 1.4.3.

Построим графики для 3—4 значений n, например для n, 3n, 5n, где n — число элементов системы. В итоге получим семейство кривых (рис. 1.2), из которых можно сделать два важных вывода:

1. Чем больше элементов n и чем больше время работы системы, тем больше погрешность приближенной формулы.

2. Приближенной формулой можно пользоваться в том случае, когда время работы системы мало и риск, вычисленный по приближенной формуле, не превышает допустимого значения.

Рис. 1.2. График функции GR (t, n)

Представление функции GR (t, n)в виде таблицы

Представление функции в виде таблицы выполним с помощью функции VECTOR в такой последовательности:

§ ввести выражение ;

§ присвоить переменной λ, среднее значение (в нашем примере λ = 0,824·10-5 час-1); присвоение осуществляется с помощью кнопки Substitute панели инструментов;

§ присвоить переменной n значения n = 10, 30, 50. На экране появятся три выражения. Пусть эти выражения находятся на строках #2, #3, #4;

§ ввести функцию: