10 класс

10 класс

1. РЕШЕНИЕ:

Пусть х2+2х=t. Тогда:

,

=0,

=0,

t≠3, t≠-2, t≠-1

t2-15t+56=0,

по теореме, обратной теореме Виета

t1=7, t2=8

x2+2x=7, x2+2x=8,

x2+2x-7=0, x2+2x-8=0,

D=32 по теореме, обратной теореме Виета

x1=2 x3=-4, x4=2

x2=-2

ОТВЕТ: 2; -2; -4; 2.

2. Пусть расстояние между городами равно 3s. Тогда на весь путь затрачено

часов.

Значит, средняя скорость на всем пути равна:

=90 км/ч.

ОТВЕТ: 90 км/ч.

3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

Пусть меньшее из простых чисел равно q, а большее – p.

Тогда p-q=2, q>3.

p=q+2

Сумма данных чисел делится на 12, если она делится одновременно на 3 и на 4.

p+q=q+2+q=2q+2=2(q+1)

q – нечетное число, поэтому (q+1) – четное число и 2(q+1) делится на 4.

При делении на 3 q дает остаток либо 1, либо 2.

Если остаток равен 1, то q=3k+1, где k – целое число.

p=q+2=3k+1+2=3k+3=3(k+1), отсюда следует, что р делится на 3, что невозможно.

Если остаток равен 2, то q=3k+2, где k – целое число.

p+q=3k+2+2+3k+2=6k+6=2·3(k+1), откуда следует, что 2·3(k+1) делится на 3.

Таким образом, p+q делится на 3 и на 4, а значит и на 12.■ (Q. E. D.)

4.

Пусть L – середина BC. E – точка, симметричная точке A относительно BC. BO=CO, т. к. это радиусы окружности. ΔBOC – равнобедренный, OL – его медиана, проведённая к основанию, поэтому OL – высота, т. е. OL ^ BC. AL= LE, AO=OD, поэтому OL – средняя линия ΔAED, она параллельна стороне DE, следовательно DE и BC перпендикулярны. ■ (Q. E.D.)

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

E

B

C

L

A O D

5. РЕШЕНИЕ:

Число различных наборов из трёх игроков равно =35.

Число различных наборов из четырёх игроков равно =35.

Всего существует 35+35=70 способов составить компанию играющих.

70 дней составляют 10 полных недель. Поэтому второй раз игроки, игравшие в первый день, встретятся в понедельник, а в третий раз - во вторник.

ОТВЕТ: вторник.