Вариант № 19
Контрольная работа № 1
Задача 1
Решить систему уравнений, пользуясь
а) правилом Крамера
б) методом Гаусса
1)
а) правило Крамера:
б) метод Гаусса
Получаем:
2)
а) правило Крамера
б) метод Гаусса
Задача 2
Векторы 
и 
образуют угол 
. Найти длину вектора 
, если 
, 
. Сделать чертеж.
Решение:
Задача 4
Даны три последовательные вершины А, В и С параллелограмма. Найти координаты вершины D, угол между векторами 
и 
, площадь параллелограмма. Сделать чертеж.
А (3,3)
В (6,4)
С (9,0)
Получаем координаты вершины D (6,-1)
Координаты 
Координаты 
,
угол между и равен 
Площадь параллелограмма = 
Координаты 
Координаты 
Задача 5
Даны координаты вершин треугольника АВС. Найти:
а) длину стороны АВ
б) уравнение стороны АВ
в) уравнение высоты BD
координаты вектора 
г) уравнение медианы АЕ
координаты точки 
д) уравнение биссектрисы угла В
найдем уравнение стороны ВС:
найдем биссектрису угла между двумя прямыми: 
:
е) длину высоты BD
Уравнение стороны АС:
Длина высоты равна:
ж) косинус угла А
координаты
координаты
з) площадь треугольника
и) уравнение окружности, описанного около треугольника
цент описанной окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров сторон треугольника
Для нахождения координат центра окружности составим систему уравнений:
Решая, получаем:
и 
Уравнение окружности имеет вид:
Сделать чертеж.
А (3,3)
В (6,4)
С (9,0)
Задача 7
Доказать, что точки A, B, C, D не лежат в одной плоскости.
А (1,0,3)
В (1,-2,1)
С (3,1,0)
D (1,0,9)
Компланарны – лежат в одной плоскости:
, т. к. смешанное произведение не равно 0, значит, вектора не компланарны и точки не лежат в одной плоскости.
Найти:
а) объем пирамиды ABCD
б) длину высоты DK
уравнение плоскости АВС:
Расстояние от точки D до плоскости АВС и есть высота DK
Находим:
г) уравнение плоскости АВС
уравнение плоскости АВС:
д) угол АВС
е) проекцию точки D на плоскость АВС
это перпендикуляр, опущенный из этой точки на плоскость. Это высота DK.
ж) уравнение высоты DK
з) площадь грани АВС
и) уравнение сферы, проходящей через вершины пирамиды.
Задача 8
Определить вид кривой второго порядка и построить ее.
Это уравнение окружности, т. к. коэффициенты при 
и 
равны.
Получаем окружность с центром в точке: (1,-5) и радиусом 4
Контрольная работа № 2
Задача 14
Найти область определения функции
Получаем:
Задача 17
Вычислить пределы функций
Задача 18
Используя замечательные пределы, вычислить пределы функций
Задача 20
Исследовать функцию на непрерывность, указать характер точек разрыва. Сделать чертеж.
Точка разрыва функции: х = 0, функция непрерывна на отрезках: 
Задача 21
Написать уравнение касательной и нормали к данной кривой в точке с абсциссой 
, 
уравнение касательной:
уравнение нормали:
Задача 22
Найти производные
Задача 23
Найти производные функций
Задача 24
Найти дифференциал функции
Задача 25
Найти производные второго порядка
Задача 26
Найти производную от у по х
Задача 27
Вычислить пределы, пользуясь правилом Лопиталя
Задача 28
Найти наибольшее и наименьшее значения функции y = f(x) на заданном отрезке
, 
производная равна 0 при х = 0
- решений не имеет, т. к. D<0
Находим:
Получаем: наибольшее значение функции равно 
при х = -1,
наименьшее значение функции равно 0 при х = 1.
Задача 29
Провести полное исследование функции и построить ее график
1.) Область определения данной функции:
2.) Четность:
- функция не является ни четной ни нечетной.
3.) Найдем точки пересечения графика с осями координат:
с ОХ: у=0
Точка пересечения с осями координат: (
,0)
4.) Для исследования функции на экстремум найдем ее первую производную:
положим 
, получаем критическую точку:
Находим вторую производную:
Т. к. при 
имеем:
, то точка - точка максимума.
Вычисляем экстремальное значение функции и найдем соответствующую точку ее графика:
Получаем точку 
5.) Исследуем направление вогнутости и точки перегиба. Сначала прировняем к нулю вторую производную:
получаем:
Точкой возможного перегиба является 
проверим знак второй производной в окрестностях этой точки:
Пусть 
, тогда 
, если 
, тогда , следовательно, в этой точке имеется перегиб графика. Посчитаем значение функции в этой точке:
Контрольная работа № 3
Задача 1
Изобразить область определения функции. Найти частные производные
Задача 2
Найти частные производные и полный дифференциал функции
Задача 3
Написать уравнение касательной плоскости и нормали к данной поверхности в точке 
Находим:
Тогда уравнение касательной плоскости имеет вид:
Уравнение нормали:
Задача 4
Найти производные сложной функции
Задача 9
Исследовать функцию 
на экстремум.
Решение:
Производная не существует при х = 0 и при у = 0
