Непрерывность функции

Лекция 2

4.6. Непрерывность функции

Определение 1. Функция называется непрерывной в точке , если она удовлетворяет следующим условиям:

1) определена в точке , т. е. существует ;

2) имеет конечные односторонние пределы функции при слева и справа;

3) эти пределы равны значению функции в точке , т. е.

.

Пример 4.8. Исследовать функции на непрерывность в точке :

а) , б) .

Решение. а) . При функция определена, , , , т. е. все три условия непрерывности функции в точке выполнены. Следовательно, функция в точке непрерывна.

б) . При функция не определена; ; .

Т. о. в точке функция не является непрерывной, т. к. не выполнены первое и третье условия непрерывности функции в точке.

Определение 2. Функция называется непрерывной в точке , если она определена в этой точке и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции: .

Определения 1 и 2 равносильны.

Свойства функций, непрерывных в точке

1. Если функции и непрерывны в точке , то их сумма , произведение и частное (при условии ) являются функциями, непрерывными в точке .

2. Если функция непрерывна в точке и , то существует такая окрестность точки , в которой .

3. Если функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке , то сложная функция непрерывна в точке .

Определение. Функция называется непрерывной на промежутке , если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Все элементарные функции непрерывны в области их определения.

Точки разрыва функции

Определение. Если в какой-нибудь точке для функции не выполняется по крайней мере одно из условий непрерывности, то эта точка называется точкой разрыва функции.

Причем: 1) Если существуют конечные односторонние пределы функции, неравные друг другу: ,

то точка - точка разрыва I рода.

2) Если хотя бы один из односторонних пределов функции или равен бесконечности или не существует,

то точка - точка разрыва II рода.

Свойства функций, непрерывных на отрезке

1. Если функция непрерывна на отрезке , то она ограничена на этом отрезке.

2. Если функция непрерывна на отрезке , то она достигает на этом отрезке наименьшего значения и наибольшего значения (теорема Вейерштрасса).

3. Если функция непрерывна на отрезке и значения ее на концах отрезка и имеют противоположные знаки, то внутри отрезка найдется точка такая, что . (Теорема Больцано-Коши.)

Пример 4.9. Исследовать на непрерывность и найти точки разрыва функции . Установить характер разрыва.

Решение. При функция не определена, следовательно, функция в точке терпит разрыв: , а . Так как односторонние пределы бесконечны, то - точка разрыва второго рода (рис. 4.2).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Тема 5. Производная функции

5.1. Определение производной. Задачи, приводящие к понятию производной

Пусть функция определена на промежутке . Возьмем точку . Дадим значению приращение , тогда функция получит приращение .

Определение. Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента (независимой переменной) при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует):

.

Обозначают: .

Нахождение производной функции называется дифференцированием этой функции.

Если функция в точке имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке. Функция, дифференцируемая во всех точках промежутка , называется дифференцируемой на этом промежутке.

Задача о касательной

Пусть на плоскости дана непрерывная функция и необходимо найти уравнение касательной к этой кривой в точке .

Уравнение прямой по точке , принадлежащей этой прямой, и угловому коэффициенту имеет вид: , где , ( - угол наклона прямой). Из (рис.5.1) найдем тангенс угла наклона секущей : . Если точку приближать к точке , то угол будет стремиться к углу , т. е. при . Следовательно, .

Задача о скорости движения

Пусть вдоль некоторой прямой движется точка по закону , где - пройденный путь, –время и необходимо найти скорость точки в момент (рис.5.2).

К моменту времени путь равен , а к моменту путь равен .

- путь, пройденный за время .

Тогда за промежуток средняя скорость , а мгновенная скорость , т. е. .

Задача о производительности труда

Пусть функция выражает количество произведенной продукции за время и необходимо найти производительность труда в момент .

За период времени от до количество произведенной продукции изменится от до , где , . Тогда в момент средняя производительность труда запишется , а производительность труда:

.

Из задачи о касательной вытекает геометрический смысл производной: производная функции в точке есть угловой коэффициент (тангенс угла наклона) касательной, проведенной к кривой в точке , т. е. .

Тогда уравнение касательной к кривой в точке примет вид:

.

Из задачи о скорости движения следует механический смысл производной: производная пути по времени есть скорость точки в момент : .

Из задачи о производительности труда следует, что производная объема произведенной продукции по времени есть производительность труда в момент (экономический смысл производной).

5.2. Зависимость между непрерывностью функции и дифференцируемостью

Теорема. Если функция дифференцируема в точке , то она в этой точке непрерывна.

Обратная теорема не верна, т. е. если функция непрерывна в точке, то она не обязательно дифференцируема в этой точке.

Схема вычисления производной.

Производная функции может быть найдена по следующей схеме:

1. Дадим аргументу приращение и найдем наращенное значение функции .

2. Находим приращение функции .

3. Составляем отношение .

4. Находим предел этого отношения при (если он существует).

Пример 5.1. Найти производную функции .

Решение.

1. ,

2. ,

3. ,

4. . Итак, .

Можно доказать, что для любого справедливо: .

5.3. Правила дифференцирования. Производные элементарных функций

1. Производная постоянной равна нулю, т. е. .

2. Производная аргумента равна 1, т. е. .

3. Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна такой же сумме производных этих функций, т. е.

.

4. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго, т. е.

.

Следствие 1. Постоянный множитель можно вынести за знак производной

.

Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные:

.

5. Производная частного двух дифференцируемых функций может быть найдена по формуле:

при .

Производная сложной функции

Пусть задана сложная функция .

Теорема. Если и - дифференцируемые функции от своих аргументов, то производная сложной функции существует и равна производной данной функции по промежуточному аргументу умноженной на производную промежуточного аргумента по независимой переменной , т. е.

.

Другая запись: .

Пример 5.2. Найти производную .

Решение. Обозначим , тогда

.

Производные элементарных функций

y=xn		Степенные функции
а)	,	Логарифмические функции.
б)
а)	.	Показательные функции.
б)
а)	,	Тригонометрические функции
б)	,
в)	,
г)	.

Производные высших порядков

Определение. Производной -го порядка функции называется производная от производной порядка:

.

В частности, .

Пример 5.3. Найти , если .

Решение. ,

,

.