Контрольная работа №1 (1 курс)

8. Даны вершины А(-1, -1), В(-7, 2), С(-4, 3) треугольника АВС. Найти:

1) длину стороны АВ;

2) внутренний угла А в радианах с точностью до 0,001.

Сделать чертеж.

Решение. 1) Длина стороны АВ:

2) Угол А найдем как угол между векторами и

Найдем уравнение стороны ВС:

Аналогично найдем уравнение сторон АВ:

.

и АС:

Сделаем чертеж.

18. Даны вершины А(-1, -1), В(-7, 2), С(-4, 3) треугольника АВС.

1) уравнение высоты, проведенной через вершину С;

2) уравнение медианы, проведенной из вершины С;

3) точку пересечения высот треугольника;

4) длину высоты, проведенной через вершину С.

Сделать чертеж.

Решение. 1) Уравнение стороны АВ:

По определению, высота СН, проведенной из вершины СА, перпендикулярна стороне АВ, следовательно, направляющий вектор прямой СН является нормальным вектором прямой АВ: Отсюда получаем уравнение высоты:

2) Найдем уравнение медианы СМ, проведенной из вершины С. Точка М – середина отрезка АВ, следовательно, ее координаты:

Тогда по двум известным точкам С и М составляем уравнение медианы СМ:

3) Все высоты треугольника пересекаются в одной точке, обозначим ее N(х,у). Для ее нахождения нам требуется узнать уравнения любых двух высот, например, СН и BP .

Уравнение стороны АС:

Её угловой коэффициент . С учетом перпендикулярности прямой АC и высоты BP угловой коэффициент высоты . По точке В(-7;2) и угловому коэффициенту составляем уравнение высоты:

Решая систему

находим искомую точку .

4) Для вычисления длины высоты используем формулу расстояния от точки до прямой (АВ) :

Получаем:

Сделаем чертеж.

28. Найти пределы функций

1) при: а) , б) , в) .

2) ; 3) .

Решение. 1)

а)

б)

в)

2)

3)

38. Найти производные заданных функций

а) ; б) ;

в) ; г) .

Решение. а)

б)

в)

г) .

48. Исследовать средствами дифференциального исчисления функцию

и построить ее график.

Решение. 1. О. О.Ф.

2. Нули функции:

3. Точки пересечения графика с осью Оу:

4. Функция общего вида, непрерывная.

5. Найдем асимптоты графика функции:

а) вертикальных асимптот нет, т. к. нет точек разрыва;

б) наклонные асимптоты где

следовательно, наклонных асимптот нет

6. Ищем интервалы монотонности и критические точки функции.

При функция убывает;

при функция возрастает;

7.

при , следовательно, при график выпуклый − вверх;

при , следовательно, при график выпуклый − вниз.

Точка перегиба: .

8. Строим график функции:

58. Найти неопределенные интегралы. Результаты проверить дифференцированием.

а) ; б) ; в) ; г) .

Решение. а)

Проверка:

б)

Проверка:

в)

Проверка:

г)

.

Проверка:

68. Вычислить по формуле Ньютона-Лейбница определенный интеграл.

.

Решение.

78. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой Сделать чертеж.

Решение. Найдем точки пересечения данных линий:

Сделаем чертеж.

Искомая площадь равна:

кв. ед.

88. Найти общее решение дифференциального уравнения

и частное решение, удовлетворяющее начальному условию при

Решение.

это линейное дифференциальное уравнение вида:

где .

Применяя подстановку имеем:

Полагаем

Для определения имеем уравнение:

Умножая на , получаем общее решение данного дифференциального уравнения:

Используя начальные условия, получаем:

Следовательно, искомое частное решение имеет вид

98. Найти общее решение дифференциального уравнения

и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям при .

Решение. Составим характеристическое уравнение соответствующего однородного дифференциального уравнения

Тогда общее решение однородного уравнения имеет вид

.

Теперь находим частное решение исходного неоднородного уравнения. Так как правая часть

где и 0 – не корень характеристического уравнения, то

Подставим в исходное уравнение:

Отсюда получаем следующую систему:

Таким образом,

Общее решение исходного уравнения имеет вид

Используем начальные условия для определения произвольных постоянных и :

Получаем систему уравнений

Следовательно, частное решение исходного уравнения определяется формулой

Контрольная работа №2 (1 курс).

1. Среди 50 лотерейных билетов имеется 20 выигрышных. Какова вероятность того, что среди двух взятых наугад билетов окажется: а) хотя бы один выигрышный; б) хотя бы один невыигрышный?

Решение. Введем события:

А – среди двух взятых наугад билетов хотя бы один выигрышный;

В – среди двух взятых наугад билетов хотя бы один невыигрышный.

Тогда

– среди двух взятых наугад билетов ни одного выигрышного;

– среди двух взятых наугад билетов ни одного невыигрышного.

Пользуясь свойствами вероятности, получаем:

а)

б)

Ответ: а) 0,645; б) 0,845.

2. В магазин поступил одноименный товар, изготовленный двумя предприятиями. С первого предприятия поступило 150 единиц, из них 30 единиц первого сорта, а со второго предприятия − 200 единиц, из них 50 − первого сорта. Из общей массы товара наугад извлекается одна единица. Она оказалась первого сорта. Какова вероятность того, что она изготовлена на первом предприятии?

Решение. Пусть событие А – извлеченная наугад единица товара первого сорта.

Введем гипотезы:

единица товара изготовлена на первом предприятии;

единица товара изготовлена на первом предприятии.

Вероятности гипотез равны соответственно

Тогда по формуле полной вероятности получаем:

Используя формулу Байеса, находим вероятность того, что единица товара, оказавшаяся первого сорта, изготовлена на первом предприятии:

Ответ: 0,375.

3. Вычислить вероятность того, что при 5 подбрасываниях монеты герб выпадет: а) не менее трех раз; б) ни одного раза.

Решение. Используем формулу Бернулли

q = 1 − p,

для нахождения искомой вероятности (вероятность выпадение герба, , число подбрасываний):

а)

б)

Ответ: а) 0,5; б) 0,031.

4. Установлено, что третья часть покупателей желает приобрести модную одежду. Магазин посещает в среднем 800 человек в месяц. Найти: а) наивероятнейшее число покупателей, желающих приобрести модную одежду и вычислить соответствующую этому событию вероятность; б) вероятность того, что модную одежду приобретут от 250 до 280 покупателей.

Решение. а) Наивероятнейшее число наступления события определяется формулой:

По условию задачи:

Получаем:

или

б) Для нахождения вероятности того, что модную одежду приобретут от 250 до 280 покупателей, используем интегральную теорему Лапласа:

где функция Лапласа.

Находим:

5. Дан закон распределения дискретной случайной величины Х. Требуется:

а) определить математическое ожидание М(х), дисперсию D(х) и среднее квадратическое отклонение (х) случайной величины Х;

б) построить график этого распределения.

хi	0	1	2	3	4	5	6
pi	0,16	0,25	0,25	0,16	0,1	0,05	0,03

Решение. а) Математическое ожидание:

Дисперсия:

Среднее квадратическое отклонение;

Функцией распределения случайной величины Х называется функция F(x), выражающая вероятность того, что Х примет значение, меньшее чем х:

б) Функция распределения и её график имеют следующий вид: