,
0 выборе оптимальных сеток при приближенном вычислении квадратур
1. В настоящей работе рассматривается проблема нахождения оптимальных приближенных методов вычисления квадратуры
.
Приближенный метод включает в себя некоторую сетку 
, которая подразделяет отрезок [a,b] на частичные отрезки
длины 
и квадратурную формулу
(1)
степени s, т. е. такую, что
. (2)
Применение приближенного метода дает приближенное значение для 
, равное
.
Оптимальным приближенным методом назовем метод, для которого погрешность
минимальна при фиксированном числе узлов N и фиксированной функции 
из некоторого класса, который будет определен ниже.
При такой постановке задачи наиболее существенно то, что ищется приближенный метод, который был бы оптимальным для заданной подынтегральной функции. Задача построения оптимальных квадратур, рассматривавшаяся в работах [1,2] и др., ставилась по-другому: в этих работах строились квадратурные формулы, оптимальные для всех функций из заданного класса.
В дальнейшем формула (1) будет предполагаться фиксированной, так что выбор оптимального приближенного метода сведется к выбору оптимальной сетки, т. е. последовательности узлов 
, которая доставляет минимум функции 
или, что то же самое, функции
(3)
Итак, для построения оптимального приближенного метода нужно найти 
в замкнутом ( N-1)-мерном тетраэдре
. Для непрерывных в силу теоремы Вейерштрасса всегда достигается и, следовательно, оптимальная сетка всегда существует.
Следующий тривиальный пример показывает, что оптимальная сетка не всегда единственна. В самом деле, пусть 
вычисляется по формуле трапеций
, (4)
а N = 5. Ясно, что 
= 0, причем он достигается при 
, при
и т. д.
В п.2 будет показано, что если принадлежит классу 
такому, что 
и 
сохраняет знак на 
, то существует единственная оптимальная сетка (теорема 2), а также будет выведено разностное уравнение, связывающее последовательные узлы оптимальной сетки (теорема 1).
В п. 3 устанавливается, что оптимальная сетка, построенная в п. 2, может быть приближена сетками специального вида (теоремы 3 и 4), введенными и изученными в [3]. В п.4 обсуждается возможность использования оптимальные сеток для приближенного вычисления квадратур с заданной точностью 
и обосновывается применимость алгоритма, предложенного в [3].
2. Пусть подынтегральная функция . Докажем, что тогда на отрезке существует единственная оптимальная сетка для . Для этого нам потребуются две леммы.
Лемма 1. Пусть коэффициенты
, квадратурной формулы (1) удовлетворяют условиям (2) и пусть . Тогда остаточный член 
формулы (1) допускает представление в виде
, (5)
где
.
Функция 
, определенная при 
, непрерывна и сохраняет знак, причем 
монотонно убывает по 
и монотонно возрастает по 
.
3амечание. Если (1) - формула Ньютона - Котеса (т. е. 
), то аналогичная лемма доказана в [4].
Доказательство. По определению,
. (6)
Заменив здесь и 
разложениями
,
, после необходимых упрощений (с учетом условий
(2)) получим формулу (5).
В [3] было установлено, что
,
откуда следует, что если 
на 
, то
. Предположим, что не сохраняет знака на . Тогда найдется такая непрерывная 
, не обращающаяся в нуль за , что 
. Положив 
и восстановив , получим противоречие (
, хотя на ), которое показывает, что сохраняет знак на .
Сдвинув начало координат в точку , переведем в 
, где
,
Имеем
,
Следовательно, если 
, то 
, а 
. Лемма доказана.
Лемма 2. Если достигается во внутренней точке тетраэдра .
Доказательство. Пусть 
- некоторая внутренняя точка и пусть 
- проекция 
на грань 
(сетки, задаваемые точками и 
, обозначим, соответственно, через 
и 
сетка отличается от сетки тем, что у нее узлы 
и 
слились, так что отрезки 
и 
заменились одним отрезком 
).
Для доказательства леммы достаточно установить, что
или, в силу (3), что
.
Если , то все 
имеют одинаковый знак, так что
,
где
.
Имеем *
(7)
в силу леммы 1 ( так как 
). Лемма доказана.
Из леммы 2 следует, что для необходимое условие минимума 
имеет вид
(8)
Подставив в (8) выражение (3) для и выполнив дифференцирование, получим
(9)
Для уравнения (9) удобно следующее сокращенное обозначение
. (9¢)
Таким образом, нами установлена
Теорема 1. Если 
, то три любых последовательных узла 
оптимальной сетки удовлетворяют нелинейному разностному уравнению второго порядка (9).
Замечание. Если в качестве формулы (1) взять формулу трапеций (4), то уравнение (9) примет вид
который имеет простой геометрический смысл.
Теорема 2. Если , то существует единственная сетка , узлы 
которой удовлетворяют разностному уравнению (9).
Доказательство. Нам необходимо установить существование и единственность решения разностной краевой задачи
Переписав уравнение (9) в виде
и заменив в последнем соотношении 
, 
, разложениями по формуле Тейлора с центром в точке , получим после упрощений ( в обозначениях леммы 1)
или, учитывая, что ,
(10)
Зафиксируем 
и . Тогда в силу леммы 1 в левой части (10) стоит монотонно возрастающая функция , обращающаяся в нуль при 
. Постоянная, стоящая в правой части (10), положительна и пропорциональна 
. Следовательно, если 
достаточно мало, то (10) определяет единственное значение , причем 
будет тоже мало. Следовательно, задавшись достаточно малым 
, получим 
<b, причем возрастает с ростом 
. Следовательно, найдется такое 
, при котором =b, что в доказывает теорему.
Из теорем 1 и 2 следует, что для уравнение (9) определяет единственную сетку, которая доставляет минимум функции (то, что именно минимум, следует из вида ). Эту сетку мы будем в дальнейшем называть абсолютно оптимальной для функции и формулы (1).
3. Рассмотрим сетки специального вида, изучавшиеся в [3].
Пусть 
- непрерывно дифференцируемая положительная функция, удовлетворяющая условию
и пусть 
- некоторое действительное число.
Сетку
, узлы которой задаются соотношениями
назовем простейшей сеткой, а сетку 
, у которой
назовем усложненной сеткой с параметром и функцией 
распределения шагов.
В качестве оценочной функции для 
возьмем главный член асимптотического разложения по степеням и назовем оптимальной сетку, доставляющую минимум этому главному члену при фиксированном . Тогда, как показано в [3], оптимальная простейшая и оптимальная усложненная сетки будут определяться функцией распределения шагов
.
Теорема 3. Пусть 
- узлы абсолютно оптимальной сетки 
, а 
- узлы оптимальной усложненной сетки 
с параметром 
. Тогда имеют место оценки
Доказательство. В [3] доказано, что при оптимальная усложненная сетка содержит N+1 узел , причем эти узлы удовлетворяют уравнению
(11)
и граничным условиям 
, где 
.
По теореме о среднем из (10) (после сокращения на общий множитель) следует
,
, 
, откуда имеем
(12)
Введем обозначения: 
(разность вперед), 
(разность назад),
.
Тогда (11) и (12) запишутся в виде
(11¢)
. (12¢)
Пусть 
. Вычитая (11¢) из (12¢) , получим для 
(13)
где 
лежит между 
и 
, а 
- между и 
. Легко видеть, что 
, так что в силу [4] задача (13) имеет разностную функцию Грина с ограниченной первой разностью. Следовательно, 
.
Легко видеть, что
,
причем 
(это следует из (3), оценки для , полученной в [3], и оценки для ). Следовательно, в силу (3)
.
Теорема доказана.
Аналогично теореме 3 доказывается и
Теорема 4. Для узлов 
оптимальной простейшей сетки 
с параметром и для погрешности 
имеют место оценки
где С - постоянная, введенная в [3].
Из теорем 3 и 4 следует, что оптимальную простейшую и оптимальную усложненную сетки можно рассматривать как первое и второе приближение к абсолютно оптимальной.
4. Рассмотрим задачу о приближенном вычислении квадратуры с заданной точностью в предположении, что .
Пусть 
и - абсолютно оптимальные сетки, для которых выполняется условие
. (14)
Тогда сетка будет обеспечивать достижение точности и содержать наименьшее возможное число узлов.
Легко видеть, что определение N из условия (14) довольно затруднительно. С другой стороны, из теорем 3 и 4 следует, что если вместо абсолютно оптимальной сетки использовать оптимальную простейшую сетку или оптимальную усложненную сетку с соответствующим параметром (выбор параметра описан в [3] ), то абсолютно оптимальная сетка , где 
, если используется оптимальная усложненная сетка, и 
, если используется оптимальная простейшая сетка, будет удовлетворять условию (14). Что касается точности , то она будет в этом случае удовлетворяться асимптотически с точностью до величин 
.
В [3] показано, что при этом константа при 
в случае оптимальной усложненной сетки намного меньше, чем в случае оптимальной простейшей сетки. Таким образом, алгоритм, предложенный в [3], близок к оптимальному.
Литература
1. . Квадратурные формулы. М., Физматгиз, 1958.
2. . Наиболее точные квадратурные форм9, 53, 313-314.
3. . Об одном оптимальном алгоритме приближенного вычисления квадратур. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1969, 9, настоящий выпуск.
4. , . Об однородных разностных схемах. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1961,1, № 1, 5-63.
5. . Приближенное вычисление интегралов. М., «Наука», 1967.
* Для удобства принято обозначение 
; 
- гладкая функция, так как 
гладкая и сохраняет знак.
