Задачи

1) Вектором называется направленный отрезок -AB; точка A - начало, точка B - конец вектора. Если начало и конец вектора совпадают, то такой вектор называется нулевым. Векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых. Два коллинеарных вектора и называются сонаправленными, если их направления совпадают. Два коллинеарных вектора и называются противоположно направленными, если их направления противоположны. Векторы называются компланарными, если они параллельны одной плоскости или лежат в одной плоскости. Два вектора всегда компланарны. Длиной (модулем) вектора называется расстояние между его началом и концом. Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором или ортом. Векторы называются равными, если они лежат на одной или параллельных прямых; их направления совпадают и длины равны. Иначе говоря, два вектора равны, если они коллинеарны, сонаправлены и имеют равные длины. В произвольной точке M пространства можно построить единственный вектор MN, равный заданному вектору AB. Линейными операциями над векторами называются операции сложения векторов и умножения вектора на число. Сложение векторов и осуществляется по правилу треугольника. Суммой двух векторов и называют такой третий вектор, начало которого совпадает с началом, а конец - с концом при условии, что конец вектора и начало вектора совпадают. Правило параллелограмма - если два неколлинеарных вектора и привести к общему началу, то вектор совпадает с диагональю параллелограмма, построенного на векторах. начало вектора совпадает с началом заданных векторов. Вектор называется противоположным вектором к вектору, если он коллинеарен вектору, равен ему по длине, но направлен в противоположную сторону вектору.

2) Базисом на плоскости называются два любых линейно независимых вектора. Из теоремы 2 (см. п. 4) следует, что два любых неколлинеарных вектора образуют базис. Из теоремы 2 (см. п. 4) следует, что два любых неколлинеарных вектора образуют базис. Пусть a любой вектор на плоскости, а векторы и образуют базис. Так как на плоскости всякие три вектора линейно зависимы, то вектор линейно выражается через векторы базиса, т. е. выполняется соотношение/Если вектор a представлен в виде (3), то говорят, что он разложен по базису образованному векторами b и c. Числа и называют координатами вектора на плоскости относительно базиса b и c. Базисом в пространстве называются три любых линейно независимых вектора. Из теоремы 2 (см. п. 5) следует, что три любых некомпланарных вектора образуют базис. Как и в случае плоскости, устанавливается, что любой вектор разлагается по векторам, и причем это разложение единственное. Числа, , называют координатами вектора в пространстве относительно базиса, и. Основное значение базиса состоит в том, что линейные операции над векторами при задании базиса становятся обычными линейными операциями над числами - координатами этих векторов.

3) Декартова (ортонормированная) система координат – это прямоугольная система координат, в которой единицы измерения по всем осям равны друг другу. Направляющие косинусы вектора (в пространстве) – это косинусы углов, которые вектор образует с положительными полуосями координат. Направляющие косинусы однозначно задают направление вектора. Если вектор имеет длину 1, то его направляющие косинусы равны его координатам. В общем случае для вектора с координатами (a; b; c) направляющие косинусы равны:

где a, b, g – углы, составляемые вектором с осями x, y, z соответственно. Сумма квадратов направляющих косинусов равна 1.

4) Скалярным произведением двух векторов и называется число, обозночаемое и равное произведению модулей данных векторов на косинус угла между ними:

a•b=|a|•|b|•cos(a^b)

где (a^b) обозначает меньший угол между направлениями векторов a и b. Отметим, что всегда(0≤a^b≤π).

Основные свойства скалярного произведения векторов:

1. a •b = b• a;

2. (λa)•b= •(λb) = λ (a•b);

3. a•(b+с) = a•b+a•с;

4. a•b = | a | прa b = |b| прb| a |;

5. a • a = | a |²;

6. a • b = 0, если a ┴ b.

Если a =(x1, y1, z1), b =(x2, y2, z2), то в базисе (i, j, k):

a • b = x1x2+ y1y2 +z1z2, | a | = √x1²+ y1²+ z1², | b | = √x2²+ y2²+ z2².

Определение: Два вектора Евклидова пространства называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.

Определение: Базис Евклидова пространства l1, l2, ... ,ln называется ортонормированным, если векторы l1, l2, ... ,ln попарно ортогональны и длина каждого вектора равна 1, т. е.Пусть вектора x, y заданы своими координатами в ортонормированном базисе l1, l2, ... ,ln:

х =(α1, α2,… αn)= α1 l1+ α2 l2+ ... +αn ln, у = (β1, β2, … βn)= β1 l1+ β2l2+…+βn ln.

Найдем их скалярное произведение:

x•y=(α1, α2,… αn)•(β1, β2, … βn)= (α1 l1+ α2 l2+ ... +αn ln)•( β1 l1+ β2l2+…+βn ln)= α1 l1 •β1 l1+ α1 l1 •β2l2+…+ α1 l1 •βn ln+ α2 l2 •β1 l1+ α2 l2 •β2l2+…+

+α2 l2 •βn ln+…+ αn ln •β1 l1+ αn ln •β2l2+…+ αn ln •βn ln=α1 β1 ( l1 • l1)+ α1 β2(l1 •l2)+…+ α1 βn ( l1 •ln)+ α2 β1(l2 •l1)+ α2 β2(l2 •l2)+…+

+ α2 βn ( l2 •ln)+…+ αn β1(ln •l1)+ αn β2( ln •l2)+…+ αn βn(ln •ln)=(учтем, что вектора l1, l2, ... ,ln – ортонормированный базис)=α1 β1+ α2 β2+…+ αn βn.

Т. о. скалярное произведение в ортонормированном базисе равно сумме произведений соответствующих координат.

5) Три некомпланарных вектора a b c , приведенных к общему началу, образуют так называемую связку трех векторов (или тройку векторов).

Тройка векторов a b c называется упорядоченной, если четко сказано, какой вектор в ней идет первым, и так далее.

Тройка векторов, и называется левой, если поворот от вектора a к векторуb , видимый с конца третьего вектора c , осуществляется по ходу часовой стрелки

Тройка векторов, и называется правой, если поворот от вектора к вектору, видимый с конца третьего вектора, осуществляется против хода часовой стрелки.

Векторным произведением векторов a и b называется вектор c, который определяется следующими условиями:

1) Его модуль равен ab*sin(fi) где fi - угол между векторами a и b

2) Вектор c перпендикулярен к плоскости, определяемой перемножаемыми векторами a и b.

3) Вектор c направлен так, что наблюдателю, смотрящему с его конца на перемножаемые векторы a и b, кажется, что для кратчайшего совмещения первого сомножителя со вторым первый сомножитель нужно вращать против часовой стрелки

Основные свойства векторного произведения:

1) Векторное произведение ab равно нулю, если векторы a и b коллинеарны или какой-либо из перемножаемых векторов является нулевым.

2) При перестановке местами векторов сомножителей векторное произведение меняет знак на противоположный

Векторное произведение не обладает свойством переместительности.

6)

Свойства:

7)

Комплексно-сопряженное число может быть получено путем изменения знака мнимой части у исходного числа. [1]

Комплексно-сопряженные числа обладают двумя полезными свойствами. Во-первых, сопряженное произведению есть произведение сопряженных сомножителям. [2]

Произведения комплексно-сопряженных чисел xfxt, как известно, вещественные и положительные. [3]

Так как комплексно-сопряженные числа отличаются только мнимой частью, они оба являются левыми или оба являются правыми. [4]

Используя свойства комплексно-сопряженных чисел, можно легко показать, что если число Z - - u i является корнем многочлена, то и число Z2 - а ] ( также является корнем этого многочлена. [5]

Черта сверху означает комплексно-сопряженное число.

8)

2