ГЛАВА 13
МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ПОСТОЯННОГО ТОКА
Теоретические положения
Закон полного тока:
. (13.1)
Закон Био-Савара:
. (13.2)
Закон Ампера:
. (13.3)
Зависимость между магнитной индукцией и напряженностью магнитного поля (изотропные среды):
, (13.4)
где 
Гн/м – магнитная постоянная;
– относительная магнитная проницаемость.
Интенсивность намагничивания:
, (13.5)
где 
– относительная магнитная восприимчивость.
Первое уравнение Максвелла для постоянных токов:
(13.6)
где 
– абсолютная магнитная проницаемость.
Зависимость между напряженностью магнитного поля и векторным потенциалом:
(13.7)
Векторный потенциал магнитного поля:
. (13.8)
Основные уравнения магнитного поля:
(13.9)
Граничные условия в магнитном поле:
(13.10)
где 
– поверхностная плотность тока.
Энергия магнитного поля:
. (13.11)
Магнитный поток:
. (13.12)
Соленоидальность магнитного поля:
(13.13)
Векторный потенциал линейного тока:
. (13.14)
Примеры решения задач
Задача 13.1
По неограниченно длинному стальному проводнику (рис. 13.1) радиусом 
мм с относительной магнитной проницаемостью 
течет ток 
А.
Определить магнитную индукцию в точках 
и 
, находящихся соответственно на расстоянии от оси проводника 
мм и 
мм.
Решение
Используя закон полного тока в интегральной форме
,
и учитывая, что 
на окружности радиусом r, получаем
, 
.
Отсюда индукция
,
здесь 
– ток, охватываемый контуром интегрирования.
Для точки , расположенной внутри проводника,
и
Тл.
Для точки , расположенной вне проводника, величина 
. Учитывая, что у воздуха 
, получаем
Тл.
Задача 13.2
Вдоль стальной трубы (
) с внутренним радиусом см и наружным 
см течет постоянный ток 
А (рис. 13.2). Построить график зависимости напряженности магнитного поля H на расстоянии r от оси трубы.
Решение
Выведем формулы для определения напряженности поля H во внутренней полости трубы, в теле трубы и снаружи трубы, для чего воспользуемся законом полного тока в интегральной форме:
,
где – ток, охваченный контуром интегрирования.
Учитывая, что на окружности радиусом r с центром на оси трубы, получим
, .
Окружность радиуса 
не охватывает тока, поэтому во внутренней полости трубы магнитное поле отсутствует 
.
Контур интегрирования радиусом 
охватывает ток
,
где 
– площадь поперечного сечения трубы,
– площадь с током, охваченная контуром интегрирования.
Тогда
.
Снаружи трубы (
) контур интегрирования охватывает ток и напряженность поля убывает по гиперболическому закону
.
Максимальное значение напряженности имеет место на внешней поверхности трубы:
А/м.
График распределения напряженности приведен на рис. 13.3.
 |
Задача 13.3
Провод с постоянным током 
А находится на оси стальной трубы с относительной магнитной проницаемостью 
. Радиус провода 
см. Внутренний радиус трубы 
см, внешний радиус 
см (рис. 13.4).
Определить напряженность и магнитную индукцию в точках 
см, 4,5 см.
Решение
Используя закон полного тока в интегральной форме:
,
и учитывая, что на окружности радиусом r, получаем
и 
.
Тогда при см
А/м,
Тл,
при 
см
А/м,
Тл.
Задача 13.4
Плита состоит из двух частей – стальной и чугунной, плотно прилегающих друг к другу (рис. 13.5). Абсолютные магнитные проницаемости чугуна и стали соответственно 
Гн/м, 
Гн/м.
Определить величину напряженности магнитного поля в стали 
, если магнитная индукция в чугуне 
Тл; 
.
Решение
Известно, что граничные условия в магнитном поле имеют вид
, (13.15)
. (13.16)
Следствием этих двух условий является равенство
. (13.17)
Перепишем (13.15) в виде
,
откуда
.
Угол 
определяем из (13.17):
.
Окончательно
А/м.
Задача 13.5
На ферромагнитный сердечник тороидальной формы с прямоугольным сечением намотана обмотка с числом витков 
и током 
А (рис. 13.6).
Определить величину магнитного потока и индуктивность катушки, если 
см, 
см, 
, толщина сердечника 
см.
Решение
Для определения магнитного потока воспользуемся выражением
,
а величину индукции найдем из закона полного тока в интегральной форме
.
Учитывая, что на окружности радиусом r, получаем
,
.
Отсюда
.
Тогда
,
.
Учитывая, что
,
получаем
.
Окончательно
Вб,
Гн.
Задача 13.6
Определить внутреннюю индуктивность уединенного провода из меди (
) и стали (
) длиной 2 м радиусом 
мм (рис. 13.7).
Решение
Внутренняя индуктивность одиночного провода
,
где 
ток в проводе,
.
Для определения 
найдем ток , протекающий через часть проводника радиусом r:
.
Поэтому, если с полным током I сцеплен поток Ф, то с током сцеплен магнитным поток
.
Отсюда приращение магнитного потока, пронизывающего площадку 
, равно
.
Поскольку мы рассматриваем одиночный провод, то
.
Величина
.
Напряженность H найдем с помощью закона полного тока:
,
или
,
откуда
.
Тогда
и 
.
Окончательно имеем
.
Отсюда индуктивность
.
Таким образом, величина 
не зависит от диаметра провода. Индуктивность медного провода
Гн.
Индуктивность стального провода
Гн.
Задача 13.7
Определить индуктивность коаксиального медного кабеля с радиусом жилы 
и радиусами оболочки 
и 
(рис. 13.8),считая, что плотность тока постоянна как в жиле, так и в оболочке. Длина кабеля 
м, мм, 
мм, 
мм.
Решение
Найдем индуктивность кабеля из выражения для энергии
,
вычислив предварительно энергию магнитного поля на единицу длины кабеля:
,
где V – объем на единицу длины.
Определим напряженность поля H, применив закон полного тока в интегральной форме. При 
получаем (см. задачу 13.6)
;
при 
(см. задачу 13.1)
;
при 
(см. задачу 13.2)
.
Тогда
.
Индуктивность кабеля на единицу длины
.
Первое слагаемое обусловлено магнитным полем внутри жилы, второе – полем между оболочкой и жилой, два последних – полем внутри оболочки.
Гн/м.
Индуктивность кабеля длиной 1 км
Гн.
Задача 13.8
Проволочная рамка в виде квадрата с числом витков 
находится в воздухе в одной плоскости с длинным проводом с током (рис. 13.9). Определить взаимную индуктивность M между проводом и рамкой, если 
см, 
см, 
см.
Решение
Взаимная индуктивность
,
где Ф – магнитный поток, пронизывающий рамку
.
Элементарный магнитный поток, пронизывающий площадку 
,
.
Магнитная индукция B за пределами проводника с током (см. задачу 13.1)
.
Тогда
и
Гн.
Задача 13.9
Найти разность скалярных магнитных потенциалов между точками A и B, расположенными в магнитном поле линейного тока. 
А, 
см (рис. 13.10).
Решение
.
Напряженность поля H на расстоянии r от линейного тока (см. задачу 13.1)
.
Тогда
А.
Задача 13.10
Индуктивность однослойной короткой катушки на низкой частоте приближенно определяется выражение
Гн,
где r – радиус витков, l – длина катушки, w – число витков.
Определить силу, стремящуюся сжать катушку, и силу, стремящуюся разорвать витки катушки, при токе 
А, если 
м, 
м, .
Решение
Сила определяется как частная производная энергии поля по координате перемещения
.
Сила, стремящаяся уменьшить размер l (сжать катушку):
Н.
Сила, стремящаяся разорвать витки катушки:
Н.
Задача 13.11
Полый шар с радиусом стенок и , выполненный из материала с относительной магнитной проницаемостью 
, помещен во внешнее однородное магнитное поле с индукцией 
(рис. 13.11). Определить индукцию B в полости шара, если 
.
Решение
Экранирующее действие шара определяется тем, что линии магнитной индукции внешнего поля, стремясь пройти по пути с наименьшим магнитным сопротивлением, сгущаются внутри стенок экрана, почти не проникая в его полость.
Величина индукции в полости шара [2]
,
т. е. индукция внутри экрана составляет 3% от индукции внешнего поля.
Задача 13.12
Цилиндрический экран с радиусами стенок 
см, 
см, выполненный из материала с относительной магнитной проницаемостью 
, помещен во внешнее магнитное поле напряженностью 
(рис. 13.12). Определить напряженность поля 
во внутренней полости цилиндра.
Решение
Напряженность внутри цилиндра может быть приближенно рассчитана по формуле [3]
,
т. е. напряженность поля внутри экрана составляет всего 0,23% от напряженности внешнего поля.
Задача 13.13
Внутри длинной многослойной цилиндрической катушки расположен соосно магнитомягкий ферритовый цилиндрический сердечник (рис. 13.13). Известны геометрические размеры 
, 
, 
, 
; число витков катушки w; магнитная проницаемость сердечника 
(
Гн/м – магнитная проницаемость вакуума).
Рассчитать приближенно индуктивность катушки с сердечником.
Общие сведения
Потокосцепление катушки с сердечником представим в виде суммы
,
где 
– потокосцепление катушки с током без сердечника, 
– приращение потокосцепления катушки, обусловленное намагниченностью сердечника J. Тогда
,
где 
– индуктивность катушки без сердечника,
– приращение индуктивности катушки за счет увеличения потокосцепления, обусловленного намагниченностью сердечника.
Решение
1. Рассчитаем 
. Так как катушка длинная, приближенно можно считать, что магнитное поле внутри катушки однородно, а векторы напряженности 
и индукции 
направлены вдоль оси катушки и имеют значения
,
.
Эти выражения вытекают из закона полного тока в предположении, что выполняется условие: 
.
Тогда
,
где 
– магнитный поток, с которым, будем считать, сцепляются все витки катушки (такое допущение является приближенным). Расчет по этой приближенной формуле дает несколько завышенное значение индуктивности. Более точный расчет и 
в центре соленоида (точка А на рис. 13.13) дает формула [3]
,
которая при 
и 
имеет вид
.
Последняя формула была использована выше.
2. Рассчитаем 
. Для приближенного расчета цилиндрический сердечник заменим эллипсоидом вращения (показан пунктиром на рис. 158), длинная полуось его равна 
, которая равна . Известно, что эллипсоид вращения в однородном магнитном поле намагничивается однородно, т. е. результирующее магнитное поле внутри него имеет одно и то же значение индукции, которое пропорционально внешнему полю (в данном случае полю ). Тогда, используя теорему о потоке [5], можно записать
.
Для случая эллипсоида вращения () в однородном поле [5]
,
где N – коэффициент размагничивания, 
– относительная магнитная проницаемость сердечника (
).
Коэффициент N рассчитывается по формуле [6]
, (13.18)
где 
.
Следовательно,
.
Таким образом,
. (13.19)
Пусть 
мм, 
мм, , 
мм, 
мм. Для данного соотношения 
из (13.18) получаем 
. Расчет по формуле (13.19) дает следующий результат:
Гн.
Как видно из результатов расчета, введение сердечника в катушку увеличивает ее индуктивность почти в шесть раз.
Задача 13.14
Определить заряд Земли Q. Радиус Земли 
км, напряженность у поверхности Земли 
В/см.
Решение
Напряженность поля заряда Земли на ее поверхности
.
Тогда заряд Земли
Кл.
Задача 13.15
Полусферический заземлитель радиусом 
м погружен в землю (проводимость 
См/м) вровень с ее поверхностью (рис. 13.14). Ток ( А) стекает через заземлитель в землю и растекается по ее толще, чтобы собраться у другого электрода заземлителя, расположенного на значительном расстоянии от первого электрода. Определить сопротивление растеканию 
и напряжение шага 
, под которым может оказаться человек, приближающийся к заземлителю. Длину шага 
считать равной 1 м.
Решение
По условию симметрии ток будет равномерно растекаться во все стороны. Линии вектора плотности тока J радиальны и нормальны по отношению к полусферической поверхности.
На расстоянии r от центра значение плотности тока
.
В той же точке напряженность электрического поля определяется по закону Ома:
.
Напряжение между любой точкой почвы на расстоянии 
и поверхностью заземлителя
.
При выборе пути интегрирования по радиусу
.
При 
напряжение стремится к пределу
.
Это предельное напряжение называется напряжением растекания. Тогда сопротивление растеканию
Ом.
Шаговое напряжение
будет максимальным вблизи заземлителя (при 
):
.
Подставив данные, получаем
В,
что смертельно опасно для жизни.
Задача 13.16
Определить сопротивление растеканию заземлителя, выполненного в виде стальной трубы длиной 
м, радиусом 
см, забитой в землю перпендикулярно ее поверхности. Полагать, что второй электрод находится в бесконечности, удельная проводимость земли См/м.
Решение
Картина поля заземлителя показана на рис. 13.15. Сопротивление растеканию [12]
Ом.
