Сборник заданий на курсовую работу по дисциплине «Оптимальное управление ЛА»

ФЕДОРОВ А. В.

Сборник заданий

на курсовую работу

по дисциплине «Оптимальное управление ЛА»

(8 семестр).

Утверждено

На заседании кафедры

«_____»___________2007 г.

Протокол №

1. Вертикальная посадка КА на планету.

КА должен совершить мягкую посадку на планету с использованием только силы тяги двигателя.

Рассматривается движение в вертикальной плоскости при действии только сил тяжести и тяги двигателя.

Сила тяжести направлена по нормали к плоской поверхности планеты.

Силу тяги двигателя, направленную вертикально вверх, можно регулировать по величине изменением секундного расхода топлива.

Математическая модель движения ЛА

,

,

, ,

где h – высота;

m – масса КА;

P – сила тяги двигателя;

J – удельный импульс;

β – секундный расход топлива;

βm – максимально возможный расход топлива;

g – ускорение силы тяжести;

g0 – ускорение силы тяжести на поверхности планеты;

RP – радиус планеты.

В начальный момент времени известны:

– высота

– вертикальная скорость

– масса КА

– запас топлива

Найти программу управления секундным расходом топлива, которая обеспечивает мягкую посадку на Луну при минимальном расходе топлива.

2. Программирование управления спуском с орбиты.

Летательный аппарат совершает посадку на планету (Луна, астероид) с облетной орбиты по траектории в плоскопараллельном гравитационном поле. ЛА оснащен нерегулируемым маршевым двигателем.

В начальный момент времени ЛА находится в перицентре облетной орбиты. известны высота, скорость, масса конструкции и масса топлива на борту.

В момент касания поверхности планеты вертикальная и горизонтальная составляющие скорости должны быть в допустимых пределах.

Модель движения

где h – высота;

m – масса ЛА;

P – сила тяги двигателя;

J – удельный импульс;

β – секундный расход топлива;

βm – максимально возможный расход топлива;

g – ускорение силы тяжести;

g0 – ускорение силы тяжести на поверхности планеты;

RP – радиус планеты.

Критерий оптимальности – расход топлива (максимум конечной массы).

С помощью необходимых условий оптимальности найти программу управления , доставляющую минимум критерию оптимальности при заданных граничных условиях.

3. Параметрическая оптимизация управления спуском с орбиты

Летательный аппарат совершает посадку на планету с эллиптической орбиты в плоскопараллельном гравитационном поле. ЛА оснащен нерегулируемым маршевым двигателем.

В начальный момент времени ЛА находится в перицентре облетной орбиты. известны высота, скорость, масса конструкции и масса топлива на борту.

В момент касания поверхности планеты вертикальная и горизонтальная составляющие скорости должны быть в допустимых пределах.

Модель движения

где h – высота;

m – масса ЛА;

P – сила тяги двигателя;

J – удельный импульс;

β – секундный расход топлива;

βm – максимально возможный расход топлива;

g – ускорение силы тяжести;

g0 – ускорение силы тяжести на поверхности планеты;

RP – радиус планеты.

Программа управления задана в параметрической форме , где , , – неизвестные параметры.

Критерий оптимальности – расход топлива (максимум конечной массы).

Найти решение - параметры , , , при которых затраты топлива минимальны с учетом краевых условий.

Для решения использовать методы нулевого порядка.

Выбрать наиболее эффективный метод

4. Синтез системы стабилизации

Угловое движение ЛА относительно связанной оси Z (тангаж) с достаточной степенью точности можно представить уравнением моментов

,

,

где – угол тангажа;

α – угол атаки;

θ – угол наклона траектории;

δ – угол отклонения руля: ;

– угловая скорость вращения вокруг оси Z;

– момент инерции;

, , – частные производные момента относительно оси Z по соответствующим переменным.

Упрощения: собственное демпфирование мало : .

Угол наклона траектории изменяется очень медленно.

Найти закон управления углом δ, который обеспечит минимальное время регулирования при условиях .

5. Синтез системы стабилизации

Угловое движение ЛА относительно связанной оси Z (тангаж) с достаточной степенью точности можно представить уравнением моментов

,

,

где – угол тангажа;

α – угол атаки;

θ – угол наклона траектории;

δ – угол отклонения руля: ;

– угловая скорость вращения вокруг оси Z;

– момент инерции;

, , – частные производные момента относительно оси Z по соответствующим переменным.

Упрощения: собственное демпфирование мало : . Угол наклона траектории изменяется очень медленно.

Найти закон управления углом δ, который обеспечит минимальное время регулирования при условиях , .

6. Синтез системы стабилизации

Угловое движение ЛА относительно связанной оси Z (тангаж) с достаточной степенью точности можно представить уравнением моментов

,

,

где – угол тангажа;

α – угол атаки;

θ – угол наклона траектории;

δ – угол отклонения руля: ;

– угловая скорость вращения вокруг оси Z;

– момент инерции;

, , – частные производные момента относительно оси Z по соответствующим переменным.

Упрощения: собственное демпфирование мало : . Угол наклона траектории изменяется очень медленно.

Найти закон управления углом δ, который обеспечит минимум критерия

.

7. Программирование оптимального управления КА.

Необходимо перевести КА из одной точки круговой орбиты с радиусом r0 в другую, считая при этом, что на КА имеется двигательная установка малой тяги, способная создавать управляющее ускорение по нормали к радиус-вектору.

Исходные уравнения движения заданы в полярной системе координат:

где r – радиус-вектор; φ – угловая полярная координата; VR, VT – радиальная и трансверсальная составляющие скорости; μ – гравитационная постоянная Земли: fT – управляющее ускорение.

Полагая, что в процессе перевода отклонения , , , фазовых координат r, VR, VT от соответствующих значений r0, , VR=0, на круговой орбите радиуса достаточно малы, линеаризуйте уравнения и приведите модель движения в отклонениях к виду

,

где , u = fT. Начальное состояние по условию задачи – нулевой вектор.

Терминальное состояние определяется вектором , - заданное угловое расстояние;

Т – длительность процесса перевода подлежит определению.

Оптимальное управление u(t) должно обеспечить выполнение терминальных условий и минимизировать критерий, характеризующий энергетические затраты

.

Терминальные требования аппроксимировать квадратичным штрафом.

Примечание. В уравнениях движения целесообразно перейти к безразмерным переменным с использованием соотношений:

, , , , где .

8. Программирование оптимального управления КА.

Необходимо перевести КА из одной точки круговой орбиты с радиусом r0 в другую, считая при этом, что на КА имеется двигательная установка малой тяги, способная создавать управляющее ускорение по нормали к радиус-вектору.

Исходные уравнения движения заданы в полярной системе координат:

где r – радиус-вектор; φ – угловая полярная координата; VR, VT – радиальная и трансверсальная составляющие скорости; μ – гравитационная постоянная Земли: fT – управляющее ускорение по касательной к орбите; fR – управляющее ускорение по радиусу орбиты;

Полагая, что в процессе перевода отклонения , , , фазовых координат r, VR, VT от соответствующих значений r0, , VR=0, на круговой орбите радиуса достаточно малы, линеаризуйте уравнения и приведите модель движения в отклонениях к виду

,

где , u =( fК, fT).

Начальное состояние по условию задачи – нулевой вектор.

Терминальное состояние определяется вектором , - заданное угловое расстояние;

Т – длительность процесса перевода подлежит определению.

Оптимальное управление - вектор u(t) должно обеспечить выполнение терминальных условий и минимизировать критерий

.

Примечание. В уравнениях движения целесообразно перейти к безразмерным переменным с использованием соотношений:

, , , , где .

9. Синтез оптимального управления КА.

Необходимо перевести КА из одной точки круговой орбиты с радиусом r0 в другую, считая при этом, что на КА имеется двигательная установка малой тяги, способная создавать управляющее ускорение по нормали к радиус-вектору.

Исходные уравнения движения заданы в полярной системе координат:

где r – радиус-вектор; φ – угловая полярная координата; VR, VT – радиальная и трансверсальная составляющие скорости; μ – гравитационная постоянная Земли: fT – управляющее ускорение.

Полагая, что в процессе перевода отклонения , , , фазовых координат r, VR, VT от соответствующих значений r0, , VR=0, на круговой орбите радиуса достаточно малы, линеаризуйте уравнения и приведите модель движения в отклонениях к виду

,

где , u = fT. Начальное состояние по условию задачи – нулевой вектор.

Терминальное состояние определяется вектором , - заданное угловое расстояние;

Т – длительность процесса перевода подлежит определению.

Оптимальное управление u(x) должно обеспечить выполнение терминальных условий и минимизировать критерий, характеризующий энергетические затраты

.

Терминальные требования аппроксимировать квадратичным штрафом.

Примечание. В уравнениях движения целесообразно перейти к безразмерным переменным с использованием соотношений:

, , , , где .

10. Синтез оптимального управления орбитой КА.

Необходимо перевести КА из одной точки круговой орбиты с радиусом r0 в другую, считая при этом, что на КА имеется двигательная установка малой тяги, способная создавать управляющее ускорение по нормали к радиус-вектору.

Исходные уравнения движения заданы в полярной системе координат:

где r – радиус-вектор; φ – угловая полярная координата; VR, VT – радиальная и трансверсальная составляющие скорости; μ – гравитационная постоянная Земли: fT – управляющее ускорение по касательной к орбите; fR – управляющее ускорение по касательной к орбите;

Полагая, что в процессе перевода отклонения , , , фазовых координат r, VR, VT от соответствующих значений r0, , VR=0, на круговой орбите радиуса достаточно малы, линеаризуйте уравнения и приведите модель движения в отклонениях к виду

,

где , u =( fК, fT).

Начальное состояние по условию задачи – нулевой вектор.

Терминальное состояние определяется вектором , - заданное угловое расстояние;

Т – длительность процесса перевода подлежит определению.

Оптимальное управление - вектор u(x) должно обеспечить выполнение терминальных условий и минимизировать критерий

.

Примечание. В уравнениях движения целесообразно перейти к безразмерным переменным с использованием соотношений:

, , , , где .

11. Перелет между некомпланарными орбитами

Космический аппарат, оснащенный нерегулируемым двигателем малой тяги, должен совершить некомпланарный перелет с низкой круговой на высокую круговую орбиту, имеющие разные наклонения плоскости к экватору. Двигатель в процессе перелета работает постоянно.

В течение одного оборота вокруг Земли вектор тяги в пространстве постоянно ориентирован так, что создается управляющее ускорение вдоль переходной орбиты и по нормали к ее плоскости. При этом переходная траектория представляет собой раскручивающуюся спираль. Переходную траекторию аппроксимируем последовательностью круговых орбит радиуса rk

Уравнения движения в безразмерных переменных для рассматриваемого случая имеют следующий вид[1]

где – безразмерный радиус в начале k-го витка; ik – наклонение к плоскости экватора;

Vk – безразмерная круговая скорость; tk – безразмерное время.

Заметим, что есть безразмерный период обращения на k –м витке.

Требуется определить последовательность , и число N, которые доставляют минимум времени перелета (при постоянно работающем двигателе это эквивалентно минимизации затрат топлива) при следующих терминальных условиях:

, , ,

где r* и i* – заданные значения безразмерного радиуса конечной орбиты и наклонения.

Для учета терминальных требований рекомендуется ввести в рассмотрение квадратичный штраф

,

где , , – весовые множители.

Начальные условия: ; i1 = 60о;

Конечная орбита: r* = 2…6; i* = 0..50о;

Безразмерное ускорение a = 0.0001…0.001.

12. Разгон до параболической скорости при минимальном времени работы ДУ

Космический аппарат, оснащенный нерегулируемым двигателем малой тяги, стартует с начальной круговой орбиты и должен разогнаться до параболической скорости.

Уравнения движения в безразмерных переменных имеют вид[2]:

где r – радиус; u – радиальная скорость; v – трансверсальная скорость; φ – полярный угол, a – постоянное реактивное ускорение; λ – угол, определяющий ориентацию вектора тяги двигателя в плоскости орбиты; tM – моторное время;

.

Требуется найти функции и , которые обеспечивают минимум времени работы двигателя при заданном времени разгона tk и при условии достижения параболической скорости в момент времени t = tk: .

13. Оптимизация траектории движения носителя

Допущения: – аэродинамические силы отсутствуют;

– гравитационное поле – плоско-параллельное;

– Земля не вращается.

Модель движения в начальной стартовой системе координат:

,

где h – высота;

m – масса ЛА;

P – сила тяги двигателя;

J – удельный импульс;

β – секундный расход топлива;

βm – максимально возможный расход топлива;

g – ускорение силы тяжести;

g0 – ускорение силы тяжести на поверхности планеты;

RP – радиус планеты.

Используя необходимые условия оптимального управления, найти программы управления вектором тяги и расходом топлива, , которые обеспечат максимум горизонтальной скорости на заданной высоте y* при минимальных затратах топлива.

14. Оптимизация траектории движения носителя

Допущения: – аэродинамические силы отсутствуют;

– гравитационное поле – плоско-параллельное;

– Земля не вращается.

Модель движения в начальной стартовой системе координат:

,

где h – высота;

m – масса ЛА;

P – сила тяги двигателя;

J – удельный импульс;

β – секундный расход топлива;

βm – максимально возможный расход топлива;

g – ускорение силы тяжести;

g0 – ускорение силы тяжести на поверхности планеты;

RP – радиус планеты.

Программа управления задана в параметрической форме .

Требуется найти параметры , , при которых достигается максимум горизонтальной скорости на заданной высоте y* при минимальных затратах топлива.

15. Выведение на орбиту

Допущения: – аэродинамические силы отсутствуют;

– гравитационное поле – центральное;

– Земля не вращается.

Модель движения , , ; , .,

где R0 – радиус сферической Земли;

μ – гравитационная постоянная;

m – масса топлива;

m0 – масса сухого ЛА;

P – сила тяги двигателя;

J – удельный импульс;

β – секундный расход топлива;

βm – максимально возможный расход топлива;

h – высота над поверхностью сферической Земли.

g0 – ускорение силы тяжести на поверхности Земли

В конечный момент времени КА должен быть выведен на круговую орбиту заданного радиуса R* при минимальном расходе топлива.

Найти программу управления углом тангажа, используя необходимые условия оптимального управления.

16. Выведение на орбиту

Допущения: – аэродинамические силы отсутствуют;

– гравитационное поле – центральное;

– Земля не вращается.

Модель движения , , ; , .,

где R0 – радиус сферической Земли;

μ – гравитационная постоянная;

m – масса топлива;

m0 – масса сухого ЛА;

P – сила тяги двигателя;

J – удельный импульс;

β – секундный расход топлива;

βm – максимально возможный расход топлива;

h – высота над поверхностью сферической Земли.

g0 – ускорение силы тяжести на поверхности

В конечный момент времени КА должен быть выведен на круговую орбиту заданного радиуса R* при минимальном расходе топлива.

Программа управления углом тангажа задана в параметрической форме

.

Следует найти неизвестные параметры , , сведением исходной задачи программирования управления к задаче нелинейного программирования.

17. Перевод КА в заданное положение на орбите

Космический аппарат орбитальной группировки необходимо перевести в новое место орбитальной структуры. Перевод осуществляется в плоскости опорной круговой орбиты импульсами тяги, прикладываемыми по касательной к орбите. Можно считать, что переходная орбита остается близкой к круговой, а состояние КА можно характеризовать двумя координатами:

x1 = Δφ – отклонение аргумента широты КА от требуемого при прохождении характерной точки орбиты, например – восходящего узла;

x2 – скорость дрейфа, численно равная изменению аргумента широты за один драконический период (т. е. между двумя проходами восходящего узла) опорной орбиты.

При импульсной коррекции орбиты математическую модель можно представить в виде

, ,

где N – количество коррекций; – интервал времени (измеряется в оборотах) между коррекциями; uk – величина k-го импульса скорости дрейфа; μk – гауссовская центрированная случайная величина с дисперсией . Статистические характеристики переменных начального состояния заданы.

Цель управления – выполнить терминальные требования

,

при минимальных затратах топлива.

Критерий оптимальности и ограничения аппроксимируем квадратичными функционалами[3].

Найти управление , которое обеспечивает минимум энергетических затрат

при условии ,

где ; , , – константа, выбираемая так, чтобы терминальные требования выполнялись бы с достаточной вероятностью.

Для решения задачи ввести критерий Лагранжа .

Исследовать зависимости и при различных N.

Длительности пассивных участков могут быть произвольными положительными (заданы).

18. Разгон КА до параболической скорости за минимальное время.

Космический аппарат, оснащенный нерегулируемым двигателем малой тяги, стартует с начальной круговой орбиты и должен разогнаться до параболической скорости за минимально возможное время.

Уравнения движения в безразмерных переменных имеют вид[4]:

где r – радиус; u – радиальная скорость; v – трансверсальная скорость; φ – полярный угол, λ – угол, определяющий ориентацию вектора тяги двигателя в плоскости орбиты; – начальное ускорение; V – скорость истечения реактивной струи.

Требуется найти программу управления , которая обеспечивает минимум времени достижения параболической скорости при заданных начальных условиях, ускорении и скорости истечения. Условие достижения параболической скорости имеет вид (при t = tk)

.

19. Синтез управления при самонаведении

Основные допущения

1). Движение ЛА в трехмерном инерциальном пространстве задается как движение материальной точки под действием управляющего ускорения.

2). Ограничения на направление и величину вектора ускорения отсутствуют

3). Интервал времени, на котором реализуется управление, фиксирован и известен.

4). Начальное состояние ЛА задано.

5). Конечное состояние ЛА определяется положением цели в момент окончания процесса наведения и некоторыми дополнительными условиями.

Уравнения движения: , , где V – вектор скорости, up – искомый вектор управления.

Начальные условия известны.

Критерий оптимальности , где – заданная положительно-определенная матрица.

Требуется найти управление u(t), которое минимизирует критерий при условии

.

где rц – заданный вектор.

Указание. Для решения задачи использовать методику, приведенную в учебном пособии «Динамическое проектирование систем управления автоматических маневренных летательных аппаратов» под ред. акад. . ( разд.7.3).

20. Синтез управления при самонаведении с учетом терминальной скорости

Основные допущения

1). Движение ЛА в трехмерном инерциальном пространстве задается как движение материальной точки под действием управляющего ускорения.

2). Ограничения на направление и величину вектора ускорения отсутствуют

3). Интервал времени, на котором реализуется управление, фиксирован и известен.

4). Начальное состояние ЛА задано.

5). Конечное состояние ЛА определяется положением цели в момент окончания процесса наведения и некоторыми дополнительными условиями.

Уравнения движения: , , где V – вектор скорости, up – искомый вектор управления.

Начальные условия известны.

Критерий оптимальности , где – заданная положительно-определенная матрица.

Требуется найти управление u(t), которое минимизирует критерий при условиях

, ,

где rц и V* – заданные векторы.

Указание. Для решения задачи использовать методику, приведенную в учебном пособии «Динамическое проектирование систем управления автоматических маневренных летательных аппаратов» под ред. акад. . ( разд.7.3).

21. Оптимальная система стабилизации ЛА

Уравнения движения вокруг центра масс имеют вид

,

,

где – угол тангажа;

α – угол атаки;

θ – угол наклона траектории;

δ – угол отклонения руля:;

– угловая скорость вращения вокруг оси Z;

– момент инерции;

, , – частные производные момента относительно оси Z по соответствующим переменным.

Упрощения: собственное демпфирование мало : . Угол наклона траектории изменяется очень медленно.

Найти закон управления углом δ, обеспечивающего минимум функционалу

.

22. Оптимальная по быстродействию система управления угловым движением КА

Вращательное движение осесимметричного КА относительно некоторой связанной оси при отсутствии демпфирования можно представить уравнением моментов

,

где w – угловая скорость вращения КА вокруг связанной оси;

J – момент инерции;

f – реактивное ускорение двигателя ориентации, ;

m – масса КА;

L – плечо точки приложения ускорения f.

Пусть a – угол, характеризующий отклонение ориентации КА по связанной оси относительно опорной.

Найти закон управления ускорением f, который минимизирует время, в течение которого угловое отклонение и угловая скорость обнуляются.

23. Оптимальная по быстродействию система управления угловым движением КА

Вращательное движение осесимметричного КА относительно некоторой связанной оси при отсутствии демпфирования можно представить уравнением моментов

,

где w – угловая скорость вращения КА вокруг связанной оси;

J – момент инерции;

f – реактивное ускорение двигателя ориентации, ;

m – масса КА;

L – плечо точки приложения ускорения f.

Пусть a – угол, характеризующий отклонение ориентации КА по связанной оси относительно опорной.

Найти закон управления ускорением f, который минимизирует время, в течение которого осуществляется переориентация КА на заданный угол. Начальная и терминальная угловая скорость равна нулю.

[1] Салмин космических перелетов с малой тягой. – М.:Машиностроение, 1987.

[2] Лебедев движения космического аппарата с малой тягой. ВЦ АН СССР, вып,5, 1968.

[3] А, , Малышев управление движением космических летательных аппаратов. М., Машиностроение, 1974.

[4] Лебедев движения космического аппарата с малой тягой. ВЦ АН СССР, вып,5, 1968.