Теоретические положения

ГЛАВА 7

ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЯХ

Теоретические положения

Классический метод решения задач на переходные процессы в разветвленных цепях с постоянными параметрами, в которых осуществляется коммутация (включение, выключение, переключение, изменение параметров цепи и т. п.), сводится к следующему:

1. Для послекоммутационного режима составляется система интегро-дифференциальных уравнений по законам Кирхгофа.

2. Искомый ток (или напряжение) представляют в виде суммы

(7.1)

Принужденные составляющие могут быть найдены обычными методами расчета установившегося процесса в цепи после коммутации.

3. Общая формула свободного тока:

, (7.2)

где n – порядок характеристического уравнения;

– значение корней характеристического уравнения;

– постоянная интегрирования.

4.Характеристическое уравнение.

Наиболее простой способ составления характеристического уравнения цепи состоит в следующем:

а) записывают формулу входного сопротивления цепи в комплексной форме ;

б) в формуле производят замену сомножителя на р;

в) полученное выражение Z(p) приравнивают к нулю

. (7.3)

5. Начальные условия.

Для определения постоянных интегрирования используются начальные условия.

В электрических цепях выполняются следующие законы коммутации: токи в индуктивных катушках и напряжения на конденсаторах в момент коммутации не изменяются скачками, т. е. они являются непрерывными функциями времени:

(7.4)

Эти начальные условия являются независимыми начальными условиями. Все остальные зависимые начальные условия определяются по законам Кирхгофа с применением законов коммутации.

6. Операторный метод расчета переходных процессов.

В основу операторного метода положено следующее: переходные процессы в электрических цепях описываются линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами, при использовании операторного метода действительные функции времени, называемые оригиналами, заменяют их операторными изображениями.

Связь между оригиналом и его изображением устанавливается с помощью интеграла Лапласа:

. (7.5)

Операторные изображения напряжения на индуктивности и емкости при ненулевых начальных условиях определяют по формулам:

(7.6)

Законы Кирхгофа в операторной форме.

Первый закон Кирхгофа:

. (7.7)

Второй закон Кирхгофа.

В общем случае при ненулевых начальных условиях для какого-либо контура, содержащего ветвей,

, (7.8)

где и – начальные значения тока, проходящего через катушку индуктивности, и напряжения на конденсаторе в ветви k;

– операторное сопротивление ветви k.

Если изображение искомого тока или напряжения имеет вид рациональной дроби , причем многочлены (относительно р) и удовлетворяют следующим условиям: степень ниже степени , а корни уравнения различны, то оригинал определяется по теореме разложения:

. (7.9)

7. Расчет переходных процессов в электрической цепи при помощи интеграла Дюамеля.

Большой класс радиотехнических и вообще электротехнических задач связан с исследованием процессов, протекающих под воздействием кратковременных внешних возмущений, длительность которых соизмерима с длительностью переходных процессов. В этом случае рекомендуется воспользоваться интегралом Дюамеля:

, (7.10)

где – значение воздействующего возмущения на входе цепи при t=0;

– переходная проводимость;

– производная от заданного напряжения, в которой t заменено на ;

– в переходной проводимости t заменено на .

Если необходимо рассчитать напряжение переходного процесса на некотором участке, то надо определить переходную функцию по напряжению и воспользоваться формулой (7.10).

Примеры решения задач

Задача 7.1

В схеме (рис. 7.1) найти ток и напряжение на катушке в момент коммутации.

Решение

По первому закону коммутации

.

По второму закону Кирхгофа для момента

,

,

.

Задача 7.2

Схема (рис. 7.2а) используется для получения высоковольтных импульсов. Найти напряжение на зажимах разрядника, если  В,  Ом,  Ом,  Ом,  Гн.

Решение

Найдем ток

, (7.11)

, .

Поскольку свободный ток протекает по контуру, образованному параллельными ветвями, характеристическое уравнение имеет вид

а его корень

.

Уравнение (7.11) для момента коммутации .

По первому закону коммутации, учитывая, что , получаем

 А.

Постоянная интегрирования , ток  А.

Искомое напряжение

 кВ.

График зависимости приведен на рис. 7.2б.

Задача 7.3

В схеме (рис. 7.3)  Ом,  Гн,  мкФ,  В,  В. Определить токи , , и напряжение после коммутации.

Решение

,

 В,

.

Определение корней характеристического уравнения:

,

,

.

,

,

, .

Определение начальных условий:

 В,

,

откуда

 А.

Определение постоянных интегрирования

,

,

,

откуда , .

В итоге:

 В.

Найдем токи

 А,

 А,

 А.

Задача 7.4

В схеме (рис. 7.4а) найти токи , , операторным методом.

Решение

Операторная схема замещения приведена на рис. 7.4б. Начальные условия:

,

.

Изображение тока во второй ветви

.

Переходим к оригиналу:

,

где , ;

; ;

; ; ;

.

Аналогично для тока в третьей ветви:

,

,

,

, ,

.

Ток в первой ветви

.

Задача 7.5

В схеме (рис. 7.5а)  В,  Ом,  Гн.

Определить , используя операторный метод.

Решение

Ток

.

Расчет принужденной составляющей тока:

,

 А.

Расчет свободной составляющей тока проводим по операторной схеме замещения (рис. 7.5б):

,

,

 А,

 А.

Изображение искомого тока:

.

Переходим к оригиналу:

,

, , ,

.

В итоге:

 А.

Задача 7.6

В схеме (рис. 7.6) определить ток после коммутации.

Решение

После коммутации в цепи протекает ток . Находим ток классическим методом:

,

, .

Постоянную интегрирования определяем, используя обобщенный закон коммутации:

,

,

,

,

.

В итоге:

 А.

Задача 7.7

В цепи (рис. 7.7) ток мгновенно прерывается выключателем. Определить , если  В,  Ом,  Ом,  Гн.

Решить задачу при следующих соотношениях между и :

а) ; б) ; в) .

Потоками рассеяния пренебречь ().

Решение

Индуктивность первой обмотки

.

Поскольку обе обмотки пронизываются одним и тем же магнитным потоком, аналогично получаем индуктивность второй обмотки

.

Таким образом,

или .

Переходный ток во второй обмотке

,

, .

Характеристическое уравнение

.

Для момента времени

.

Используем первый обобщенный закон коммутации:

,

где М – коэффициент взаимной индукции.

Поскольку потоки рассеяния отсутствуют, коэффициент связи между обмотками

.

Отсюда

.

Постоянная интегрирования

.

Окончательно получаем

 А.

Подставив численные значения, имеем

А при

А при

А при

Задача 7.8

На входе схемы (рис. 7.8а) действует напряжение (рис. 7.8б). Определить напряжение .

Решение

Переходная функция по току

.

Решение для интервала :

,

.

Решение для интервала :

,

 В.

Решение для интервала :

 А,

 В.

Задача 7.9

В схеме (рис. 7.9а) кОм, мкФ. Определить при воздействии на входе напряжения (рис. 7.9б), В.

Решение

Найдем переходную функцию цепи по напряжению, используя схему (рис. 7.9в):

,

,

,

,

, ,

,

, , ,

, .

Решение для интервала :

;

, ,

,

.

Решение для интервала :

;

, , ,

.

Решение для интервала :

,

, , ,

.

Решение для интервала :

,

, , ,

.

Подставив данные, имеем

В при  с,

В при  с,

В при  с,

В при  с.

График изменения приведен на рис. 7.10.

Задача 7.10

Определить ток, напряжение на катушке и конденсаторе в идеальном последовательном LC-контуре () (рис. 7.11) после замыкания ключа.

Решение

По второму закону Кирхгофа

,

.

Преобразуем к одному уравнению

.

Решение ищем в виде

где

Характеристическое уравнение

имеет корни

,

где – собственная, резонансная частота контура.

Начальные условия

, .

Определяем постоянные интегрирования:

,

,

,

, .

Определяем искомые ток и напряжения:

,

,

.

Как видно из полученных выражений для i, uС, uL при замыкании ключа в контуре возникают незатухающие синусоидальные колебания с частотой

.

Соответствующие временные диаграммы приведены на рис. 7.12.

Задача 7.11

Определить токи через катушку и конденсатор, а также напряжение на катушке и конденсаторе в идеально параллельном LC-контуре () (рис. 7.13) после замыкания ключа.

Решение

По первому закону Кирхгофа

,

.

Решение ищем в виде

где .

Характеристическое уравнение

или

имеет корни

.

Начальные условия

, , .

Определяем постоянные интегрирования:

,

,

,

, .

Определяем искомые токи и напряжения:

,

,

.

Как видно из полученных выражений для u, iС, iL при замыкании ключа в контуре возникают незатухающие синусоидальные колебания с частотой

.

Соответствующие временные диаграммы приведены на рис. 7.14.