Основы теории цепей

Федеральное агентство связи

Уральский технический институт связи и информатики (филиал)

Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Сибирский государственный университет

телекоммуникаций и информатики»

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЦЕПЕЙ

Методические указания по выполнению самостоятельной работы

для студентов очной и заочной форм обучения на базе среднего (полного) общего образования специальностей направлений «Радиотехника»,

210312.65 "Аудиовизуальная техника", «Телекоммуникации», 210300.62

«Защищенные системы связи», Бакалавр техники и технологии.

Екатеринбург

2009

УДК 621.3.01

ББК 31.21

Рецензент: доцент кафедры Теоретических основ радиотехники УГТУ-УПИ к. т.н.

Основы теории цепей: Методические указания по выполнению самостоятельной работы./ . - Екатеринбург: УрТИСИ ГОУ ВПО СибГУТИ, 20с.

Методические указания для самостоятельной работы по четырем разделам дисциплины «Основы теории цепей», (первый семестр изучения) для студентов очной и заочной форм обучения на базе среднего (полного) общего образования специальностей направлений «Радиотехника»,

210312.65 "Аудиовизуальная техника", «Телекоммуникации», 210300.62

«Защищенные системы связи», Бакалавр техники и технологии.

Рекомендовано НМС УрТИСИ ГОУ ВПО СибГУТИ в качестве методических указаний по самостоятельной работе дисциплины «Основы теории цепей» для студентов, обучающихся по специальностям направлений «Радиотехника»,

210312.65 "Аудиовизуальная техника", «Телекоммуникации», 210300.62«Защищенные системы связи».

УДК 621.3.01

ББК 31.21

Кафедра общепрофессиональных дисциплин технических специальностей

© УрТИСИ ГОУ ВПО «СибГУТИ», 2009

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

Перечень самостоятельной работы студентов…………………………………5

1.1. Основные расчетные соотношения

1.2. Варианты заданий. .10

сигналов через электрические цепи

2.1. Основные расчетные соотношения

2.2. Варианты заданий. . 40

3.1. Основные расчетные соотношения. .........34

3.2. Варианты заданий. ….37

Список литературы 65

ВВЕДЕНИЕ

Методические указания предназначены для выполнения самостоятельной работы студентами по дисциплине «Основы теории цепей» в первом семестре ее изучения.

Данная первая часть методических указаний содержит материал для проработки трех разделов дисциплины:

1. Анализ линейных электрических цепей при гармоническом воздействии (составление уравнений электрического равновесия цепей, применение метода комплексных амплитуд при расчете электрических цепей, методы расчета сложных электрических цепей) – самостоятельная работа №1;

2. Переходные процессы и временной метод анализа прохождения сигналов через электрические цепи (классический, операторный и временной методы анализа переходных процессов) – самостоятельная работа №2.

3. Анализ нелинейных цепей (самостоятельная работа №3).

Методические указания входят в комплект учебно-методических разработок, подготовленных кафедрой общепрофессиональных дисциплин для студентов специальностей направлений «Радиотехника»,

210312.65 "Аудиовизуальная техника", «Телекоммуникации», 210300.62

«Защищенные системы связи», Бакалавр техники и технологии очной и заочной форм обучения и составлены на основе сборника тестовых задач по курсу «Теория электрических цепей» (Часть 1) под ред. проф. [1]. Каждое задание содержит раздел с основными расчетными соотношениями и 25-30 вариантов индивидуальных заданий. Варианты для выполнения заданий назначаются преподавателем и, как правило, совпадают с порядковым номером студента в журнале академической группы.

Выполнение домашних заданий производится в отдельной тетради или на скрепленных тетрадных листах, которые сдаются на проверку преподавателю, ведущему занятие. Числовые значения подставляются в формулу и только после этого записывается получившийся результат в системе единиц СИ.

Перечень работы самостоятельной работы студентов указаны в таблице 1.

Таблица 1. Перечень самостоятельной работы студентов, обучающихся по направлениям «Радиотехника»,

210312.65 "Аудиовизуальная техника" («Телекоммуникации», 210300.62

«Защищенные системы связи», Бакалавр техники и технологии)

Виды и содержание самостоятельной работы	Время (час)	Формы контроля
1. Изучение лекционного материала во время семестра и при подготовке к экзамену.	5 (4)	Конспект материала по изучаемым темам, оперативный опрос на занятиях, экзамен.
2. Закрепление материала, пройденного на практических занятиях.	3 (2)	Задачи по теме занятия для самостоятельного решения. Просмотр тетрадей и проверка решения на практическом занятии.
3. Подготовка к лабораторным работам и оформление отчетов (2 часа на работу).	18 (18)	1. Расчет домашнего задания к работе (просмотр преподавателем полученных результатов), 2. Подготовка и письменный ответ на вопросы теоретического коллоквиума по тематике работы. 3. Оформление отчета и его защита.
4. Работа над индивидуальными зачетными домашними заданиями по четырем темам: “Анализ линейных электрических цепей при гармоническом воздействии”; ”Переходные процессы и временной метод анализа прохождения сигналов через электрические цепи”; “Спектральный метод анализа сигналов и их прохождения через электрические цепи”; “Анализ нелинейных цепей”.	12 (12)	Домашние задания N1-N4 (по 5 задач) по каждому из которых выставляется оценка в журнал.
5. Курсовая работа.	32 (32)	Расчет задания и оформление полученных результатов. Защита курсовой работы.
Итого:	70 (68)

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА №1

1. АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ ПРИ ГАРМОНИЧЕСКОМ ВОЗДЕЙСТВИИ

1.1 Основные расчетные соотношения

Для определения токов и напряжений в электрической цепи по заданным параметрам источников и элементов составляется и решается система уравнений электрического равновесия. Эта система состоит из топологических и компонентных уравнений. Топологические – это уравнения, составленные по законам Кирхгофа для токов (первый закон Кирхгофа) для каждого из независимых узлов (уравнение баланса токов):

. (1.1)

и напряжений (второй закон Кирхгофа) для каждого из независимых контуров (уравнение баланса напряжений):

. (1.2)

Здесь in(t) – ток n-й, ветви, взятый с плюсом (=1), если он втекает в узел, и с минусом – если вытекает(=-1). Это справедливо и для ветвей с источниками тока.

В ЗКН uk(t) – напряжение на k-й ветви, взятое с плюсом, если совпадают выбранные направления тока в ветви и обхода контура (=1), в который эта ветвь входит. В противном случае uk(t) отрицательно, (=-1). Для ветвей с источниками напряжения, напряжение источника входит в напряжение ветви со знаком минус, если стрелка внутри источника совпадает с условно выбранным направлением напряжения ветви, в противном случае – со знаком плюс. Что касается источников тока, то напряжение ветви на каждом из них можно выбирать произвольно. На идеальном источнике тока напряжение на нем находится на основании решения полной системы уравнений для данной цепи.

В топологии доказывается, что в электрической цепи, состоящей из q узлов и p ветвей независимых узлов Kну:

Kну = q-1-NE, (1.3)

а независимых контуров Kнк:

Kнк = p-q+1- NJ . (1.4),

Где: NE- число идеальных источников напряжения, которые не могут быть преобразованы в эквивалентные источники тока, NJ - число идеальных источников тока, которые не могут быть преобразованы в эквивалентные источники напряжения.

Это означает, что для не имеющей особенности цепи количество независимых уравнений, которое может быть составлено по первому закону Кирхгофа для токов равно q-1 , а по второму закону Кирхгофа для напряжений p-q+1.

Компонентные уравнения связывают токи и напряжения на идеальных пассивных элементах. Количество этих уравнений p-pит-pин, где pит и pин – количество ветвей с источниками тока и напряжения соответственно. Эти уравнения имеют следующий вид соответственно для сопротивления, емкости и индуктивности:

iR = uR/R; ; . (1.5)

Для цепи, находящейся под гармоническим воздействием, составляется комплексная эквивалентная схема замещения, в которой мгновенные токи и напряжения представляются их комплексными амплитудами ( и соответственно):

,

, (1.6)

а пассивные элементы цепи – комплексными сопротивлениями в соответствии с соотношениями:

, ; . (1.7)

Связь между токами и напряжениями в них при этом определяется законом Ома в комплексной форме

, (1.8)

а законы Кирхгофа для токов и напряжений приобретают вид:

, . (1.9)

Таким образом, система уравнений электрического равновесия становится алгебраической, но комплексной.

Что касается мощностей, то комплексная мощность, потребляемая цепью определяется в виде

, (1.10)

где – активная мощность, характеризующая преобразование в цепи электрической в другие виды энергии, – реактивная мощность, характеризует процессы обмена энергией между цепью и источником, – полная мощность, потребляемая от источника.

Приведенные соотношения используются при выполнении заданий 1 и 2 и подробно обсуждаются в [2,3].

Расчет сложных цепей при выполнении самотоятельной работы (задания 3, 4 и 5) выпоняется методами контурных токов, узловых напряжений (потенциалов), методом наложения и методом эквивалентного генератора.

Метод контурных токов (МКТ) основан на том, что токи всех ветвей могут быть выражены через токи главных ветвей (контурные токи). Каждый контурный ток проходит только по элементам своего контура. Количество контурных токов определяется количеством независимых контуров цепи (1.4). Количество же составляемых уравнений в МКТ может быть меньше (при наличии в цепи ветвей с вырожденными источниками тока уравнения для контуров в которые они входят не составляются, поскольку их контурные токи равны токам этих источников).

Уравнения МКТ в канонические форме записываются в виде:

. (1.11)

Здесь – собственное сопротивление n-го контура (всегда положительно), элементы – взаимные сопротивления n-го и k-го контуров, взятые со знаком плюс при совпадении по направлению контурных токов в них. Контурная э. д.с. – алгебраическая сумма э. д.с. источников, входящих в контур (при совпадении с направлением контурного тока э. д.с. источника берется со знаком плюс).

В методе узловых потенциалов (МУП) напряжения всех ветвей выражаются через разность потенциалов узлов, между которыми они включены. Количество узловых потенциалов определяется количеством независимых узлов цепи (1.3). Количество же составляемых в МУП уравнений может быть меньше (при наличии в цепи ветвей с вырожденными источниками напряжения уравнения для узлов к которым они подключены не составляются, поскольку их потенциалы равны напряжениям этих источников при подключении последних между данным узлом и базисным).

Уравнения МУП в канонические форме записываются в виде:

(1.12)

Здесь – собственная проводимость n-го узла (всегда положительна) сумма проводимостей ветвей подключенных к узлу, элементы – взаимная проводимость n-го и k-го узлов – сумма проводимостей ветвей, соединяющих эти узлы взятая со знаком минус. - алгебраическая сумма токов источников, подключенных к n-му узлу (втекающие с плюсом).

Метод наложения используется для нахождения тока или напряжения в одной из ветвей, если в линейной цепи несколько независимых источников энергии. Искомый ток или напряжение представляют суммой частичных токов и соответственно напряжений , каждый из которых найден из эквивалентной схемы, полученной последовательным выключением всех (кроме одного) независимых источников:

. (1.13)

При выключении источников э. д.с. они закорачиваются, а источники тока – разрываются.

В методе эквивалентного генератора находится ток в одной из ветвей цепи. При этом, данная ветвь разрывается, а оставшаяся часть цепи представляется автономным двухполюсником – эквивалентным источником напряжения или тока. Параметрами эквивалентного источника напряжения являются напряжение и сопротивление холостого хода автономного двухполюсника. Параметрами эквивалентного источника тока являются ток короткого замыкания автономного двухполюсника и его входная проводимость. После этого, например в методе эквивалентного источника напряжения, ток ветви находится в соответствие с соотношением

, (1.14)

где – напряжение холостого хода источника, – его сопротивление, – сопротивление нагрузки источника (ветви, в которой определяется величина протекающего тока).

Далее приводятся варианты заданий для самостоятельного решения по этим темам. С примерами решения подобных задач можно ознакомиться в [4, 5].

Вариант №2
1	Составить две системы уравнений электрического равновесия для мгновенных и комплексных значений электрических величин.
	R=2 кОм L=4 мГн C=0,4 нФ w=106 рад/с
Определить мгновенное значение всех напряжений, если амплитуда напря-жения между точками 1 и 2 равна 1 В, а начальная фаза напряжения равна 0°.
2   3	Составить уравнения контурных токов и узловых напряжений и решить их для численных значений: R1=R2=R4= XC1=100 Ом R3=R5=XL1= XL2=25 Ом E2(t)=3coswt,В; E3(t)=5coswt, В.; J2(t)=0,4coswt, мА
4	R1=1 кОм; R3=2 кОм; XL=2 кОм; XC=3 кОм; e1=1 coswt, В; e2=3 coswt, В; e3=5 coswt, В. Рассчитать методом наложения ток в индуктивности.
5	E=25 В; J=1 A; R1=R2=100 Ом; XL=25 Ом; XC=50 Ом. Методом эквивалентного генератора рассчитать ток в ветви с R1.

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА №2

2.1. Основные расчетные соотношения

Исходным положением для анализа переходного процесса в линейных электрических цепях является то, что переход реальной цепи от одного установившегося режима к другому не может происходить мгновенно, поскольку это потребует бесконечной мощности подключаемых источников. Отсутствие таких источников приводит к тому, что суммарная запасенная в цепи энергия может изменяться только плавно, т. е. представляет собой непрерывную функцию времени. Это позволяет сделать вывод о неизменности в первое мгновение после коммутации t=0+ суммарных потокосцепления и заряда в цепи по отношению к их значениям в мгновение перед коммутацией t=0-:

(2.1)

Если при коммутации не производится подключения или отключения ветвей, содержащих L и C, то из (2.1) следует непрерывность токов индуктивностей и напряжений емкостей (в первое мгновение эти параметры неизменны, а затем плавно изменяются, начиная со своих значений) – первый и второй законы коммутации:

iL(0+)=iL(0-), uc(0+)=uc(0-). (2.2)

При этом iC, uL , iR, uR могут изменяться произвольно, в том числе и скачкообразно.

При анализе переходного процесса в линейных инвариантных во времени цепях с сосредоточенными параметрами классическим методом необходимо провести:

1. Анализ цепи до коммутации (определение независимых начальных условий iL, uС при ).

2. Определение iL, uC при с помощью законов коммутации или принципа непрерывности потокосцепления и заряда.

3. Составление дифференциального уравнения цепи после коммутации при t0 (относительно искомого iL, или uC ):

. (2.3)

4. Определение свободной составляющей реакции цепи (составление характеристического уравнения цепи, определение его корней и общего вида свободной составляющей – общего решения ОДУ):

, (2.4)

(2.5)

когда все корни уравнения (2.4) простые (различные);

(2.6)

для корня pk характеристического уравнения (2.4) кратностью n.

5. Анализ установившегося процесса в цепи после коммутации при (отыскание принужденной составляющей реакции цепи – частного решения ДУ цепи):

. (2.7)

6. Нахождение общего вида реакции цепи (общее решение ДУ – суммирование свободных и принужденных составляющих):

(2.8)

7. Определение постоянных интегрирования , которые находятся по независимым начальным условиям – значениям i, u и их первым производным при t = 0 .

8. Определение реакции цепи, соответствующей заданным начальным условиям (подставляя постоянные интегрирования в общее решение ДУ цепи находим его решение, соответствующее заданным начальным условиям, т. е. i либо u одной из ветвей при t >0).

Следует отметить, что в цепях с одним энергоемким элементом переходный процесс апериодический. В цепях с малыми потерями, содержащих индуктивность и емкость при коммутации возможно появление колебаний. Это явление наблюдается при отрицательном дискриминанте квадратичного характеристического уравнения (корни уравнения комплексно сопряженные).

Для последовательной RLC – цепи это соответствует ее добротности (сопротивление потерь , где – характеристическое сопротивление). При этом свободные колебания в цепи имеют частоту:

, (2.9)

где – резонансная частота цепи, а – коэффициент их затухания.

Сопротивление потерь добротность () соответствует критическому режиму для возникновения колебаний.

Классический метод применяют, когда исследуемая цепь имеет невысокий порядок сложности, а внешнее воздействие после коммутации гармоническое или постоянное. Другим, применяемым для расчетов более сложных цепей является операторный метод, основанный на преобразовании Лапласа.

Это символический метод, в котором операции над функциями времени a(t) заменяются операциями над их символами (изображениями) – A(p). Взаимное соответствие между ними устанавливается с помощью прямого:

, (2.10)

и обратного

(2.11)

преобразований Лапласа и обозначается знаком соответствия a(t) A(p).

Здесь A(p) – изображение оригинала a(t) по Лапласу, p – оператор преобразования Лапласа или комплексная частота.

При использовании метода неизвестные i и u заменяют их операторными изображениями, а элементы цепи – их операторными схемами замещения. По операторной схеме цепи после коммутации составляется система алгебраических уравнений, решая которые находят операторные изображения искомых токов и напряжений. Далее, с использованием обратного преобразования Лапласа, определяются оригиналы для этих изображений. С использованием операторной схемы цепи определяют также операторные входные сопротивления и проводимости:

, , (2.12)

передаточные сопротивления и проводимости:

, , (2.13)

а также коэффициенты передачи по току и напряжению:

, . (2.14)

В теории линейных цепей реакцию на произвольное входное воздействие исследуют также посредством его представления суммой элементарных единичных функций Хевисайда:

(2.15)

и Дирака:

. (2.16)

При этом используется Теорема суперпозиции – свойство линейных инвариантных во времени цепей заключающееся в том, что реакция на сумму входных воздействий равняется сумме реакций на каждое из воздействий в отдельности. Это позволяет ввести такие временные характеристики цепи, как переходная характеристика – реакция на функцию Хевисайда: и импульсная характеристика – реакция на функцию Дирака: . Реакция же цепи на сложное воздействие будет интегральной суммой (интегралом Дюамеля), содержащей переходную и импульсную характеристики:

,

. (2.17)

Здесь x(t) – воздействие на цепь, а y(t) – ее реакция.

Переходная и импульсная характеристики цепи могут быть определены с использованием классического метода анализа реакции на соответствующие входные воздействия, либо через операторный коэффициент передачи цепи:

. (2.18)

Приведенные соотношения используются при выполнении заданий 1-5 самостоятельной работы №2 и подробно обсуждаются в [2,3]. С примерами решения задач можно ознакомиться в [4, 6].

Вариант №2

ЛИТЕРАТУРА

Основная:

1. Бакалов теории цепей: Учебник для вузов/ , , . – М.:Радио и связь, 2005.

2. Баскаков цепи и сигналы. М.: Высшая школа, 2005.

3. Ковалев теории цепей: методические указания к практическим занятиям. Часть 2 / – Екатеринбург: УрТИСИ ГОУ ВПО «СибГУТИ», 2005.

Дополнительная:

4. Баскаков цепи и сигналы. Руководство к решению задач. М.: Высшая школа, 1987.

5. , , Сафронова тестовых задач по курсу «Теория электрических цепей». Часть 3 / Под редакцией проф. . Новосибирск: СибГАТИ, 1995.

6. , , Сафронова тестовых задач по курсу «Теория электрических цепей». Часть 2 / Под редакцией проф. . Новосибирск: СибГАТИ, 1995.

7. , , Сафронова тестовых задач по курсу «Теория электрических цепей». Часть 1 / Под редакцией проф. . Новосибирск: СибГАТИ, 1995.

8. Попов теории цепей. М.: Высшая школа, 2005.

9. , Каблукова по теории линейных электрических цепей. – М.: Высшая школа, 1990.

10. Андреев нелинейных электрических цепей. М.: Радио и связь, 1982