Московский государственный институт электроники и математики
Кафедра электронно-вычислительной аппаратуры
Домашняя работа по дисциплине
“Основы теории управления”
Выполнил: студент группы С-54
Проверил: д. т.н., профессор
Москва 2007
Аннотация
В данной работе проводится определение коэффициента K, при котором система управления является устойчивой. Для этого используются критерии:
· Алгебраический
· Геометрический
Содержание
Аннотация
Содержание
Техническое задание
Преобразования системы
Модель по входу X
Модель по дестабилизирующему фактору Z
Анализ устойчивости системы
Критерий устойчивости Рауса-Гурвица.
Критерий устойчивости Рауса
Критерий Михайлова
Проверка устойчивости системы
Характеристики системы
По входу:
По дестабилизирующему фактору.
Временная характеристика
Временная характеристика
Листинг программы MathCAD
Заключение
Список литературы
Приложение
Техническое задание
Для заданной модели определить коэффициент усиления (k) звена системы с тем, что система будет:
1) Устойчива
2) Неустойчива
Построить частотные и временные характеристики.
Анализ устойчивости производить алгебраическими и геометрическими методамиРауса
· Рауса и Рауса-Гурвица (алгебраический)
· Михайлова (геометрический)
Параметры системы:
w1=Ap=0,8p;
w2=0,2p/(0,015p+1);
w3= 0,002p+1;
w4= 0,009p2+0,02p+1;
w5=0,04/(0,07p2+0,01p+1);
w6=K;
w7=0,3/(0,6p+1);
w8=1/p2;
w9=0,3/(0,3p2+1);
Преобразования системы
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Анализ устойчивости системы
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В первой строке таблицы выписываем коэффициенты характеристического уравнения с четными индексами, а во второй строке – с нечетными
В последующих строках элементы определяются формулой
,
где
|
k - индекс номера столбца
i - индекс номера строки
Все элементы первого столбца должны быть положительными.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В итоге получаем
|
Представим характеристический многочлен как функцию переменных p и k:
Сделаем подстановку p=i*w, k=10:
Выделим действительную и мнимую части:
В соответствии с этим строим годограф Михайлова:
Увеличение:
Увеличение:
Увеличение:
Видно, что годограф проходит 8 квадрантов, что соответствует порядку характеристического многочлена.
Проверка устойчивости системы
Проверим, является ли система устойчивой при k=10, решив характеристическое уравнение:
Действительные части всех корней характеристического уравнения равнения меньше 0, значит, система при k=10 устойчива.
Характеристики системы
|
|
|
|
|
АФЧХ
МЧХ:
|
|
ВЧХ:
|
|
ФЧХ
АЧХ
Временная характеристика
АФЧХ:
|
МЧХ:
|
|
ВЧХ:
АЧХ
|
ФЧХ
|
Временная характеристика
Листинг программы MathCAD
Mathcad - программное средство, среда для выполнения на компьютере разнообразных математических и технических расчетов, снабженная простым в освоении и в работе графическим интерфейсом, которая предоставляет пользователю инструменты для работы с формулами, числами, графиками и текстами. В среде Mathcad доступны более сотни операторов и логических функций, предназначенных для численного и символьного решения математических задач различной сложности.
Описание команд Mathcad, использованных в работе
Команда Solve
(Решить - найти значения выделенной переменной,
относительно переменной) при которых содержащее ее выражение становится равным нулю (решить уравнение или неравенство относительно выделенной переменной);
Команда Simplify
(Упростить) - упростить выделенное выражение с выполнением таких операций, как сокращение подобных слагае мых, приведение к общему знаменателю, использова ние основных тригонометрических тождеств и т д
Команда Expand
В ходе операции символьного разложения, или расширения, раскрываются все суммы и произведения, а сложные тригонометрические зависимости разлагаются с помощью тригонометрических тождеств. Разложение выражений производится путем выбора команды Symbolics / Expand (Символика / Разложить) либо использованием вместе с оператором символьного вывода ключевого слова expand.
Команда Expand
Эта команда вычисляет коэффициенты полинома. Если выражение является полиномом относительно некоторой переменной х, заданным не в обычном виде a0+a1x+a2x2+..., а как произведение других, более простых полиномов, то коэффициенты a0,a1,a2... легко определяются символьным процессором Mathcad. Коэффициенты сами могут быть функциями (подчас довольно сложными) других переменных.
Функция Odesolve
Для численного решения одиночного дифференциального уравнения в MathCAD имеется функция Odesolve, с помощью которой может быть решена как задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения, так и граничная задача. Эта функция входит в состав блока решения и сявляется его заключительным ключевым словом.
Odesolve(x, b,[step]) - Возвращает функцию, которая является решением дифференциального уравнения. Используется в блоке с оператором Given.
x - переменная интегрирования, действительное число
b - конечная точка отрезка интегрирования
step - величина шага по переменной интегрирования (необязательный аргумент)
Заключение
Установлено, что система устойчива при 
и неустойчива при 
.
Список литературы
- “Основы теории управления”.
, , “Основы теории автоматического регулирования и управления”.
Приложение
передаточная функция по входу
передаточная функция по дестаб. фактору
Критерии Рауса-Гурвица
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Критерии Михайлова
|
