Электростатическое поле

ГЛАВА 12

ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ

Теоретические положения

Закон Кулона:

, (12.1)

где – единичный вектор, направленный по линии, соединяющей заряды q1 и q2;

r – расстояние между зарядами.

Напряженность электрического поля точечного заряда q:

. (12.2)

Потенциал электрического поля точечного заряда:

. (12.3)

Потенциал электрического поля точечного, линейного, поверхностного и объемного зарядов:

. (12.4)

Зависимость между напряженностью электрического поля и потенциалом:

(12.5)

Зависимость между напряженностью электрического поля и электрическим смещением (электрической индукцией):

, (12.6)

где Ф/м – электрическая постоянная;

– относительная диэлектрическая проницаемость;

– абсолютная диэлектрическая проницаемость среды;

– вектор поляризации;

– относительная электрическая восприимчивость.

Теорема Гаусса (в интегральной форме):

. (12.7)

Теорема Гаусса (в дифференциальной форме):

. (12.8)

Уравнение Пуассона и Лапласа:

, . (12.9)

Основные уравнения электростатического поля:

(12.10)

Граничные условия в электростатическом поле:

(12.11)

где и – нормальные к граничной поверхности составляющие вектора электрического смещения;

и – тангенциальные (касательные к граничной поверхности) составляющие вектора напряженности электрического поля;

– поверхностная плотность свободных зарядов на границе раздела.

Граничные условия на поверхности проводника, помещенного в электростатическое поле:

(12.12)

Энергия электрического поля:

. (12.13)

Сила, действующая на заряд q:

. (12.14)

Примеры решения задач

Задача 12.1

Заряд Кл равномерно распределен по поверхности проводящей сферы радиусом см, находящейся в воздухе.

1. Построить графики изменения напряженности E и потенциала φ внутри и вне шара в функции расстояния R от его центра, приняв при .

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

2. Какой заряд следует сообщить шару, чтобы произошел пробой воздуха, если кВ/см?

3. Почему молниеотвод имеет заостренную форму?

Решение

1. Начало координат поместим в центре шара. Так как заряд распределен симметрично относительно центра шара, то вектор напряженности электрического поля E в сферической системе координат имеет только радиальную составляющую ER, зависящую лишь от одной координаты R.

Поле внутри шара отсутствует, так как шар проводящий, и . Исследуем поле вне шара. Для этого проведем на расстоянии сферическую поверхность S и применим теорему Гаусса (рис 12.1). Так как для всех точек поверхности S численное значение вектора одинаково, а направление совпадает с направлением положительной нормали к поверхности S, то

В/м. (12.15)

Из выражения (12.15) следует, что максимальное значение E будет при :

В/м.

Так как , то .

По условию при поэтому и

В. (12.16)

На рис. 12.2а, б показаны кривые зависимости и , построенные на основании зависимостей (12.15) и (12.16).

2. Величина заряда, которую следует сообщить шару, чтобы произошел пробой, определяется на основании выражения (12.15). При

Кл.

3. Как следует из формулы (12.15), напряженность электростатического поля Е обратно пропорциональна , то есть чем больше кривизна поверхности, тем больше Е, тем больше поверхностная плотность заряда (). Отсюда следует, что разрядники (молниеотводы) должны иметь заостренную форму.

Задача 12.2

Проводящий шар радиусом R1 = 1 см равномерно заряжен (Q = 6,28·10-9 Кл) и окружен концентрическим полым металлическим шаром радиусом R2 = 4 см. Пространство между ними заполнено диэлектриком с диэлектрической проницаемостью ε1 (рис. 12.3).

1. Построить кривые изменения напряженности электрического поля и потенциала в зависимости от расстояния от центра шара, если а) б) , .

2. Будет ли существовать заряд на внешней оболочке и изменится ли его величина, если ?

3. При введении еще одной металлической оболочки радиусом (рис. 12.4) будет ли на ней заряд и чему он будет равен?

Решение

Внутри проводящего шара радиусом R1 электростатическое поле и разность потенциалов отсутствуют.

1. Если шар, имеющий заряд +Q окружить сферической проводящей поверхностью радиусом R2 то вследствие электростатической индукции на внутренней поверхности появится отрицательный заряд – Q, а на внешней – точно такой же положительный заряд +Q. Вне заряженного шара при напряженность электрического поля и потенциал (см. задачу 12.1) будут определяться из выражений

, .

а) Если то

В/м, (12.7)

В. (12.8)

При В/м, В.

б) Если , , то в любой точке пространства при

В/м, (12.9)

В. (12.10)

В/м, В/м, В.

При изменения напряженности электрического поля и потенциала будут определяться выражениями (12.7) и (12.8):

В/м, В.

На рис. 12.5а показаны графики напряженности поля

, а на рис. 12.5б – графики изменения потенциала

3. При введении еще одной металлической оболочки радиусом R3 вследствие электростатической индукции на ее поверхности будет индуцирован заряд +Q.

Задача 12.3

Заряженный проводящий шар расположен в воздухе (рис. 12.6). Заряд шара Кл, радиус см.

Определить величину электрической индукции D, напряженности электрического поля E, потенциала φ на поверхности шара, а также его емкость. Изменятся ли значения величин D и E, если шар переместить из воздуха в дистиллированную воду с ? Чему будет равна емкость шара при увеличении его радиуса в два раза?

Решение

Так как заряд распределен симметрично относительно центра шара, то векторы и в сферической системе координат имеют только радиальные составляющие и , зависящие лишь от одной координаты R. Так как для всех точек поверхности шара значение одинаково, то применим постулат Максвелла:

В/м, (12.11)

откуда величина вектора электрической индукции на поверхности шара

Кл/м2.

Напряженность электрического поля

В/м.

Зависимость между напряженностью электрического поля и потенциалом

, ,

откуда

Пусть при . Тогда постоянная интегрирования и потенциал

В.

Емкость шара

, (12.12)

Если шар переместить из воздуха в дистиллированную воду, то величина вектора останется прежней, так как он от среды не зависит согласно (12.11) , а величина вектора

уменьшится в 80 раз.

При увеличении радиуса шара в два раза емкость шара согласно (12.12) в два раза увеличится.

Задача 12.4

Провод радиусом см и длиной м расположен в воздухе (рис. 12.7а). Заряд провода Кл.

Найти зависимости напряженности электрического поля , электрического смещения и потенциала от расстояния от оси провода, а также емкость провода.

Решение

Пусть ось Z цилиндрической системы координат совпадает с осью провода (рис. 12.7б). Очевидно, что в любой точке, лежащей на поверхности цилиндра радиусом, R вектор имеет единственную составляющую , постоянную во всех точках этой поверхности. Ограничим эту цилиндрическую поверхность двумя основаниями, перпендикулярными оси и отстоящими одно от другого на расстояние l.

Поток вектора такого цилиндра, согласно теореме Гаусса,

откуда

, (12.13)

где R изменяется в пределах , так как внутри провода электрическое поле отсутствует и

Напряженность электростатического поля и электрическое смещение вне провода

В/м,

Кл/м2.

Так как

то

Примем при , тогда

откуда

В,

В.

Графики зависимостей и показаны на рис. 12.8а, б.

Емкость провода

;

Ф.

Задача 12.5

Исследовать электрическое поле и определить емкость коаксиального кабеля, имеющего двухслойную изоляцию (рис. 12.9), если см, см, см, , . Длина кабеля l = 10 м, приложенное к нему напряжение U = 100 В.

Начертить графики E, D, φ в зависимости от R, приняв при .

Решение

Если пренебречь влиянием краев цилиндра, то по соображениям симметрии потенциал φ будет функцией только одной координаты R.

Поле между цилиндрами описывается уравнением Лапласа . В цилиндрической системе координат

Так как

, ,

то

, .

Таким образом, уравнение Лапласа примет вид

. (12.14)

Непосредственным интегрированием находим выражение потенциала в первом слое (). Для этого обозначим в выражении (12.14)

откуда

Аналогично во втором слое ()

Напряженность электрического поля . Поскольку потенциал зависит только от координаты R, то у вектора будет только одна составляющая:

Следовательно, в первом слое , во втором слое .

Чтобы найти постоянные интегрирования и , используем граничные условия

, .

При

т. е.

откуда

При

или ,

т. е.

откуда

По условию при . Тогда

Так как потенциал непрерывен во всех точках поля, то

Подставив значение постоянных и , получим

, ,

Напряжение, приложенное к конденсатору:

Емкость конденсатора

На рис. 12.10а, б приведены кривые изменения E, D и φ в зависимости от R. На границе двух слоев (при ) напряженность претерпевает скачок, величина которого

где .

Вектор электрического смещения непрерывен:

Задача 12.6

Длинный прямой заряженный проводник расположен в воздухе параллельно проводящей поверхности на расстоянии мм от последней (рис. 12.11а). Радиус провода мм. Проводник находится под напряжением В относительно проводящей поверхности.

Определить напряженность электрического поля у проводящей поверхности и емкость системы.

Решение

Согласно методу зеркальных изображений расчетная схема будет иметь вид, показанный на рис. 12.11б. Напряженность поля в некоторой точке M, лежащей на проводящей поверхности, . Вектор и его составляющие образуют треугольник , подобный треугольнику , откуда

где ;

Тогда ,

при ;

Напряжение .

Т. к. потенциал поверхности , то

Емкость системы на единицу длины

и будет вдвое больше емкости двухпроводной линии, составленной из проводника и его изображения.

Линейная плотность

Кл/м,

кВ/м.

Задача 12.7

Определить напряжение, при котором возникает корона в воздухе между двумя параллельными проводами с радиусами мм и мм (рис. 12.12). Расстояние между проводами мм. Считать, что корона в воздухе возникает тогда, когда напряженность поля достигнет кВ/см.

Решение

Наибольшая напряженность здесь будет на поверхности провода с большей кривизной в точке A. Для определения положения точки необходимо найти положение электрических осей, определяемое расстояниями b, h1 и h2, которые получаются из уравнений эквипотенциальных поверхностей в поле двух заряженных осей:

Решая систему уравнений, получим

мм,

мм.

Тогда точка A находится от электрической оси первого провода (его потенциал будем считать положительным) на расстоянии

мм,

а от электрической оси второго провода – на расстоянии

мм.

Напряженность электрического поля в точке A можно подсчитать путём суммирования составляющих напряженности, обусловленных положительно и отрицательно заряженными осями, так как эти составляющие совпадают по направлению:

Линейная плотность заряда на осях

Ёмкость на единицу длины проводов определяется выражением [1]

Тогда

кВ.

Задача 12.8

В двухпроводной линии радиус круглых проводов мм, расстояние между проводами см, высота подвеса над землей м. Между проводами приложено напряжение В (рис. 12.13а).

Определить напряженность электрического поля в точках O, A, B на поверхности земли. Рассчитать ёмкость линии с учетом и без учета влияния земли.

Решение

Согласно методу зеркальных изображений расчетная схема имеет вид, представленный на рис. 12.13б. Напряженность электрического поля в любой точке верхней полуплоскости равна геометрической сумме векторов напряженности электрического поля от четырех зарядов: первого провода – второго провода –, их изображений – и , то есть

На рис. 12.13б изображены векторы , , , в каждой из исследуемых точек.

Поскольку в точке O

то согласно рис. 12.13б . Напряженность электрического поля в точке A

где .

Напряженность электрического поля в точке B

где ;

Для определения числовых значений напряженностей и необходимо найти по заданному напряжению U величину линейного заряда τ. Для этого используем первую группу формул Максвелла

Поскольку и учтя, что и , получаем

где l – длина проводника.

Потенциальные коэффициенты и определяются выражением

м/Ф,

м/Ф.

Следовательно,

откуда Кл/м.

Задача 12.9

Рассчитать ёмкость плоского конденсатора, площадь пластин которого м2, расстояние между пластинами мм, диэлектриком служит слюда (). К конденсатору приложено напряжение 300 В.

Определить энергию электрического поля конденсатора и силу притяжения пластин .

Решение

Направим ось X нормально к пластинам конденсатора (рис. 12.14). Точка находится на внутренней поверхности правой пластины. Между обкладками конденсатора поле однородно () и подчиняется уравнению Лапласа

В прямоугольной системе координат φ зависит от координаты x, следовательно

или ,

Определим постоянные интегрирования и . Примем при . Тогда . При , , т. е. , откуда

Потенциал будет изменяться по линейному закону

. (12.15)

Емкость

где s – поверхностная плотность заряда.

Энергия электрического поля конденсатора

Дж.

Сила, возникающая вследствие взаимодействия пластин с электрическим полем:

Согласно (12.11) при . Тогда

При имеем

Н.

Задача 12.10

Заряженный длинный прямой провод расположен в воздухе над металлической плитой вблизи толстой керамической стенки (рис. 12.15). Линейная плотность заряда . Радиус сечения провода см. Диэлектрическая проницаемость керамики . Высота подвеса провода над металлической плитой см, провод находится на расстоянии см от керамической стенки.

Определить напряжение между проводом и металлической плитой.

Решение

Согласно методу зеркальных отображений схема для расчета поля в среде с будет иметь вид, показанный на рис. 12.16.

Здесь τ' – фиктивный заряд, определяемый выражением [1]:

Кл/м.

Расчетная схема получена путем последовательного отображения заряда с линейной плотностью τ в каждую из областей.

Для определения напряжения между проводом и металлической плитой воспользуемся первой группой формул Максвелла [1]:

где и – потенциалы проводов относительно плоскости .

Потенциальные коэффициенты определяются выражениями [1]

м/Ф,

м/Ф.

Следовательно, напряжение между проводом и металлической плитой

В.

Задача 12.11

К плоскому воздушному конденсатору, имеющему площадь обкладки см2, расстояние между обкладками мм, приложено напряжение В.

Определить напряженность электрического поля и ёмкость конденсатора. Как повлияет проводящая пластина толщиной мм (рис. 12.17), помещенная между электродами, на характеристики поля и величину ёмкости конденсатора?

Решение

Определим напряженность электрического поля E и величину ёмкости C.

1. При отсутствии пластины.

Известно, что напряжение между двумя точками в электрическом поле

В плоском конденсаторе напряженность электрического поля E в пределах одного диэлектрика постоянна, следовательно, , откуда:

В/м.

Емкость плоского конденсатора

2. При наличии проводящей пластины.

Результирующая напряженность поля внутри проводника должна равняться нулю:

где E – напряженность поля зарядов и на электродах;

– напряженность поля зарядов, индуктированных на проводнике.

Для участков и разности потенциалов

или .

Отсюда

В/м,

Итак, введение в пространство между электродами проводящей пластины равносильно сближению электродов на величину .

Задача 12. 12

В масляной изоляции трансформатора воздушный шаровидный пузырек, радиус которого мал по сравнению с расстоянием d между стенкой банка и поверхности обмотки трансформатора и по сравнению с расстоянием от вкраплению до стенки или обмотки (рис. 12.18), Приняв см и диэлектрическую проницаемость масла , найти напряжение между баком и обмоткой, при котором наибольшая напряженность электрического поля в воздушном вкраплении достигает пробивного значения 30 кВ/см.

Решение

Несмотря на то, что при работе трансформатора в масла создается переменное электромагнитное поле, при частоте Гц эту задачу можно решать как для электростатического поля.

Шаровидное воздушное включение в условиях задачи находится практически в однородном электрическом поле, напряженность которого

По условию задачи кВ/см, , , см.

Максимальное напряжение

кВ.

Задача 12.13

В масляной изоляции трансформатора с практически однородным электрическим полем напряженностью кВ/см образовалось шаровидное вкрапление, заполненное водой, радиус которого мал по сравнению с расстоянием между стенкой бака и поверхностью обмотки трансформатора и по сравнению с расстоянием от вкрапления до стенки или обмотки (рис. 12.19).

Определить напряженность электрического поля вблизи шара.

Решение

Несмотря на то, что при работе трансформаторов в масле создается переменное электромагнитное поле, при частоте Гц эту задачу можно решать как для электростатического поля.

Начало сферических координат поместим в центре шара. Так как капля воды представляет собой проводящий шар, то напряженность поля внутри шара равна нулю. Вне шара поле описывается уравнением Лапласа . Расположим экваториальную плоскость перпендикулярно направлению вектора . Так как поле симметрично, то напряженность поля и потенциал будет зависеть только от двух сферических координат R и θ (рис. 12.20):

Решая это уравнение в частных производных методом Фурье-Бернулли, получаем [2]

На поверхности шара при ,

При напряженность кВ/см; при – кВ/см, при – кВ/см.

Таким образом, капелька воды, попав в бак трансформатора с масляным заполнением, вызывает значительное местное увеличение напряженности поля.

Задача 12.14

Элемент высоковольтной атомной батареи представляет собой плоский конденсатор, представленный на рис. 12.21. Известно, что изотоп излучает в одну секунду электронов ( – скорость распада атомов), причем кинетическая энергия их эВ. Такой активностью излучения и энергией электронов обладает, например, изотоп .

Определить ЭДС E атомного источника, максимальную мощность, максимальное значение тока, отдаваемого в нагрузку, и диапазон изменения Rн, при которой напряжение на выходе

. Построить нагрузочную характеристику источника

Решение

1. Сила тока нагрузки определяется интенсивностью распада изотопа, то есть

где Кл – заряд электрона.

Следовательно,

2. По мере поступления элементов на нижнюю обкладку конденсатора повышается разность потенциалов между обкладками и увеличивается отталкивающая сила, действующая на электрон. Следовательно, при некоторой предельной разности потенциалов, равной , электроны не будут достигать нижней обкладки конденсатора. При этом будет выполняться условие , где – максимальное значение работы, которую будет совершать электрон при движении в тормозящем поле, отдавая энергию источнику. Поэтому