числовые Выражения с переменными
Состоящие из чисел, записанных с помощью
знаков действий и скобок
Например: 43 : 5; 9 – 3 ∙ 1,2; 5∙(7-4∙2)
Состоящие из чисел, букв, записанных с помощью знаков действий и скобок
Например: 3m – число, кратное 3, где m € Z ab; 2(a+b);
2m - формулы четного числа,
2m+1 – формула нечетного числа
Значение выражения – это результат выполнения действий
Например: 96 –2 ∙62= 96 -2∙36 = 96 – 72 = 24
Например: 10 – 2y; если y = -2, то∙(-2)= 10 + 4 = 14
Выражение не имеет смысла, если есть деление на нуль
Например: 
не имеет смысла,
т. к. выражение 4∙2 – 8 = 0
Например:
1) ay-4; 
имеют смысл при всех значениях x
2) 
не имеет смысла, если b – 3 = 0, b = 3
3) 
имеет смысл при всех значениях а, кроме (a-2)(a+2)=0,
a-2 = 0 или a+2 = 0
a = 2 или a = -2
Сравнение выражений
Например: 9 : 0,36 и 0,9
и 0,9
и 0,9
25 > 0,9
Например: 5m – 0,8 и 0,8m – 5
если m = -1,
то 5∙ (-1)-0,8 и 0,8 ∙ (-1)-5
-5-0,8 = -0,8 – 5
Преобразование выражений
1. Свойства действий над числами.
Сложение Умножение
a + b = b + a переместительное свойство сложения
a + b + с = a + с + b = b + c + a сочетательное свойство
Например:
1,23 + 13,5 + 4,27 = (1,23 + 4,27) + 13,5 = 5,5 + 13,5 = 19
a∙b = b∙a переместительное свойство умножения
a∙b∙с = a∙с∙b = b∙c∙a=c∙b∙a сочетательное свойство
Например:
1,8∙0,25∙64∙0,5 = (1,8∙0,5) ∙(0,25∙64) = 0,9∙ 16 = 14,4
a∙(b + с) =ab + ac распределительное свойство умножения
Например: 1) 
2) 3,5∙6,8 + 3,5 ∙3,2 = 3,5 ∙ (6,8 + 3,2)=3,5 ∙10 = 35
3) –(4b-c) = -4b+c
4) +(b-3c) = +b - 3c
a-b) = -3a+3b
2. Тождество – это равенство, верное при любых значениях переменных.
Например: 1) a∙(-b) = -ab
2) (-a)∙(-b) = ab
3) a – b = a + (-b)
4) Докажите тождество:
(a+b) ∙ x + (a-b) ∙x – 2ax = 0
ax + bx + ax – bx – 2ax = 0
2ax – 2ax = 0
0 = 0, что и требовалось доказать
3. Преобразование выражений.
1) 13a + 2b - 2a - 5b = 11a - 3b
2) 4a – (a+6) = 4a – a – 6 = 3a – 6
3) 6b + (10 – 4,5b= 6b + 10 – 4,5b – 17 = 1,5b – 7
Уравнения с одной переменной
Определение: Уравнение – это равенство с переменной.
Например: x + 2 = 0 2x + 1 = 5 x2 = 4 (x-2)(x+3) = 0
Определение: Корень уравнения – это значение переменной при котором уравнение обращается в верное равенство.
Например: 2x + 1 = 5
Если x = 2, тогда 2∙2+1 = 5
5 = 5, т. е. х = 2 – корень данного уравнения
Определение: Решить уравнение – это значит найти все его корни или доказать, что их нет.
Определение: Равносильные уравнения – это уравнения, имеющие одни и те же корни или не имеющие корней.
x2 = 4 (x-2)(x+2) = 0 | Равносильные | Корни 2 и -2 |
x2 = -3 у-3 = у | Равносильные | Не имеют корней |
Свойства при решении уравнений:
1. Перенос слагаемых из одной части уравнения в другую, изменяя его знак на противоположный.
2. Умножение (деление) всех членов уравнения на одно и то же число, отличное от нуля.
Например:
При каком значении y значение выражения 3(7y-2) больше значения выражения 7y-8 на 30?
Имеем 3(7y-2)> 7y-8 на 30
Решение | Действие |
3(7y-2) –( 7y-8) = 30 21y – 6 -7y + 8 = 30 21y – 7y = 30 + 6 -8 14y = 28 y = 2 | Составляем уравнение Раскрываем скобки Переносим слагаемые Делим на коэффициент при переменной y Ответ |
Линейное уравнение с одной переменной
Определение: Уравнение вида ax = b, где x – переменная, a и b некоторые числа, называется линейным уравнением с одной переменной.
5x = 4 | -0,2x = 0 | -x = 6 |
a = 5 b = 4 | a = - 0,2 b = 0 | a = -1 b = 6 |
Виды уравнений
a ≠ 0, b ≠ 0 | a = 0, b ≠ 0 | a = 0, b= 0 |
ax = b | 0x = b | 0x =0 |
| Нет корней | Множество корней |
Например: 1) 4x= 10 2) 3) x = 36
| Например: 2x + 5 = 2(x+6) 2x + 5 = 2x + 12 0x = 7 Нет корней | Например: 3(x + 2) + x = 6 + 4x 3x + 6 + x = 6 + 4x 0x = 0 Множество корней |
Функция
Задача: Сторона квадрата равна a. Найти периметр фигуры.
Решение: Периметр квадрата вычисляется по формуле P = 4a. Таким образом, видно, что переменная P зависит от значения переменной a. Тогда a – независимая переменная, а P - -зависимая.
Определение: Функция – это зависимость зависимой переменной от независимой переменной, где каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной.
a – независимая переменная – аргумент
P – зависимая переменная – функция.
Определение: Область определения функции – это значения, которые принимает независимая переменная.
В нашем примере: a>0
Определение: Область значений функции –это значения, которые принимает зависимая переменная.
В нашем случае: P>0
Способы задания функции
| по формуле |
| табличный | ||||||||
| V = 3 км/ч S = 3t
| P,0C
t,ч
0≤ t ≤7 |
| ||||||||
Независимая переменная | t | t | x | ||||||||
Область определения функции (ООФ) | t ≥ 0 | 0 ≤ t ≤ 7 | x ≥ 0 | ||||||||
Зависимая переменная | S | P | x2 | ||||||||
Область значений функции (ОЗФ) | S ≥ 0 | -2 ≤ P ≤ 1 | x2 ≥ 0 |
