Ю. Н. ГОРДЕЕВ, А. Е. САНДАКОВ
Московский инженерно-физический институт (государственный университет)
ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
РАСПРОСТРАНЕНИЯ ТРЕЩИНЫ ГИДРОРАЗРЫВА
Рассматривается плоская задача о распространении трещины Перкинса – Керна в проницаемой среде. Форма трещины определяется, как и в двумерной модели трещины Перкинса – Керна, выражением
, 
,
а закон распространения трещины определяется из условия разрушения:
.
Здесь 
и 
– давление жидкости в трещине и ее ширина, 
– текущее время, 
– координата вдоль трещины, 
– коэффициент Пуассона, 
– высота трещины, а 
– модель сдвига, а 
– давление породы в пласте, 
– длина трещины гидроразрыва.
Течение жидкости в трещине описывается уравнением непрерывности и уравнением движения
, 
,
Здесь 
– скорость течения жидкости разрыва в трещине, 
– утечки жидкости через боковые поверхности трещины, 
– давление жидкости разрыва в трещине, 
– вязкость жидкости, а 
– коэффициент проницаемости песка в трещине.
Фильтрацию жидкости в пласте будем описывать уравнением типа пьезопроводности:
(1)
Через давление пластовой жидкости определяются утечки жидкости из трещины (
– длина трещины):
.
Решение уравнения (1) с учетом условий симметрии будем искать на прямоугольной области: 
. Переходя к безразмерным переменным, получим
. (2)
Уравнение (2) решается со следующими граничными и начальными условиями:
, 
,
.
Численное решение задачи производится по продольно – поперечной разностной схеме, которая в данном случае имеет второй порядок аппроксимации на равномерной сетке: 
.
Нелинейное краевое условие на трещине запишется в виде
, где 
. (3)
Уравнение (3) решается численно по явной трехточечной схеме с применением итераций.
Для вычисления длины трещины в ее кончике задается условие
,
а длина трещины вычисляется по формуле
.
Список литературы
1. Итоги науки и техники. Серия «Механика деформируемого твердого тела». Москва 1989. Т. 20. С. 84-126.
2. Седов задачи гидродинамики и аэродинамики. М.; Л. Гостехиздат. 19с.
3. Баренблатт теория равновесных трещин, образующихся при хрупком разрушении // ПМТФ. 1961. № 4. С. 3-56.
4. Калиткин разностных схем. М.: Наука. 1983.
