Нелинейные цепи переменного тока

Глава 10

Нелинейные цепи переменного тока

Теоретические положения

1. Общая характеристика методов анализа и расчета нелинейных электрических цепей переменного тока.

Анализ нелинейных явлений и получение числовых соотношений в нелинейных цепях переменного тока является более сложным и более трудоемким, чем анализ и расчет линейных электрических цепей.

Наиболее широко распространены следующие методы анализа и расчета нелинейных цепей переменного тока:

1) Графический метод, использующий характеристики для мгновенных значений;

2) Аналитический метод, использующий характеристики нелинейных сопротивлений при их кусочно-линейной аппроксимации;

3) Аналитический метод, использующий замену несинусоидальных токов и напряжений эквивалентными синусоидальными.

Задачи с решениями этими методами представлены в настоящей главе.

2. Катушка со сталью.

В катушке с ферромагнитным сердечником, которую более кратко будем называть катушкой со сталью или дросселем со сталью, нелинейность обусловлена свойствами ферромагнитного материала. Во-первых, это изменение магнитных характеристик и сопротивления для вихревых токов сердечника, вызванное потерями в сердечнике при переменном магнитном поле. Во-вторых, статическая и динамическая зависимости В(Н) сердечника могут резко отличаться друг от друга из-за вихревых токов в сердечнике и внутренних динамических эффектов. На рис. 10.1 приведена катушка со сталью (рис. 10.1,а) и ее схема замещения (рис. 10.1,б).

Напряжение на зажимах катушки u

, (10.1)

здесь R – активное сопротивление обмотки,

– общее потокосцепление, которое можно разбить на основное потокосцепление и потокосцепление рассеяния ;

– индуктивное сопротивление рассеяния;

– намагничивающая составляющая тока;

– ток потерь в сердечнике.

Или в комплексной форме

, (10.2)

Если поток и напряжение синусоидальны, то

. (10.3)

3. Потери в сердечниках из ферромагнитного материала.

Суммарная мощность потерь в сердечнике может быть представлена формулой:

, (10.4)

где – потери на гистерезис;

– потери на вихревые токи.

4. Основные соотношения для трансформатора с ферромагнитным сердечником (рис. 10.2).

Система уравнений трансформатора в комплексной форме может быть записана следующим образом:

(10.5)

где – ток холостого хода трансформатора,

– приведенный вторичный ток.

Примеры решения задач

Задача 10.1

Индуктивная катушка со стальным сердечником питается от источника синусоидального напряжения  В (рис. 10.3). Ток в катушке  А, активное сопротивление катушки  Ом, индуктивное сопротивление рассеяния  Ом. Мощность, потребляемая от сети,  Вт. Определить потери в стали сердечника, обусловленные гистерезисом и вихревыми токами; ток, вызванный потерями в стали, и намагничивающий ток.

Решение

Сумма потерь в активном сопротивлении и в стали сердечника равна полным потерям:

,

откуда

 Вт.

Сдвиг фаз между и

, .

Напряжение между точками a и b

В.

Ток потерь в стали

 А.

Сопротивление

Ом.

Намагничивающий ток

 А.

Задача 10.2

Нелинейная индуктивность подключена к источнику ЭДС  В последовательно с активным сопротивлением  Ом (рис. 10.4). Вебер-амперная характеристика индуктивности представлена на рис. 10.5;  В·с. Определить зависимости от времени тока, потокосцепления, напряжения на индуктивности. Построить графики этих величин.

Решение

Уравнение цепи имеет вид

. (10.6)

При периодическом изменении напряжения на входе схемы, следовательно, тока и потокосцепления режим работы цепи будет соответствовать участкам 1-2; 2-3; 3-2; 2-1; 1-4 на вебер-амперной характеристике. К началу положительного полупериода потокосцепление достигнет значения , а ток (точка 1).

В интервале от до происходит перемагничивание сердечника, т. е. потокосцепление изменяется от до , ток , а все напряжение приходится на индуктивность:

, (10.7)

откуда

.

Постоянную интегрирования А находим из условия, что при . Тогда или .

Следовательно

В·с (10.8)

В конце интервала потокосцепление достигает значения

 В·с.

Тогда

 В·с, (10.9)

, ,

 В.

В следующем интервале времени (участок 2-3) , т. е. ,

. (10.10)

Задача 10.3

Нелинейный конденсатор через резистор с активным сопротивлением Ом подключен к источнику ЭДС (рис. 10.7а)  В. Кулон-вольтная характеристика конденсатора представлена на рис. 10.7б, где Кл. Определить зависимости от времени заряда , тока и напряжения конденсатора, построить их графики.

Решение

Уравнение цепи

, ,

откуда

. (10.11)

На участке 2-3 характеристики (рис. 10.7б)

, , ,

тогда

,

. (10.12)

Отсюда

.

При

.

Тогда .

Кл. (10.13)

На участке 3-4

, ,

.

При и в соответствии с выражением (10.13)

,

; ;  В.

Задача 10.4

Трансформатор является нелинейным элементом, однако если , то петля гистерезиса на переменном токе приближается к эллипсу. Поэтому трансформатор можно представить в виде линейного элемента, эквивалентная схема которого представлена на рис. 10.8. Из опытов холостого хода и короткого замыкания однофазного трансформатора следует, что  В;  А;  Bт;  B;  А;  Вт. Коэффициент трансформации . Частота питания  с-1.

Предполагая, что активное и реактивное сопротивления рассеяния первичной обмотки равны соответственно приведенным сопротивлениям вторичной обмотки (; ), определить основные параметры трансформатора. При холостом ходе можно пренебречь падением напряжения в первичной обмотке. При коротком замыкании можно пренебречь током .

Решение

Из опыта холостого хода

; ;

.

Тогда угол потерь

.

Мощность потерь в стали

 Вт. (10.14)

Из (10.14) следует, что ток потерь

 А.

Ток намагничивания

 А,

 Ом,

 Ом.

Зная частоту питания первичной обмотки, можно определить индуктивность

 Гн.

Из опыта короткого замыкания

; ; .

Входное сопротивление

 Ом,

,

 Ом.

Следовательно,

 Ом,  Ом.

Зная, что

, ,

получаем

 Ом,  Ом.

Потери в меди обмоток трансформатора

 Вт.

Задача 10.5

В схеме однополупериодного выпрямителя нагрузка активно-индуктивная  Ом, Гн (рис. 10.9). Схема подключена к синусоидальному источнику ЭДС B. На рис. 10.10 представлена идеализированная вольт-амперная характеристика диода. Определить ток нагрузки .

Решение

Уравнение по второму закону Кирхгофа для схемы (рис. 10.9)

(10.14)

нелинейно, так как напряжение на диоде нелинейно зависит от тока нагрузки . Проведем решение уравнения (10.14) методом кусочно-линейной аппроксимации. С этой целью ВАХ диода заменяем отрезками прямых 1-2 и 2-3.

Участок 1-2: (непроводящая часть периода). Уравнение принимает вид

 В. (10.15)

Участок 2-3: (проводящая часть периода). Уравнение принимает вид:

. (10.16)

Таким образом, вместо одного нелинейного уравнения (10.14) получены два линейных уравнения (10.15) и (10.16).

Решение уравнения (10.16) имеет вид

, (10.17)

где  Ом,

.

Следовательно,

 А. (10.18)

Диод открывается с момента , т. е. при , .

Тогда уравнение (10.18) будет иметь вид

,

откуда .

Окончательное выражение для тока в проводящую часть периода

 А,

в непроводящую – .

Задача 10.6

Определить параметры согласующего трансформатора при условии передачи максимума мощности от генератора в нагрузку. Выходное сопротивление генератора В, рабочая частота Гц, внутренне сопротивление генератора кОм, сопротивление нагрузки Ом.

Решение

Схема включения согласующего трансформатора приведена на рис. 10.12. Для идеального трансформатора входное сопротивление

[1],

где – коэффициент трансформации;

– количество витков в первичной и вторичной обмотках.

Условие передачи максимума мощности от генератора в нагрузку выполняется при , т. е. необходимо обеспечить входное сопротивление согласующего трансформатора .

Выбираем величину коэффициента трансформации

,

при этом мощность, выделяемая в нагрузке:

 Вт.

Сечение сердечника трансформатора можно определить по приближенной формуле [1]

 см2.

Количество витков в обмотках определим по формулам

, .

Максимальное значение магнитной индукции выбрано равным 1 Тл [1]. В качестве магнитного материала сердечника на заданной рабочей частоте можно использовать железоникелевые сплавы 50H, 45H.