Естественные науки

РОССИЙСКАЯ МОЛОДЁЖНАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

Посвящается 100 – летию Самарского государственного технического университета

естественные науки

Части 1, 2

Математика,

ИНФОРМАТИКА

ТРУды

14-й Международной конференции - конкурса

16-21 декабря 2013 г.

Самара 2013

Министерство образования и науки РФ

Министерство образования и науки Самарской области

Российская молодёжная академия наук

Самарский государственный областной университет (Наяновой)

Поволжское отделение Российской инженерной академии

Национальная система развития научной, творческой и

инновационной деятельности молодёжи России

Самарское региональное отделение РХО им.

Департамент образования администрации г. Самары

Администрация городского округа Самара – комитет по делам молодёжи

Ассоциация вузов Самарской области

Муниципальное общеобразовательное учреждение

Лицей философии планетарного гуманизма городского округа Самара

Самарский государственный медицинский университет

Самарская государственная академия культуры и искусств

ГОУ СПО Самарский медико-социальный колледж

Ижевский государственный технический университет

Курский государственный медицинский университет

Национальная академия государственного управления

при Президенте Украины, г. Киев

Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого

Пермский государственный технический университет

Петрозаводский государственный университет

Среднерусский университет (гуманитарный институт)

Сибирский государственный техническмй университет, г. Красноярск

Тольяттинский государственный университет сервиса

Челябинская государственная медицинская академия

Южно-Уральский государственный университет

БУ СПО «Мегионский профессиональный колледж»

Группа компаний , г. Москва

Актуальные проблемы

современной науки

естественные науки

Части 1, 2

математика

ИНФОРМАТИКА

ТРУды

14-й Международной конференции - конкурса

16-21 декабря 2013 г.

Самара 2013

УДК 51, УДК 517, УДК 521

АКТУАЛЬНЫЕ ПРОБЛЕМЫ СОВРЕМЕННОЙ НАУКИ: Труды 14-й Международной конференции молодых учёных и студентов. Естественные науки. Части 1, 2: Математика. Информатика. Самара: СамГТУ, СГОА(Н), 20с..

14-й Международная конференция молодых учёных и студентов «Актуальные проблемы современной науки» проводится с целью консолидации сил молодого поколения для решения наиболее значимых проблем математических, естественных, социальных, гуманитарных, технических наук.

В заголовках работ приводится е-mail, по которому заинтересованные организации и лица могут устанавливать оперативную связь с авторами.

Представлены материалы исследований по математике и информатике.

РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ:

д.-р. физ.-мат. наук проф. (отв. редактор),

д-р. хим. наук проф. ,

д.-р. физ.-мат. наук проф. ,

канд. физ.-мат. наук доцент

канд. физ.-мат. наук доцент (отв. секретарь)

ISBN 1027-1 © Авторы, 2013

© Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Cамарский государственный технический

университет, 2013

© Самарская государственная областная академия (Наяновой), 2013

екции Математика,

информатика

	Стр
Кирдеева А. В. МАТЕМАТИКА ВОКРУГ НАС. Ливенуий филиал Госуниверсита-УНПК, г. Ливны *****@***ru	6
, К ВОПРОСУ ИССЛЕДОВАНИЯ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫХ ОПТИМИЗАЦИОННЫХ ЗАДАЧ (СКГМИ (ГТУ), г. Владикавказ), e:mail: [e-mail], *****@***ru	8

Секци и Математика,

информатика

УДК 665.330.115

МАТЕМАТИКА ВОКРУГ НАС

Кирдеева А. В.

Ливенуий филиал Госуниверсита-УНПК, г. Ливны

*****@***ru

Введение

При написании своей работы я ставила свой целью научить искусству применять математические идеи и методы к решению практических и теоретических задач, к нахождению выходов из разного рода затруднительных положений, возникающих в повседневной жизни, и даже к тем вопросам, в которых использование математики поначалу кажется просто невозможным.

Умножение на 9 с помощью пальцев

Этот способ настолько прост, что его может освоить любой ребенок, знакомый лишь с элементарным счетом. Пусть нужно умножить 6 на 9. Положив обе руки на стол, приподнимем шестой палец, считая слева направо. Тогда количества пальцев слева от поднятого укажет цифру десятков (в нашем случае 5), а количество пальцев справа от поднятого укажет цифру единиц (равную 4), т. е. искомое произведение будет равно 54.

Следующие 25 квадратов

Если вы знаете квадраты всех чисел от 1 до 25, то вам нет никакой необходимости заучивать квадраты следующих 25 чисел. Для возведения в квадрат любого числа, заключенного между 25 и 50, достаточно отнять от него 25 и, увеличив результат в 100 раз, прибавить к нему квадрат дополнения этого числа до 50. Например, справедливы равенства 372=(37-25)100+(50-37)2=1200+169=1369.

Легко ли извлекать корни?

Одной из наиболее трудоемких арифметических операций является извлечение корня квадратного, кубического или другой степени из данного числа. Относительно просто корень можно найти в том случае, когда заранее известно, что он представляет собой целое число, т. е. извлекается нацело. В некоторых случаях при извлечении корня приходится искать лишь приближенное его значение с наперед заданной точностью. Напомню, что приближенным значением величины α с точностью до числа δ>0 называется любое число х, удовлетворяющее оценкам α-δ≤ х≤α+δ.

Приближенное равенство π≈3,14, к примеру, означает, что число 3,14 есть приближенное значение числа π с точностью до половины единицы последнего разряда, т. е. до. В данном пункте я познакомлю с некоторыми методами нахождения корней, позволяющими довольно скоро и без особых усилий получать удовлетворительные приближения.

Разложение в цепную дробь

Разложим следующую дробь в цепную дробь:

а); б); в).

а)=2+;

б)=2+=2+=2+=2+;

в)=0+=====.

Без сдачи

Докажем, что любую денежную сумму, выраженную целым числом рублей, большим 7, можно уплатить без сдачи, имея лишь трехрублевые и пятирублевые купюры в достаточном количестве.

Пусть нужно уплатить денежную сумму в n рублей. Если число n делится на 3, то эту сумму можно уплатить одними трехрублевыми купюрами. Если остаток от деления числа n>7 на 3 равен 1, то n=3q+1=3(q-3)+10, причем 3q+1>7, откуда q>2 и, значит, в этом случае сумму можно уплатить q-3 трехрублевыми купюрами и двумя пятирублевыми. Если же остаток от деления числа n>7 на 3 равен 2, то

n=3q+2=3(q-1)+5,

причем 3q+2>7, откуда q>1 и, значит, в этом случае сумму можно уплатить q-1 трехрублевыми купюрами и 1 пятирублевой.

Два раствора

В каких пропорциях нужно смешать раствор 50-процентной и раствор 70-процентной кислоты, чтобы получить раствор 65-процентной кислоты?

Пусть мы смешиваем x г раствора 50-процентной и y г раствора 70-процентной кислоты. Тогда в первом растворе содержится чистой кислоты x г, а во втором y г. В полученной смеси массой (x+y) г будет содержаться г чистой кислоты, что должно составлять 65% от смеси, т. е. (x+y) г. Таким образом, получаем уравнение =(x+y),

Откуда имеем 5y=15x и находим искомое отношение x: y=5:15=1:3. Это означает, что смешивать надо 1 часть первого раствора с 3 частями второго.

С помощью снимка

В вашем городе установлен большой памятник. К вам в руки попала почтовая карточка с фотографией этого памятника, сделанной с почтительного расстояния от него. Можно ли воспользоваться этим снимком для определения высоты памятника?

Для приблизительного нахождения высоты памятника по снимку можно выбрать две точки, расположенные у фундамента этого памятника, и измерить расстояние между ними на фотографии и на местности. Найдя отношение k первого из расстояний ко второму, мы узнаем масштаб снимка, после чего останется замерить на нем высоту памятника и поделить ее на k.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Бахтина задачка, два задачка: Пособие для учителей. – 2-е изд.-Мн.: ,2001.

2. , , Фомин математические кружки.-Киров: АСА, 1994.

3. , Ященко математическая олимпиада: сборник подготовительных задач. – М., 1994.

4. Лихтарников мудрецов: Кн. Для учащихся. – М.:Просвещение: АО «Учеб. Лит.», 1996.

УДК 681.51

К ВОПРОСУ ИССЛЕДОВАНИЯ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫХ

ОПТИМИЗАЦИОННЫХ ЗАДАЧ

, (СКГМИ (ГТУ), г. Владикавказ), e:mail: [e-mail], *****@***ru

Значительная часть подходов в принятии решения по многим целевым функциям состоит в отсечении «неоптимальных» альтернатив на основе дополнительной информации, получаемой в ходе специально построенного эксперимента [1]. Вычислительные методы многоцелевой оптимизации служат, как правило, не только для нахождения оптимальных (обычно по Парето) альтернатив, но и для альтернативных к ним, содержательно более обозримых формулировок совокупной оптимальности [2]. Принципы оптимальности в многокритериальных задачах могут формулироваться в виде некоторых упорядочений на множестве альтернатив, либо функцией полезности, либо каких-то функционалов от целевых функций, подлежащих максимизации. При наличии нескольких независимых критериев для оценки управляющих воздействий выбор наилучшего решения является нетривиальной задачей. В многокритериальной задаче максимизации довольно сложно сравнить векторные оценки с различными компонентами. Пусть X - множество возможных исходов принятия решения. Каждый из исходов оценивается с помощью векторного критерия. Поскольку HÎRn, то введем на множестве векторов {H}ÎRn отношение строгого предпочтения так же, как это делается для n-мерного евклидова пространства Rn. Будем говорить, что вектор тогда и только тогда, когда для всех. Аналогично введем отношение нестрогого предпочтения : будем говорить, что вектор, если для всех. Обозначим через множество оценок для всех возможных значений xÎX. Довольно очевидно, что если найдется такой вектор, что для всех HÎc, то решение x*, для которого H(x*)=H*, следует считать наилучшим, поскольку оно является наилучшим по всем компонентам векторного критерия Н среди решений xÎX. Векторную оценку H*Îc назовем максимальной по (по ) относительно c, если не существует оценки H¹H*, HÎc, такой, что (). Оценка, максимальная по, является оптимальной по Парето (или эффективной) оценкой, а соответствующее решение x* - оптимальным по Парето (или эффективным). Таким образом, оптимальное по Парето решение обладает тем свойством, что не существует никакого другого решения, которое превосходит его в смысле отношения порядка ³ по всем компонентам критерия H. Иными словами, если x*- Парето-оптимальное решение, то из условия, i=1,…, m, то должно следовать (а значит, Множество оценок, удовлетворяющих этому условию, назовем множеством Парето, или эффективным, а множество соответствующих решений P(x)ÌX - множеством эффективных решений, или Парето - оптимальным множеством, т. е. . Векторная оценка, максимальная по >, является слабо эффективной, или слабооптимальной по Парето, или оптимальной по Слейтеру, а соответствующее решение - оптимальным по Слейтеру, или слабоэффективным. Таким образом, оптимальное по Слейтеру решение обладает тем свойством, что не существует никакого другого решения которое превосходит его в смысле порядка > по всем компонентам критерия Н. Иными словами, если оптимальна по Слейтеру, то не существует такого что Множество оценок, оптимальных по Слейтеру, удовлетворяющих этому условию, назовем слабоэффективным множеством, а множество соответствующих решений - слабоэффективным множеством решений, т. е. для которых не существует таких, что Поскольку из следует, то всякая эффективная оценка слабоэффективна, так что и Основной задачей многокритериальной оптимизации является выделение оптимального решения из множества всех решений. Естественно, что хорошим следует считать метод, когда это решение оказывается эффективным или слабоэффективным. Мы предложим два подхода к выделению оптимального решения. Пусть Рассмотрим выражение, оценивающие максимальное отклонение оценки Н произвольного решения xÎX от вектора, представляющего собой вектор максимумов по каждому критерию. В качестве оптимальной точки x*ÎX предлагается выбрать точку x*, минимизирующую выражение, т. е..

Можно показать, что решение x* всегда слабоэффективно, а если оно единственно (с точностью до эквивалентности), то и эффективно.

Другим методом выбора оптимального решения являются схемы, которые могут быть названы арбитражными схемами. Метод формулируется при некоторых предположениях о структуре множества c и функций Hi(x), i=1,…, n. Однако он может быть применен и в более общем случае. Будем считать, что множество c всевозможных оценок выпукло и компактно в Rn. Введем в рассмотрение некоторое исходное решение x0ÎX, которое будет пониматься нами как "консервативное" решение, подлежащее улучшению при решении данной многокритериальной задачи. Значение вектора полезностей Н в точке x0ÎX H(x0)={H1(x0),…, Hm(x0)}, будем называть точкой "статус-кво". Под арбитражной схемой понимается правило j, которое каждой паре {c, H(x0)} ставит в соответствие некоторую пару где (x интерпретируется как оптимальное решение) [2]. Сформулируем для арбитражных схем аксиомы, которым должно удовлетворять правило j, сопоставляющее каждому выпуклому замкнутому подмножеству  в точке H некоторую пару :

1. Реализуемость:

2. Индивидуальная рациональность: HH(x0).

3. Оптимальность по Парето: если то .

4. Независимость от посторонних альтернатив: если то.

5. Линейность: если множество получается из c с помощью

Исследуем теперь возможности скаляризации векторного критерия Н. Оказывается, что в достаточно широком классе случае максимум скаляризованного критерия находится во множестве эффективных или слабоэффективных точек и, наоборот, каждая эффективная или слабоэффективная точка, в смысле векторного критерия Н, может быть вычислена как максимум некоторого скалярного критерия, полученного из Н. Сформулируем более точно условия, при которых это имеет место. Множество SÌRn называется выпуклым, если оно вместе с любыми двумя точками содержит и соединяющий их отрезок, т. е. если при любых x, . Пусть для каждой точки, тогда множество S называется слабовыпуклым, если выпукло множество. Очевидно, что если некоторая оценка Н слабоэффективна во множестве c, то она будет слабоэффективной и во множестве. Пусть c слабовыпукло. Оценка HÎc слабоэффективна тогда и только тогда, когда существует такой вектор, при котором для всех HÎc (скобки означает скалярное произведение). Последнее утверждение сводит задаче нахождения слабоэффективных точек множества c и слабоэффективных решений к задаче нахождения максимума линейной функции (m, Н) на множестве c. При этом, перебирая всевозможные векторы мы получаем все множество слабоэффективных решений [2]. Эти положения могут быть использованы для решения динамических многокритериальных задач в информатике.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Теория оптимальности в математическом программировании и ее приложения // М.: Наука. 19С.

2. , , Математическая теория оптимальных процессов // М.: Физматгиз. 1961.

Научное издание

Актуальные проблемы современной науки

Труды 14-й Международного конференции - конкурса форума молодых ученых

Естественные науки. Ч. 1, 2: Математика. Информатика

Печатается в авторской редакции

Научный редактор Радченко Владимир Павлович

Компьютерная верстка Афанасьева Ольга Сергеевна

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального

образования «Самарский государственный технический университет»

44, Главный корпус

Отпечатано в типографии

Самарского государственного технического университета

44, корпус №8