Задания

РАЗДЕЛ ПЕРВЫЙ

1. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

1.1. Решить уравнение .

Решение.

Так как , то (по теореме Виета) в силу имеем: .

Ответ: .

1.2. Решить уравнение .

Решение.

,.

Ответ: 1, 8.

1.3. Решить уравнение .

Решение.

.

Ответ:

1.4. Решите систему неравенств .

Решение.

.

Ответ:

1.5. Решите систему неравенств .

Решение.

.

Ответ:

1.6. Решите неравенство .

Решение.

.

Ответ: .

1.7. Решить неравенство .

Решение.

В силу монотонности функций , , функция меняет знак в точках , и . При функция отрицательна. Поэтому знак функции на каждом из интервалов и определяется согласно рисунку.

Ответ:

1.8. Решить неравенство .

Решение.

Функции , и являются монотонно возрастающими. Поэтому знак функции изменяется при переходе через точки 2 и 4 (смотри рисунок). Поэтому

Ответ:

1.9. Решите неравенство .

Решение.

Область определения данного неравенства . Функция изменяет знак при переходе через точку , а функции и при всех значениях , принадлежащих области определения, неотрицательны. Таким образом:

.

Ответ: .

1.10. Решить уравнение

Решение.

.

Ответ: .

1.11. Решить уравнение

Решение.

Ответ:

1.12. Решить уравнение

Решение.

.

Ответ: 3.

1.13. Решить уравнение .

Решение.

.

Ответ: .

1.14. Решить уравнение .

Решение.

Ответ: .

1.15. Решить уравнение .

Решение.

.

Ответ: , .

1.16. Решить систему уравнений

Решение.

Ответ: (1,2).

1.17. . Решить уравнение .

Решение.

.

Ответ: .

1.18. Решить уравнение .

Решение.

.

Ответ: .

1.19. Решить уравнение

Решение.

Ответ: 1, 9.

1.20. Решить уравнение

Решение.

Ответ: 2, 14.

1.21. Решить неравенство .

Решение.

Ответ:

1.22. Решить неравенство .

Решение.

.

Ответ:

1.23. Решить неравенство

Решение.

Функция монотонно возрастает на всей области определения . При этом , если , вследствие чего функция меняет знак в точках и . Поэтому при и ; при .

Ответ: .

1.24. Решить неравенство

Решение.

Обозначим Имеем:

Функция определена при , причем монотонно возрастает всюду в области определения. Найдем корень уравнения . Имеем:

.

В силу сказанного при и при .

Ответ:

1.25. Найдите сумму решений уравнения .

Решение.

Уравнение содержит только четные функции, следовательно, каждому положительному решению уравнения соответствует решение . Поскольку, по крайней мере одна пара решений у уравнения есть, то сумма корней уравнения равна 0.

Ответ: 0.

1.26. Решите уравнение .

Решение.

Найдем область определения данного уравнения:

Если , то левая часть уравнения положительна, а правая отрицательна, а, следовательно, на этом промежутке уравнение решений не имеет. Подставляя значение в уравнение, получаем верное равенство.

Ответ: .

1.27. Решите уравнение .

Решение.

Нетрудно заметить, что . Воспользовавшись свойством модулей , получим, что уравнение равносильно неравенству

. Применяя метод интервалов, имеем .

Ответ:

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1.1. Решить уравнение .

1.2. Решите систему неравенств .

1.3. Решить неравенство .

1.4. Решите уравнение .

1.5. Решите уравнение .

1.6. Решить уравнение

1.7. Решить уравнение

1.8. Решить уравнение

1.9. Решить уравнение .

1.10. Решить уравнение .

1.11. Решить уравнение

1.12. Решить уравнение

1.13. Решить систему уравнений:

1.14. Решить систему уравнений:

1.15. Решить уравнение .

1.16. Решить уравнение .

1.17. Решить неравенство

1.18. Решить неравенство .

1.19. Решить неравенство .

1.20. Решить неравенство .

1.21. Решить неравенство .

1.22. Решить неравенство

Ответы к задачам для самостоятельного решения

1.1. ,; 1.2. ; 1.3. ; 1.4. 4; 10; 1.5. ; 1.6. 1; 1.7. ; 1.8. 4; 1.9. 14; 1.10. 13; 1.11. ; 1.12. ; 1.13. ; 1.14.; 1.15. ;

1.16. ; 1.17. ; 1.18. ; 1.19. ; 1.20. ; 1.21. ; 1.22.