Параллельное соединение

3 лекция

Цепь с параллельным соединением R, L, C. Активные, реактивные и полные проводимости. Символический метод расчета цепей синусоидального тока. Комплексные сопротивления и проводимости. Законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме. Векторные диаграммы. Баланс мощностей.

Термины и определения основных понятий

Параллельное соединение (участков электрической цепи) - электрическое соединение, при котором рассматриваемые участки электрической цепи при­соединяются к одной паре узлов.

Активная (электрическая) проводимость - параметр пассивного двухполюсника, равный отношению активной мощности, поглощаемой в этом двухполюснике, к квадрату действующего значения электрического напряжения на его выводах.

Полная (электрическая) проводимость - параметр пассивного двухполюсника, равный отношению действующего значения электри­ческого тока через этот двухполюсник к действующему значению электрического напряжения между выводами двухполюсника при синусоидальных электрическом напряжении и электрическом токе.

Удельная (электрическая) проводимость - величина, характеризующая электропроводность вещества, скалярная для изотропного веще­ства и тензорная для анизотропного вещества, произведение которой на напряженность электри­ческого поля равно плотности электрического тока проводимости.

Теоретический материал

Синусоидальный ток в цепи с параллельным соединением

Дано:(рис. 3.1)

Найти:

Ток будем искать в виде

; ; ; .

По первому закону Кирхгофа:

;

;

.

обозначим – реактивная проводимость,

тогда: ; ;

Обозначим – полная проводимость цепи (рис. 3.2).

- треугольник проводимостей

С учётом принятых обозначений получим:

Если умножить все стороны треугольника проводимостей на амплитуд­ное (действующее) значение напряжения, то мы получим треугольник токов, у которого катеты называются активной и реактивной составляющей тока (рис 3.3).

Учтем, что

,

,

.

Символический (комплексный) метод расчёта цепей синусоидального тока

В основе лежит метод замены синусоидальной функции вращающи­мися векторами. Это позволяет перейти от интегро-дифференциальных уравнений для мгновенных значений к алгебраическим, составленным относительно ком­плексов тока и напряжения.

Комплексные числа можно представить в трёх формах записи (рис. 3.4).

Изобразим вектор, вращающийся со скоростью в положительном направлении (против часовой стрелки) (рис. 3.5), тогда:

, где - оператор вращения

Умножение любого вектора на означает поворот на угол в положительном направлении.

– комплексная амплитуда.

Отсюда следует, что синусоидальный ток можно рассматривать как ли­нейную часть комплексной функции.

, где – комплексная амплитуда тока.

Иначе: Синусоидальному току может быть поставлена в соответствие комплексная функция.

Закон Ома и Кирхгофа в комплексной форме записи

Дано: (рис. 3.6)

Найти:

(1)

Поставим в соответствии синусоидальным функциям - комплексные.

,

Сложение, дифференцирование и интегрирование синусоидальных функций в уравнении (1) заменим теми же операциями над мнимыми частями комплексных функций.

, (2)

Операции дифференцирования и интегрирования мнимых частей ком­плексных функций и операция взятия линейной части взаимопереместимы, поэтому перепишем (2) в виде:

(3)

Уравнение (3) справедливо для любого момента времени, поэтому вы­ражения в скобках левой и правой части (3) равны. Проводя интегрирование и дифференцирование, получим:

(4)

Обозначим:

– комплексное сопротивление сопротивления

– комплексное сопротивление индуктивности

– комплексное сопротивление ёмкости

Тогда: , (5) – комплексная амплитуда напряже­ния на сопротивлении;

, (6) – комплексная ам­плитуда напряжения на индуктивности;

(7) – комплексная амплитуда напряжения на ёмкости;

Выражения (5,6,7) – закон Ома в комплексной форме записи для от­дельных элементов цепи.

С учетом введенных обозначений:

(8)

(4,8) – второй закон Кирхгофа в комплексной форме записи.

- реактивное сопротив­ление цепи

Обозначим: – входное комплексное сопротивление цепи.

– полное сопротив­ление цепи

.

(9) - закон Ома в комплексной форме записи для всей цепи.

,

После определения комплексной амплитуды осуществляем переход к мгновенному значению

– комплексные действующие значения

Векторная диаграмма

Это совокупность векторов на комплексной плоскости, отображающих синусоидально изменяющиеся функции времени одинаковой частоты и по­строенных с соблюдением их взаимной ориентации по фазе.

Они позволяют производить сложение и вычитание синусоидальных функций времени.

Пример:

Дано:

; .

Найти:

Геометрическая сумма векторов и дает комплексную ампли­туду искомого тока (рис. 3.7). Длина вектора равна амплитуде тока, а угол между дей­ствительной осью и самим вектором равен начальной фазе искомого тока.

Указанное свойство позволяет осуществить наглядную интерпретацию закона Кирхгофа на комплексной плоскости.

Кроме того, векторные диа­граммы дают нам реальное представление о фазовых отклонениях между на­пряжением и током идеальных элементов (участков цепи) (рис. 3.8 а, б,в).

1)

2)

3)

Частным случаем векторной диаграммы является топографическая век­торная диаграмма, на которой вектора рисуются последовательно, друг за другом, а порядок их расположения соответствует порядку расположения элементов цепи.

Комплексная форма записи мощности

Обозначим через Z комплексное сопротивление (рис. 3.9)

;

Введём в рассмотрение сопряжённый комплекс тока

(рис. 3.10).

– комплексная мощность.

Контрольные вопросы

1. Запишите первый закон Кирхгофа для мгновенных значений, если R, L, C соединены параллельно.

2. Запишите выражение для полной проводимости цепи.

3. Что называется треугольником проводимостей?

4. Как записывается закон Ома для амплитудных (действующих) значений?

5. В чем состоит суть символического метода расчета цепей синусоидального тока?

6. Перечислите формы комплексных чисел. Как записываются комплексные числа в разных формах?

7. Как записывается закон Ома в комплексной форме для каждого элемента R, L, C цепи?

8. Что называется полным комплексным сопротивлением цепи R, L, C?

9. Как записывается второй закон Кирхгофа в комплексной форме?

10. Запишите выражение для комплекса полной мощности.

Упражнения и задачи

1. При частоте Гц активное сопротивление Ом и емкостное Ом соединены последовательно. Определить сопротивления элементов эквивалентной неразветвленной цепи.

2. При частоте 50 Гц активное сопротивление цепи равно 6 Ом, а индуктивное 8 Ом. Определить сопротивление элементов неразветвленной параллельной цепи.

3. Токи параллельных ветвей (в амперах): ; . Какой из токов больше?

4. Комплексная амплитуда тока А. Записать выражения комплексного действующего значения, а также мгновенного значения тока.

5. Катушка (Ом; Ом) и конденсатор (Ом) соединены параллельно. Определить токи в цепи, составить баланс мощностей, если напряжение на входе В.