Задачи с параметром

Пример 1. Найти все значения , при которых уравнение имеет хотя бы один корень.

Перепишем уравнение в виде . Очевидно, что должно выполняться неравенство . Возведем уравнение в квадрат и упорядочим. Получим уравнение , дискриминант которого должен быть неотрицателен. В итоге получаем систему

Ответ: .

Пример 2. Найти все значения , при которых уравнение не имеет корней.

Возведем уравнение в квадрат и упорядочим. Получим уравнение . Исходное уравнение не будет иметь корней, когда или дискриминант квадратного уравнения отрицателен. В итоге получаем совокупность

Ответ: .

Пример 3. Найти все значения , при которых уравнение имеет ровно один корень.

Сделав замену и решив квадратное уравнение, получим, что или . Следовательно, условие задачи может быть выполнено в трех случаях: 1. ; 2. 3.

Ответ:

Пример 4. Найти все значения , при которых уравнение имеет ровно один корень.

Перепишем уравнение в виде . Возведем уравнение в квадрат и упорядочим. Получим уравнение . Исходное уравнение будет иметь один корень в двух случаях. 1. Квадратное уравнение имеет один корень, который неположителен. 2. Квадратное уравнение имеет два корня , . Опустив выкладки, приведем ответ.

Ответ: .

Пример 5. Найти все значения , при которых уравнение имеет решение.

Преобразуем уравнение к виду . Построим график функции , затем рассмотрим возможные положения графика функции , удовлетворяющие условию задачи.

Ответ:

Пример 6. для каждого значения , решить уравнение .

Из вида уравнения следует, что при единственным решением будет .

Пусть . Перенесем одно слагаемое в правую часть и возведем в обе части в квадрат. После преобразования получим . Уравнение распадается на два: и . В последнем уравнении . Возведем уравнение в квадрат. После преобразования получим . Т. к. левая часть уравнения строго положительна и уравнение не имеет корней.

Ответ: при .

Пример 7. Найти все значения , при которых наименьшее значение функции больше числа .

Решение. Область определения функции:. Задача равносильна следующей: найти все значения , при которых неравенство верно при всех .

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Перепишем неравенство в виде . На плоскости построим график. Прямая

при любом проходит через точку .

Найдем значение , при котором прямая касается линии .

.

Возведем обе части в квадрат и приравняем нулю дискриминант полученного квадратного уравнения.

Из полученных значений и подходит только (почему?).

На рисунке изображена прямая, касающаяся полупараболы. Таким образом, условию задачи удовлетворяет положение прямой при .

Ответ: .

Задачи для самостоятельного решения

1. Найти все значения , при которых уравнение имеет решение, принадлежащее отрезку . Ответ: .

2. Найти все значения , при которых уравнение имеет два различных корня. Ответ: .

3. Найти все значения , при которых уравнение имеет ровно один корень. Ответ: .

4. Найти все значения , при которых уравнение имеет ровно один корень. Ответ: .

5. Найти все значения , при которых уравнение имеет два различных корня. Ответ: .

6. Найти все значения , при которых наибольшее значение функции не больше числа . Ответ: .

7. Найти все значения , при которых уравнение и неравенство равносильны. Ответ: .

8. Найти все значения , при которых уравнение имеет ровно один корень. Ответ: .

9. Найти все значения а, при которых каждое решение неравенства удовлетворяет неравенству . Ответ: .

10. Найти все значения , при которых уравнение имеет ровно 2 корня. Ответ: .

11. Найти все значения , при которых уравнение имеет ровно один корень. Ответ: .

12. Найти все значения а, при которых уравнение имеет неположительные корни и найти эти корни. Ответ: при .